高考数学理科二轮复习资料（全套）

./高考数学理科二轮复习资料全套一、集合与常用逻辑用语〔理科数学1.集合<1>集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.<2>子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.<3>数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系<1><2>互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假<1>命题p∨q：若p、q中至少有一个为真,则命题为真命题,简记为：一真则真.<2>命题p∧q：若p、q中至少有一个为假,则命题为假命题,p、q同为真时,命题才为真命题,简记为：一假则假,同真则真.<3>命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定<1>全称命题p：∀x∈M,p<x>,其否定为特称命题綈p：∃x0∈M,綈p<x0>.<2>特称命题p：∃x0∈M,p<x0>,其否定为全称命题綈p：∀x∈M,綈p<x>.5.充分条件和必要条件<1>若p⇒q且q⇏p,则p是q的充分不必要条件；<2>若p⇏q且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件；<3>若p⇔q,则称p是q的充要条件；<4>若p⇏q且q⇏p,则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{<x,y>|y＝lgx}——函数图象上的点集.2.易混淆0,∅,{0}：0是一个实数；∅是一个集合,它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合,但是0∉∅,而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B,A∩B＝A,A∪B＝B求解集合A时,务必分析研究A＝∅的情况.5.区分命题的否定与否命题,已知命题为"若p,则q",则该命题的否定为"若p,则綈q",其否命题为"若綈p,则綈q".6.在对全称命题和特称命题进行否定时,不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.1.已知集合A＝{1,3,eq\r<m>},B＝{1,m},A∪B＝A,则m等于<>A.0或eq\r<3>B.0或3C.1或eq\r<3>D.1或3答案B解析∵A∪B＝A,∴B⊆A,∴m∈{1,3,eq\r<m>},∴m＝1或m＝3或m＝eq\r<m>,由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2.设集合A＝{x|1<x<2},B＝{x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是<>A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案A解析若A⊆B,则a≥2,故选A.3.已知集合M＝{x|－3<x≤5},N＝{x|x<－5或x>5},则M∪N等于<>A.{x|－3<x<5} B.{x|－5<x<5}C.{x|x<－5或x>－3} D.{x|x<－3或x>5}答案C解析在数轴上表示集合M、N,则M∪N＝{x|x<－5或x>－3},故选C.4.满足条件{a}⊆A⊆{a,b,c}的所有集合A的个数是<>A.1B.2C.3D.4答案D解析满足题意的集合A可以为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4个.5.已知集合U＝R<R是实数集>,A＝{x|－1≤x≤1},B＝{x|x2－2x<0},则A∪<∁UB>等于<>A.[－1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.<－∞,1]∪[2,＋∞>答案D解析B＝{x|x2－2x<0}＝<0,2>,A∪<∁UB>＝[－1,1]∪<－∞,0]∪[2,＋∞>＝<－∞,1]∪[2,＋∞>,故选D.6.下列命题正确的是<><1>命题"∀x∈R,2x>0"的否定是"∃x0∈R,2≤0"；<2>l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α；<3>给定命题p,q,若"p∧q为真命题",则綈p是假命题；<4>"sinα＝eq\f<1,2>"是"α＝eq\f<π,6>"的充分不必要条件.A.<1><4>B.<2><3>C.<1><3>D.<3><4>答案C解析命题"∀x∈R,2x>0"的否定是"∃x0∈R,2≤0"；l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α或l⊂α；给定命题p,q,若"p∧q为真命题"；则p且q是真命题,綈p且綈q是假命题；"sinα＝eq\f<1,2>"是"α＝eq\f<π,6>"的必要不充分条件,因此<1><3>为真,选C.7.设命题p：∃x0∈R,使xeq\o\al<2,0>＋2x0＋a＝0<a∈R>,则使得p为真命题的一个充分不必要条件是<>A.a>－2B.a<2C.a≤1D.a<0答案D解析设f<x>＝x2＋2x＋a,则p为真命题⇔f<x>在R内有零点⇔Δ≥0⇔a≤1.8.