山东临沂经济开发区2023年九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析

山东临沂经济开发区2023年九年级数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA的值为A． B． C． D．2．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（）A． B． C． D．3．如图，AB，AM，BN分别是⊙O的切线，切点分别为P，M，N．若MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O的半径是（）A． B．3 C． D．4．把分式中的、都扩大倍，则分式的值（）A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、所对的边分别为a、b、c，如果a=3b，那么∠A的余切值为（）A． B．3 C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a>3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是()A．4 B． C． D．7．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B． C． D．8．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则=（）A． B． C． D．19．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．－110．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时，函数y有最大值，设（x1，y1），（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且1＜x1＜x2，那么（）A．a＞0，y1＞y2B．a＞0，y1＜y2C．a＜0，y1＞y2D．a＜0，y1＜y211．如图，在四边形中，，对角线、交于点有以下四个结论其中始终正确的有（）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为1．若AA'=1，则A'D等于（）A．2 B．3 C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．关于x的一元二次方程3（x﹣1）＝x（1﹣x）的解是_____．14．如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为_______．15．方程的根是__________．16．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝____________.17．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．18．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“+”“－”依次相间）的值为______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为（4,2），的垂直平分线分别交于点，过点的反比例函数的图像交于点．（1）求反比例函数的表示式；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）连接，在反比例函数图像上存在点，使，直接写出点的坐标．21．（8分）先化简，再求值：，其中，．22．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？23．（10分）阅读下面材料，完成(1)-(3)题.数学课上，老师出示了这样一道题:如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N.探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自已的想法:小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.”小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.”小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.”......老师:“若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a的式子表示出线段CM的长.”（1）探究线段AN、AB之间的数量关系，并证明;（2）探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明;（3）设AB=a,求线段CM的长（用含a的式子表示）.24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求此抛物线的表达式；（2）求过B、C两点的直线的函数表达式；（3）点P是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；25．（12分）如图，的顶点坐标分别为，，．(1)画出关于点的中心对称图形；(2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为_________；(3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为____________．(用含，的式子表示)26．一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，﹣3，﹣5，7，这些卡片除数字外都相同，小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】利用勾股定理即可求得BC的长，然后根据正切的定义即可求解．【详解】根据勾股定理可得：BC＝∴tanA＝．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理和三角函数的定义，正确理解三角函数的定义是关键．2、D【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当，，所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；当，，所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；当，即AC：：AC，因为所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；当，即PC：：AB，而，所以条件④不能判断和相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.3、D【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON∵AB，AM，BN分别和⊙O相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN∥AB，∠A＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=AB=3，∴tan∠OAP=tan30°==，∴OP=，即半径为.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.4、C【分析】依据分式的基本性质进行计算即可．【详解】解：∵a、b都扩大3倍，∴∴分式的值不变．故选：C．【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．5、A【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA=，即可得出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=3b，∴；故选择：A.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．6、B【分析】如图所示过点P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，可得OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，可确定D点坐标，可得△OCD为等腰直角三角形，得到△PED也为等腰直角三角形，又PE⊥AB，由垂径定理可得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，由勾股定理可得PE=，可得PD=PE=，最终求出a的值.【详解】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（-3，a），∴OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，∴D点坐标为（-3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，熟练掌握圆中基本定理和基础图形是解题的关键.7、D【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵•BC•AH=•AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵•AD•BO=•BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC=.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．8、A【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理进行分析即可求解．【详解】解：∵a//b//c，∴=．故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．注意掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．9、C【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴.即a的取值范围是且.