人教版高中数学必修二检测2.3直线平面垂直的判定及其性质2.3.4

第二章2.3A级基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则eq\x(导学号09024587)(C)A．m∥β B．m⊂βC．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直[解析]如图∵α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β．2．设有直线m、n和平面α、β，则下列命题中正确的是eq\x(导学号09024588)(B)A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n⊥β,m∥n))⇒m⊥β)),,,m⊂α))⇒α⊥β，∴B正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则eq\x(导学号09024589)(C)A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[解析]α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．4．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是eq\x(导学号09024590)(D)A．一条线段 B．一条直线C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点[解析]∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°．∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂a，要使n⊥β，则应增加的条件是eq\x(导学号09024591)(B)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α[解析]由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m．6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为eq\f(π,4)和eq\f(π,6).过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于eq\x(导学号09024592)(A)A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3[解析]由已知条件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)∠ABA′＝eq\f(π,6)，设AB＝2a则BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1．二、填空题7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：eq\x(导学号09024593)①α∥β，l⊄β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确的两个命题是__①③__．[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,α∥β))⇒l⊥β)),,,m⊂β))⇒l⊥m，故①对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊥α))⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m⊂β))⇒l∥β或l⊂β)),,,l⊥α))⇒α⊥β，∴③对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊥m))⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的__垂__心.eq\x(导学号09024594)[解析]由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．eq\x(导学号09024595)[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC⊥平面BCD,CD⊥BC))⇒CD⊥平面ABC)),,,AB⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥AB,AB⊥AC))⇒AB⊥平面ACD)),,,AB⊂平面ABD))⇒平面ABD⊥平面ACD．10．(2018·江苏卷，15)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.eq\x(导学号09025210)求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC．[解析](1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．B级素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：eq\x(导学号09024597)①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β．其中正确命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．2．在空间中，下列命题正确的是eq\x(导学号09024598)(D)A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是eq\x(导学号09024599)(D)A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD[解析]因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．二、填空题4．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝__45°__.eq\x(导学号09024600)[解析]如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．∵△PAD是等边三角形∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ．在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG∴∠PBG＝45°，即θ＝45°．三、解答题5．(2016·四川文)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD．(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD．eq\x(导学号09024601)[解析](1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM所以四边形AMCB是平行四边形从而CM∥AB．又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB所以CM∥平面PAB．(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知，PA⊥AB，PA⊥CD因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以直线AB与CD相交．所以PA⊥平面ABCD．从而PA⊥BD．连接BM，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD所以BC∥MD，且BC＝MD．所以四边形BCDM是平行四边形．所以BM＝CD＝eq\f(1,2)AD，所以BD⊥AB．又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．又BD⊂平面PBD．所以平面PAB⊥平面PBD．C级能力拔高1．(2018·北京文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.eq\x(导学号09025211)(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(2)求证：EF∥平面PCD．[解析](1)∵PA＝PD，且E为AD的中点∴PE⊥AD．∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥PD．又PA⊥PD，AB∩PA＝A∵PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD∴平面PAB⊥平面PCD．(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD．∵F，G分别为PB和PC的中点∴FG∥BC，且FG＝eq\f(1,2)BC．∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点∴ED∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴ED∥FG，且ED＝FG∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD．又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．2．(2018·镇巴中学高一检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1的中点.eq\x(导学号09025162)(1)求证：B1D1⊥AE；(2)求证：AC∥平面B1DE；(3)求三棱锥A－BDE的体积．[解析](1)连接BD，则BD∥B1D1∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE＝C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF．∵E，F是CC1、BB1的中点，∴CE綊B1F∴四边形B1FCE是平行四边