已知命题p：在△ABC中,若AB<BC,则sinC<sinA；命题q：已知a∈R,则"a>1"是"eq\f<1,a><1"的必要不充分条件.在命题p∧q,p∨q,<綈p>∨q,<綈p>∧q中,真命题的个数为<>A.1B.2C.3D.4答案A解析由题意得,在△ABC中,若AB<BC,即c<a,由正弦定理可得sinC<sinA,所以p真,又已知a∈R,则"a>1"是"eq\f<1,a><1"的充分不必要条件,所以q假,只有p∨q为真命题,故选A.9.已知命题p：∀m∈[0,1],x＋eq\f<1,x>≥2m,则綈p为<>A.∀m∈[0,1],x＋eq\f<1,x><2mB.∃m0∈[0,1],x＋eq\f<1,x>≥2C.∃m0∈<－∞,0>∪<1,＋∞>,x＋eq\f<1,x>≥2D.∃m0∈[0,1],x＋eq\f<1,x><2答案D解析根据全称命题与特称命题的关系,可知命题p：∀m∈[0,1],x＋eq\f<1,x>≥2m,则綈p为"∃m0∈[0,1],x＋eq\f<1,x><2",故选D.10.下列结论正确的是________.<1>f<x>＝ax－1＋2<a>0,且a≠1>的图象经过定点<1,3>；<2>已知x＝log23,4y＝eq\f<8,3>,则x＋2y的值为3；<3>若f<x>＝x3＋ax－6,且f<－2>＝6,则f<2>＝18；<4>f<x>＝x<eq\f<1,1－2x>－eq\f<1,2>>为偶函数；<5>已知集合A＝{－1,1},B＝{x|mx＝1},且B⊆A,则m的值为1或－1.答案<1><2><4>解析<1>当x＝1时,f<1>＝a0＋2＝1＋2＝3,则函数的图象经过定点<1,3>,故<1>正确；<2>已知x＝log23,4y＝eq\f<8,3>,则22y＝eq\f<8,3>,2y＝log2eq\f<8,3>,则x＋2y＝log23＋log2eq\f<8,3>＝log2<eq\f<8,3>×3>＝log28＝3,故<2>正确；<3>若f<x>＝x3＋ax－6,且f<－2>＝6,则<－2>3－2a－6＝6,即a＝－10,则f<2>＝23－2×10－6＝－18,故<3>错误；<4>函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f<x>＝x<eq\f<1,1－2x>－eq\f<1,2>>＝x·eq\f<1＋2x,2<1－2x>>,则f<－x>＝－x·eq\f<1＋2－x,2<1－2－x>>＝－x·eq\f<2x＋1,2<2x－1>>＝x·eq\f<1＋2x,2<1－2x>>＝f<x>,即有f<x>为偶函数,则f<x>＝x<eq\f<1,1－2x>－eq\f<1,2>>为偶函数,故<4>正确；<5>已知集合A＝{－1,1},B＝{x|mx＝1},且B⊆A,当m＝0时,B＝∅,也满足条件,故<5>错误,故正确的是<1><2><4>.11.已知M是不等式eq\f<ax＋10,ax－25>≤0的解集且5∉M,则a的取值范围是________________.答案<－∞,－2>∪[5,＋∞>解析若5∈M,则eq\f<5a＋10,5a－25>≤0,∴<a＋2><a－5>≤0且a≠5,∴－2≤a＜5,∴5∉M时,a<－2或a≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a,b,c满足eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\f<2,c>,则称a,b,c是调和的；若满足a＋c＝2b,则称a,b,c是等差的.若集合P中元素a,b,c既是调和的,又是等差的,则称集合P为"好集",若集合M＝{x||x|≤2014,x∈Z},集合P＝{a,b,c}⊆M,则<1>"好集"P中的元素最大值为________；<2>"好集"P的个数为________.答案20121006解析因为a＝－2b,c＝4b,若集合P中元素a、b、c既是调和的,又是等差的,则eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\f<2,c>且a＋c＝2b,故满足条件的"好集"为形如{－2b,b,4b}<b≠0>的形式,则－2014≤4b≤2014,解得－503≤b≤503,且b≠0,P中元素的最大值为4b＝4×503＝2012.符合条件的b值可取1006个,故"好集"P的个数为1006.13.设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0,其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x－8>0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.答案<－∞,－4]解析由命题q：实数x满足x2＋2x－8>0,得x<－4或x>2,由命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0,其中a<0,得<x－3a><x－a><0,∵a<0,∴3a<x<a,∵q是p的必要不充分条件,∴a≤－4,∴a∈<－∞,－4].14.已知命题p：eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<1－\f<x＋1,2>>>≤1,命题q：x2－2x＋1－m2<0<m>0>,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________.