2023版高考数学一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形4-3 三角恒等变换

第三节三角恒等变换

,最新考纲,

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.会利用两角差的余弦公式推导出两南差的正弦、正切公式.

3.会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余

弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.

・考向预测•

考情分析：两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用仍将是高考考查的热点，题型

仍将是选择题与填空题.

学科素养：通过三角恒等变换化简、求值考查逻辑推理及数学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

____»___________________________简___记___符__号__________使用条件_________

cos(a+S)=

两角和的余弦C(a+β)

a,yβ≡R

cos(CLp)

两角差的余弦C(-ff)

=Cosacos夕+sin6tsinβa

sin(a+β)=

两角和的正弦S(α+为

a,βWR

sin(a~β)=sinacosβ

两角差的正弦Sg-伤

-cosasinβ

tan(a+β)—

两角和的正切T(α+0a,%α+^≠≡+fcπ(∕c∈Z)

tan{a~β)—

两角差的正切T(〃-6)α,β,β-^≠^+∕cπ(fc∈Z)

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法_________________________________

S2asin2a=_______________

C2<zcos2a=__________________

T2atan2a=_________________

3.与二倍角有关的公式变形

sn2ol222tan；=

(1)2SinaCoSa=Sin2α,sinαcosα=⅛in2a,cosα='τcosa—sina≈cos2«,

22sιnal-tan2α

tan2a.

(2)1±sin2a=sin2α+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2.

(3)降出公式:

sin2α=.

二、必明5个常用结论

1.公式的常用变式：tanα±ta∏4=tan(ɑ±在)(国an^tan£)；tan(∙tan夕=L

tanα-tan∣

tan（α-β）

C收宣八T•?l-cos2al+cos2a._1.C

2.降帚公式：Slrra=——-——；C7OSZa=——-——；SlnaeOSa=^sin2a.

2

3.升鬲公式：l÷cosa=2cos2^;1-cosa=2sin2p1+sina=（sin^+cos］）；1-sina

4.常用拆角、拼角技巧：例如，2a=(a+尸)+(a—夕)；a=(a+β)~β=(a~β)+β↑4=乎

F=(a+20—(a一加；

a一夕=(a-y)+(y一夕)；15。=45。-30。；弓+&=］一(三一。等.

5.辅助角公式：，般地,函数/(a)=。sina÷⅛cosa(a,b为常数)可以化为/(a)=V?"T"E⅝in

（a+p）（其中tanφ=√a2+b2cos（a一夕乂其中tanφ=：）.

三、必练4类基础题

(一)判断正误

1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或"X”).

⑴存在实数α,B，使等式Sin(Ct+H)=sinct+sinS成立.()

(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角。，£是任意角.()

(3)存在实数a,使tan2a=2tana.()

(二)教材改编

2.［必修4∙P］30例4改编］sin20ocos10o-cos160osin10o=()

3.［必修4∙P127练习T2改编］若CoSQ=一豆Q是第三象限的角，则Sin(α+:)等于()

7√2C7√2

-------U.-------

（三）易错易混

4.（未注意角的范囹致错）设sin2G=—sin1,<x∈Q,π）,则Ian（兀-2a）=.

5.（不会合理配角致错）若tan［=1,tan（α+^）=∣,贝IJtanP=.

(四)走进高考

6.[2021∙全国乙卷]cos2^-cos2,=()

A.ɪB.在

23

C∙立D.在

22

第三节三角恒等变换

积累必备知识

、

1.cosacosA-SinGSinβ

sinacos夕+cosαsinβ

tanα+tanβtana-tanβ

1-tanatanβ1+tanatanβ

Cc・2∙22tana

2.2sιnacosacosz«—sιnza-----=-

l-tanza

4l+cos2a1-cos2a

■22

三、

1.答案」⑴J(2)√(3)√

2.解析：sin20ocos10o-cos160osinIO0

=sin20ocosIO0+cos20osin10°=sin(20°+IO0)=sin30°=∣.

答案：D

3.解析：根据题意可得Sina=-7∖一cos?α

_3

-^5，

则sin(α+£)=γsinα+γcosa

=WXGZ)=_4

答案：C

4.解析：Vsin2a=-sina,a∈(pπ),

•—1_2

•∙COSOC———,Ct-

∙,.tan(兀-2α)=tan(兀-⅛r)=tan(-^)=—V3.

答案：一百

5

∙解析：tan∕j=tanl(α+^)-αJ=黑黑就⅞

1_1

231

1+-+-7,

23

答案：ɪ

5τr.π5τr.π

6.解析：因为