∴整数a的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.10、C【解析】由当x=2时，函数y有最大值，根据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以由2＜x2＜x2得到y2＞y2．【详解】∵当x=2时，函数y有最大值，∴a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2．∵2＜x2＜x2，∴y2＞y2．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11、C【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可．【详解】解：∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD，①正确；∵∠ADO不一定等于∠BCO，∴△AOD与△ACB不一定相似，②错误；∴，③正确；∵△ABD与△ABC等高同底，∴，∵，∴，④正确；故选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.12、A【解析】分析：由S△ABC=9、S△A′EF=1且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得．详解：如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=1，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则，即，解得A′D=2或A′D=-（舍），故选A．点睛：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】由题意直接利用因式分解法进行计算求解即可得出答案．【详解】解：∵1（x﹣1）＝﹣x（x﹣1），∴1（x﹣1）+x（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x+1）＝0，则x﹣1＝0或x+1＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣1，故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14、.【分析】如图，过点C作CP⊥BE于P，可得CG为PC的最小值，由ABCDEF是正六边形，根据多边形内角和公式可得∠GBC=60°，进而可得∠BCG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出PC的长.【详解】如图，过点C作CG⊥BE于G，∵点P为对角线BE上一动点，∴点P与点G重合时，PC最短，即CG为PC的最小值，∵ABCDEF是正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠GBC=60°，∴∠BCG=30°，∵BC=6，∴BG=BC=3，∴CG===.故答案为：【点睛】本题考查正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，根据垂线段最短得出点P的位置，并熟练掌握多边形内角和公式是解题关键.15、，【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x2＝3xx2﹣3x＝0即x（x﹣3）＝0∴，故本题的答案是，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．16、1：3：9：11或4：6：9：11【分析】分或两种情况解答，根据平行得出，由面积比等于相似比是平方，得出△BEF与△DAF的面积比，再根据面积公式得出△BEF与△ABF的面积比，根据图形得出四边形CDFE与△BEF的面积关系，最后求面积比即可.【详解】解：E为三等分点，则或①时，设，则，，②时，同理可得设，则，，【点睛】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方及面积公式，得出图形之间的关系是解答此题的关键.17、【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【详解】解：点M，N分别是AB，BC的中点，，当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．18、-22【分析】先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算.【详解】解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以=1-2+3-4+…+43-44=-22【点睛】本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.三、解答题（共78分）19、（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.【分析】（1）连接OD，由D为的中点，得到，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；

（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由得到∠DAC＝∠DCA＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：DE与⊙O相切证：连接OD，在⊙O中∵D为的中点∴∴AD＝DC∵AD＝DC，点O是AC的中点∴OD⊥AC∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵DE∥AC∴∠DOA＝∠ODE＝90°∵∠ODE＝90°∴OD⊥DE∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D∴DE与⊙O相切.（2）解：连接BD∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠DAB＋∠DCB＝180°又∵∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,∴∠ADC＝∠ABC＝90°∵,∴∠ABD＝∠CBD＝45°∵AD＝DC，∠ADC＝90°∴∠DAC＝∠DCA＝45°∵DE∥AC∴∠DCA＝∠CDE＝45°在△ABD和△CDE中∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°∴△ABD∽△CDE∴＝∴＝∴AD＝DC＝4,CE＝，AB＝6，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝8∴⊙O的半径为4.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．20、（1）反比例函数表达式为；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）求出点横坐标，也就是.由垂直平分，得到,,,在，,求出,从而求出.（2）方法一:通过边长关系可证,为公共角,从而,,;方法二:求出直线与直线的解析式，系数相等,所以方法三:延长交轴于点,证明,四边形是平行四边形,.（3）求出,根据,设,代入点坐标，求得,与联立,求出的坐标.【详解】（1）连接，∵垂直平分，∴．∵，∴．设，则，∵四边形矩形，∴，．在中，．即．解得．∴点．将点的坐标代入中，得．∴所求反比例函数表达式为．（2）．方法一：将代入得，，∴点．∵，，，，∴，，，．∴，．∴．∵，∴．∴．∴．方法二：将代入得，，∴点．由（1）知，，．设直线的函数表达式为，∵点在直线上，∴，∴．∴设直线的函数表达式为．设直线的函数表达式为，∵点在直线上，∴解得∴直线的函数表达式为．∵直线与直线的值为，∴直线与直线平行．∴．方法三：延长交轴于点，设直线的函数表达式为，∵点在直线上，∴解得∴直线的函数表达式为．将代入中，得．∴点．∴，．∴．∵四边形矩形，∴．∴四边形是平行四边形．∴．（3）．【点睛】本题考查了反比例函数的求法,平行的性质以及两直线垂直的性质.21、，【分析】原式括号中变形后，利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】原式．当，时，原式=3×()×()．【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．23、（1）（2）或，证明见解析（3）【分析】（1）过B做BQ∥NC交AD延长线于Q，构造出全等三角形△BDQ≌△CDM（ASA）、相似三角形△ANM∽△ABQ，再利用全等和相似的性质即可得出结论；（2）延长AD至H，使AD=DH，连接CH，可得△ABD≌△HCD(SAS)，进一步可证得，得到，然后证明，即可得到结论：；延长CM至Q，使QM=CM，连接AQ，延长至，使可得、四边形为平行四边形，进一步可证得，即可得到结论；（3）在（1）、（2）的基础之上，用含的式子表示出、，从而得出．【详解】（1）过B做BQ∥NC交AD延长线于Q，如图：∵D为BC中点易得△BDQ≌△CDM（ASA）∴DQ=DM，∵M为AD中点，∴AM=DM=DQ，∵BQ∥NC，∴△ANM∽△ABQ，∴，∴；（2）①结论：，证明：延长AD至H，使AD=DH，连接CH，如图：易得△ABD≌△HCD(SAS)，∴∠H=∠BAH，∴AB∥HC，设AM=x，则AD=AC=2x，AH=4x，∴，，∴；∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②结论：；证明：延长至，使，连接，延长至，使，如图：则，则四边形为平行四边形，∴，，，，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴；(3)由（1）得，，∴，由（2）①得，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，合理的添加辅助线是解题的关键．24、（1）y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（，）．【分析】（1）将点A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可；（2）先求出点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+4，再将点B（4，0）代入y＝kx+4即可；（3）先判断存在点P，求出AC，BC的长及∠OCB＝∠OBC＝45°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），用含m的代数式表示出QM，AM的长