答案<2,＋∞>解析∵eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<1－\f<x＋1,2>>>≤1⇔－1≤eq\f<x＋1,2>－1≤1⇔0≤eq\f<x＋1,2>≤2⇔－1≤x≤3,∴p：－1≤x≤3；∵x2－2x＋1－m2<0<m>0>⇔[x－<1－m>][x－<1＋m>]<0⇔1－m<x<1＋m,∴q：1－m<x<1＋m.∵p是q的充分不必要条件,∴[－1,3]是<1－m,1＋m>的真子集,则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1－m<－1,,1＋m>3,>>解得m>2.二、函数与导数1．函数的定义域和值域<1>求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f<x>的定义域为[a,b],则f[g<x>]的定义域为不等式a≤g<x>≤b的解集；反之,已知f[g<x>]的定义域为[a,b],则f<x>的定义域为函数y＝g<x><x∈[a,b]>的值域；③在实际问题中应使实际问题有意义．<2>常见函数的值域①一次函数y＝kx＋b<k≠0>的值域为R；②二次函数y＝ax2＋bx＋c<a≠0>：a>0时,值域为eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<4ac－b2,4a>,＋∞>>,a<0时,值域为eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－∞,\f<4ac－b2,4a>>>；③反比例函数y＝eq\f<k,x><k≠0>的值域为{y∈R|y≠0}．2．函数的奇偶性、周期性<1>奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x<定义域关于原点对称>,都有f<－x>＝－f<x>成立,则f<x>为奇函数<都有f<－x>＝f<x>成立,则f<x>为偶函数>．<2>周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f<x>,如果对于定义域内的任意一个x的值：若f<x＋T>＝f<x><T≠0>,则f<x>是周期函数,T是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论<1>函数的周期性①若函数f<x>满足f<x＋a>＝f<x－a>,则f<x>为周期函数,2a是它的一个周期．②设f<x>是R上的偶函数,且图象关于直线x＝a<a≠0>对称,则f<x>是周期函数,2a是它的一个周期．③设f<x>是R上的奇函数,且图象关于直线x＝a<a≠0>对称,则f<x>是周期函数,4a是它的一个周期．<2>函数图象的对称性①若函数y＝f<x>满足f<a＋x>＝f<a－x>,即f<x>＝f<2a－x>,则f<x>的图象关于直线x＝a对称．②若函数y＝f<x>满足f<a＋x>＝－f<a－x>,即f<x>＝－f<2a－x>,则f<x>的图象关于点<a,0>对称．③若函数y＝f<x>满足f<a＋x>＝f<b－x>,则函数f<x>的图象关于直线x＝eq\f<a＋b,2>对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x1,x2∈[a,b],那么<x1－x2>[f<x1>－f<x2>]>0⇔eq\f<f<x1>－f<x2>,x1－x2>>0⇔f<x>在[a,b]上是增函数；<x1－x2>[f<x1>－f<x2>]<0⇔eq\f<f<x1>－f<x2>,x1－x2><0⇔f<x>在[a,b]上是减函数．②若函数f<x>和g<x>都是减函数,则在公共定义域内,f<x>＋g<x>是减函数；若函数f<x>和g<x>都是增函数,则在公共定义域内,f<x>＋g<x>是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g<x>]的单调性．5．函数图象的基本变换<1>平移变换：y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<h>0,右移>,\s\do5<h<0,左移>>y＝f<x－h>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<k>0,上移>,\s\do5<k<0,下移>>y＝f<x>＋k.<2>伸缩变换：y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<0<ω<1,伸>,\s\do5<ω>1,缩>>y＝f<ωx>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<0<A<1,缩>,\s\do5<A>1,伸>>y＝Af<x>．<3>对称变换：y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<x轴>>y＝－f<x>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<y轴>>y＝f<－x>,y＝f<x>eq\o<→,\s\up7<原点>>y＝－f<－x>．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质<1>定点：y＝ax<a>0,且a≠1>恒过<0,1>点；y＝logax<a>0,且a≠1>恒过<1,0>点．<2>单调性：当a>1时,y＝ax在R上单调递增；y＝logax在<0,＋∞>上单调递增；当0<a<1时,y＝ax在R上单调递减；y＝logax在<0,＋∞>上单调递减．7．函数与方程<1>零点定义：x0为函数f<x>的零点⇔f<x0>＝0⇔<x0,0>为f<x>的图象与x轴的交点．<2>确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f<x>＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f<x>满足f<a>f<b><0,判断函数在区间<a,b>内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义<1>f′<x0>的几何意义：曲线y＝f<x>在点<x0,f<x0>>处的切线的斜率,该切线的方程为y－f<x0>＝f′<x0><x－x0>．<2>切点的两大特征：①在曲线y＝f<x>上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性<1>求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f<x>的定义域；②求导函数f′<x>；③由f′<x>>0的解集确定函数f<x>的单调增区间,由f′<x><0的解集确定函数f<x>的单调减区间．<2>由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f<x>在区间M上单调递增,则f′<x>≥0<x∈M>恒成立；若可导函数f<x>在区间M上单调递减,则f′<x>≤0<x∈M>恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增<减>区间,f′<x>>0<或f′<x><0>在该区间上存在解集；③若已知f<x>在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f<x>的单调区间,则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值<1>求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′<x>＝0；③判断f′<x>在方程f′<x>＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负,则x0为极大值点；若左负右正,则x0为极小值点；若不变号,则x0不是极值点．<2>求函数f<x>在区间[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f<x>在<a,b>内的极值；②比较函数y＝f<x>的各极值与端点处的函数值f<a>、f<b>的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域,要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时,要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号"∪"和"或"连接,可用"及"连接或用","隔开．单调区间必须是"区间",而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax<a>0,a≠1>的单调性忽视字母a的取值讨论,忽视ax>0；对数函数y＝logax<a>0,a≠1>忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f<x>在<a,b>上单调递增<减>,则f′<x>≥0<≤0>对∀x∈<a,b>恒成立,不能漏掉"＝"号,且需验证"＝"不能恒成立；而已知可导函数f<x>的单调递增<减>区间为<a,b>,则f′<x>＞0<＜0>的解集为<a,b>．8．f′<x>＝0的解不一定是函数f<x>的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′<x>的符号是否发生变化,若变化,则为极值点；若不变化,则不是极值点．1．若函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＋2,x≤0,,2x－4,x>0,>>则f[f<1>]等于<>A．－10B．10C．－2D．2答案C解析由f[f<1>]＝f<21－4>＝f<－2>＝2×<－2>＋2＝－2,故选C.2．若函数f<x>＝x2－eq\f<1,2>lnx＋1在其定义域内的一个子区间<k－1,k＋1>内不是单调函数,则实数k的取值范围是<>A．[1,＋∞> B．[1,eq\f<3,2>>C．[1,2> D．[eq\f<3,2>,2>答案B解析因为f<x>的定义域为<0,＋∞>,y′＝2x－eq\f<1,2x>,由f′<x>＝0,得x＝eq\f<1,2>.利用图象可得,eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<k－1<\f<1,2><k＋1,,k－1≥0,>>解得1≤k<eq\f<3,2>,故选B.3．若函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<3－a>x－3,x≤7,,ax－6,x>7>>单调递增,则实数a的取值范围是<>A．<eq\f<9,4>,3> B．[eq\f<9,4>,3>C．<1,3> D．<2,3>答案D解析因为函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<3－a>x－3,x≤7,,ax－6,x>7>>单调递增,所以1<a<3且由f<7><f<8>得,7<3－a>－3<a2,解得a<－9或a>2,所以实数a的取值范围是<2,3>,故选D.4．函数y＝eq\f<x·2x,|x|>的图象大致形状是<>答案A解析y＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x,x>0,,－2x,x<0,>>y＝2x在<0,＋∞>上单调递增,且y＝2x＞0,排除B,D；又y＝－2x在<－∞,0>上单调递减,排除C.5．<2016·课标全国甲>下列函数中,其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是<>A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝eq\f<1,\r<x>>答案D解析函数y＝10lgx的定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0},所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝eq\f<1,\r<x>>,故选D.6．已知定义在R上的奇函数f<x>满足f<x＋2>＝－f<x>,且f<－1>＝2,则f<2017>的值是<>A．2B．0C．－1D．－2答案D解析由题意得f<x＋4>＝－f<x＋2>＝f<x>,所以函数是以T＝4的周期函数,所以f<2017>＝f<1>＝－f<－1>＝－2,故选D.7．已知函数f<x>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,5>>>x－log3x,若x0是函数y＝f<x>的零点,且0＜x1＜x0,则f<x1>的值<>A．恒为正值 B．等于0C．恒为负值 D．不大于0答案A解析由题意知f<x>为<0,＋∞>上的减函数,又f<x0>＝0,x1＜x0,∴f<x1>＞f<x0>＝0,故选A.8．设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则<>A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案D解析易知log23>1,log32,log52∈<0,1>．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝log5x的图象,观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a,b的其他解法：log32>log3eq\r<3>＝eq\f<1,2>,log52<log5eq\r<5>＝eq\f<1,2>,得a>b；0<log23<log25,所以eq\f<1,log23>>eq\f<1,log25>,结合换底公式得log32>log52,即a＞b.9．若函数f<x>定义域为[－2,2],则函数y＝f<2x>·ln<x＋1>的定义域为________．答案<－1,1]解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－2≤2x≤2,,x＋1>0,>>∴－1<x≤1,即函数y＝f<2x>·ln<x＋1>的定义域为<－1,1]．10．<2016·天津>已知函数f<x>＝<2x＋1>ex,f′<x>为f<x>的导函数,则f′<0>的值为________．答案3解析因为f<x>＝<2x＋1>ex,所以f′<x>＝2ex＋<2x＋1>ex＝<2x＋3>ex,所以f′<0>＝3e0＝3.11．设奇函数y＝f<x><x∈R>,满足对任意t∈R都有f<t>＝f<1－t>,且x∈[0,eq\f<1,2>]时f<x>＝－x2,则f<3>＋f<－eq\f<3,2>>的值等于________．答案－eq\f<1,4>解析由于y＝f<x>为奇函数,根据对任意t∈R都有f<t>＝f<1－t>,可得f<－t>＝f<1＋t>,所以函数y＝f<x>的一个周期为2,故f<3>＝f<1>＝f<0＋1>＝－f<0>＝0,f<－eq\f<3,2>>＝f<eq\f<1,2>>＝－eq\f<1,4>,∴f<3>＋f<－eq\f<3,2>>＝－eq\f<1,4>.12．函数f<x>＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10,则a＋b的值为________．答案－7解析∵f′<x>＝3x2＋2ax＋b,由已知可得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<f′<1>＝3＋2a＋b＝0,,f<1>＝1＋a＋b＋a2＝10,>>解得a＝4,b＝－11或a＝－3,b＝3,经验证,a＝4,b＝－11符合题意,故a＋b＝－7.13．已知函数f<x>＝eq\f<x＋1,ex><e为自然对数的底数>．<1>求函数f<x>的单调区间；<2>设函数φ<x>＝xf<x>＋tf′<x>＋eq\f<1,ex>,存在实数x1,x2∈[0,1],使得2φ<x1><φ<x2>成立,求实数t的取值范围．解<1>∵函数的定义域为R,f′<x>＝－eq\f<x,ex>,∴当x<0时,f′<x>>0,当x>0时,f′<x><0,∴f<x>在<－∞,0>上单调递增,在<0,＋∞>上单调递减．<2>存在x1,x2∈[0,1],使得2φ<x1><φ<x2>成立,则2[φ<x>]min<[φ<x>]max.∵φ<x>＝xf<x>＋tf′<x>＋e－x＝eq\f<x2＋<1－t>x＋1,ex>,∴φ′<x>＝eq\f<－x2＋<1＋t>x－t,ex>＝－eq\f<<x－t><x－1>,ex>.①当t≥1时,φ′<x>≤0,φ<x>在[0,1]上单调递减,∴2φ<1><φ<0>,即t>3－eq\f<e,2>>1；②当t≤0时,φ′<x>>0,φ<x>在[0,1]上单调递增,∴2φ<0><φ<1>,即t<3－2e<0；③当0<t<1时,若x∈[0,t>,φ′<x><0,φ<x>在[0,t>上单调递减,若t∈<t,1],φ′<x>>0,φ<x>在<t,1>上单调递增,∴2φ<t><max{φ<0>,φ<1>},即2·eq\f<t＋1,et><max{1,eq\f<3－t,e>}．<*>由<1>知,g<t>＝2·eq\f<t＋1,et>在[0,1]上单调递减,故eq\f<4,e>≤2·eq\f<t＋1,et>≤2,而eq\f<2,e>≤eq\f<3－t,e>≤eq\f<3,e>,∴不等式<*>无解．综上所述,存在t∈<－∞,3－2e>∪<3－eq\f<e,2>,＋∞>,使得命题成立．三、三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于"eq\f<kπ,2>±α,k∈Z"的三角函数值,与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变,符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1,tanα＝eq\f<sinα,cosα><cosα≠0>.3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式<1>sin<α±β>＝sinαcosβ±cosαsinβ.<2>cos<α±β>＝cosαcosβ∓sinαsinβ.<3>tan<α±β>＝eq\f<tanα±tanβ,1∓tanαtanβ>.<4>asinα＋bcosα＝eq\r<a2＋b2>sin<α＋φ><其中tanφ＝eq\f<b,a>>.4.二倍角的正弦、余弦、正切公式<1>sin2α＝2sinαcosα.<2>cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.<3>tan2α＝eq\f<2tanα,1－tan2α>.5.三种三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－eq\f<π,2>＋2kπ,eq\f<π,2>＋2kπ]<k∈Z>上单调递增；在[eq\f<π,2>＋2kπ,eq\f<3π,2>＋2kπ]<k∈Z>上单调递减在[－π＋2kπ,2kπ]<k∈Z>上单调递增；在[2kπ,π＋2kπ]<k∈Z>上单调递减在<－eq\f<π,2>＋kπ,eq\f<π,2>＋kπ><k∈Z>上单调递增对称性对称中心：<kπ,0><k∈Z>；对称轴：x＝eq\f<π,2>＋kπ<k∈Z>对称中心：<eq\f<π,2>＋kπ,0><k∈Z>；对称轴：x＝kπ<k∈Z>对称中心：<eq\f<kπ,2>,0><k∈Z>6.函数y＝Asin<ωx＋φ><ω>0,A>0>的图象<1>"五点法"作图：设z＝ωx＋φ,令z＝0,eq\f<π,2>,π,eq\f<3π,2>,2π,求出相应的x的值与y的值,描点、连线可得.<2>由三角函数的图象确定解析式时,一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.<3>图象变换：y＝sinxeq\o<→,\s\up7<向左<φ>0>或向右<φ<0>>,\s\do5<平移|φ|个单位>>y＝sin<x＋φ>eq\o<→,\s\up10<横坐标变为原来的\f<1,ω><ω>0>倍>,\s\do5<纵坐标不变>>y＝sin<ωx＋φ>eq\o<→,\s\up7<纵坐标变为原来的A<A>0>倍>,\s\do5<横坐标不变>>y＝Asin<ωx＋φ>.7.正弦定理及其变形eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>＝eq\f<c,sinC>＝2R<2R为△ABC外接圆的直径>.变形：a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC.sinA＝eq\f<a,2R>,sinB＝eq\f<b,2R>,sinC＝eq\f<c,2R>.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.8.余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝a2＋c2－2accosB,c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>,cosB＝eq\f<a2＋c2－b2,2ac>,cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA,a2＋c2－b2＝2accosB,a2＋b2－c2＝2abcosC.9.面积公式S△ABC＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<1,2>acsinB＝eq\f<1,2>absinC.10.解三角形<1>已知两角及一边,利用正弦定理求解.<2>已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.<3>已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.<4>已知三边,利用余弦定理求解.11.平面向量的数量积<1>若a,b为非零向量,夹角为θ,则a·b＝|a||b|cosθ.<2>设a＝<x1,y1>,b＝<x2,y2>,则a·b＝x1x2＋y1y2.12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝<x1,y1>,b＝<x2,y2>,则<1>a∥b⇔a＝λb<b≠0>⇔x1y2－x2y1＝0.<2>a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.13.利用数量积求长度<1>若a＝<x,y>,则|a|＝eq\r<a·a>＝eq\r<x2＋y2>.<2>若A<x1,y1>,B<x2,y2>,则|eq\o<AB,\s\up6<→>>|＝eq\r<<x2－x1>2＋<y2－y1>2>.14.利用数量积求夹角若a＝<x1,y1>,b＝<x2,y2>,θ为a与b的夹角,则cosθ＝eq\f<a·b,|a||b|>＝eq\f<x1x2＋y1y2,\r<x\o\al<2,1>＋y\o\al<2,1>>\r<x\o\al<2,2>＋y\o\al<2,2>>>.15.三角形"四心"向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则<1>O为△ABC的外心⇔|eq\o<OA,\s\up6<→>>|＝|eq\o<OB,\s\up6<→>>|＝|eq\o<OC,\s\up6<→>>|＝eq\f<a,2sinA>.<2>O为△ABC的重心⇔eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＋eq\o<OC,\s\up6<→>>＝0.<3>O为△ABC的垂心⇔eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝eq\o<OB,\s\up6<→>>·eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\o<OC,\s\up6<→>>·eq\o<OA,\s\up6<→>>.<4>O为△ABC的内心⇔aeq\o<OA,\s\up6<→>>＋beq\o<OB,\s\up6<→>>＋ceq\o<OC,\s\up6<→>>＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时,不要忽视角的范围,要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域<或最值>时,不要忽略x的取值范围.3.求函数f<x>＝Asin<ωx＋φ>的单调区间时,要注意A与ω的符号,当ω<0时,需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中,注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin<ωx＋φ>时,平移量为eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<φ,ω>>>,而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时,要注意检验解是否满足"大边对大角",避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0,方向任意,并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b>0是〈a,b〉为锐角的必要不充分条件；a·b<0是〈a,b〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin45°cos15°－sin30°的值等于<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<\r<2>,2>C.eq\f<\r<3>,2>D.1答案C解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin<45°－15°>＝2sin45°cos15°－<sin45°cos15°－cos45°sin15°>＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝eq\f<\r<3>,2>.故选C.2.要得到函数y＝sin2x的图象,可由函数y＝cos<2x－eq\f<π,3>><>A.向左平移eq\f<π,6>个单位长度得到B.向右平移eq\f<π,6>个单位长度得到C.向左平移eq\f<π,12>个单位长度得到D.向右平移eq\f<π,12>个单位长度得到答案D解析由于函数y＝sin2x＝cos<eq\f<π,2>－2x>＝cos<2x－eq\f<π,2>>＝cos[2<x－eq\f<π,12>>－eq\f<π,3>],所以可由函数y＝cos<2x－eq\f<π,3>>向右平移eq\f<π,12>个单位长度得到函数y＝sin2x的图象,故选D.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2＝<a－b>2＋6,C＝eq\f<π,3>,则△ABC的面积是<>A.3B.eq\f<9\r<3>,2>C.eq\f<3\r<3>,2>D.3eq\r<3>答案C解析c2＝<a－b>2＋6,即c2＝a2＋b2－2ab＋6,①∵C＝eq\f<π,3>,由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab,②由①和②得ab＝6,∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>×6×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<3\r<3>,2>,故选C.4.<1＋tan18°><1＋tan27°>的值是<>A.eq\r<3>B.1＋eq\r<2>C.2D.2<tan18°＋tan27°>答案C解析由题意得,tan<18°＋27°>＝eq\f<tan18°＋tan27°,1－tan18°tan27°>,即eq\f<tan18°＋tan27°,1－tan18°tan27°>＝1,所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°,所以<1＋tan18°><1＋tan27°>＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2,故选C.5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC＋ccosB＝asinA,则△ABC的形状为<>A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析∵bcosC＋ccosB＝asinA,∴sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A,∴sin<B＋C>＝sin2A,∴sinA＝1,∴A＝eq\f<π,2>,三角形为直角三角形.6.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p＝<sinA,1>,q＝<1,－cosB>,则p与q的夹角是<>A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案A解析∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角,∴A＋B>eq\f<π,2>,即A>eq\f<π,2>－B>0,∴sinA>sin<eq\f<π,2>－B>＝cosB,∴p·q＝sinA－cosB>0.再根据p,q的坐标可得p,q不共线,故p与q的夹角为锐角.7.f<x>＝eq\f<1,2>sin<2x－eq\f<π,3>>＋eq\f<\r<3>,2>cos<2x－eq\f<π,3>>是<>A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数答案C解析f<x>＝eq\f<1,2>sin<2x－eq\f<π,3>>＋eq\f<\r<3>,2>cos<2x－eq\f<π,3>>＝sin<2x－eq\f<π,3>＋eq\f<π,3>>＝sin2x,是最小正周期为π的奇函数,故选C.8.已知a,b为同一平面内的两个向量,且a＝<1,2>,|b|＝eq\f<1,2>|a|,若a＋2b与2a－b垂直,则a与b的夹角为<>A.0B.eq\f<π,4>C.eq\f<2π,3>D.π答案D解析|b|＝eq\f<1,2>|a|＝eq\f<\r<5>,2>,而<a＋2b>·<2a－b>＝0⇒2a2－2b2＋3b·a＝0⇒b·a＝－eq\f<5,2>,从而cos〈b,a〉＝eq\f<b·a,|b|·|a|>＝－1,〈b,a〉＝π,故选D.9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c有下列命题：①若A>B>C,则sinA>sinB>sinC；②若eq\f<cosA,a>＝eq\f<cosB,b>＝eq\f<cosC,c>,则△ABC为等边三角形；③若sin2A＝sin2B,则△ABC为等腰三角形；④若<1＋tanA><1＋tanB>＝2,则△ABC为钝角三角形；⑤存在A,B,C使得tanAtanBtanC<tanA＋tanB＋tanC成立.其中正确的命题为________.<写出所有正确命题的序号>.答案①②④解析若A>B>C,则a>b>c⇒sinA>sinB>sinC；若eq\f<cosA,a>＝eq\f<cosB,b>＝eq\f<cosC,c>,则eq\f<cosA,sinA>＝eq\f<cosB,sinB>⇒sin<A－B>＝0⇒A＝B⇒a＝b,同理可得a＝c,所以△ABC为等边三角形；若sin2A＝sin2B,则2A＝2B或2A＋2B＝π,因此△ABC为等腰或直角三角形；若<1＋tanA><1＋tanB>＝2,则tanA＋tanB＝1－tanAtanB,因此tan<A＋B>＝1⇒C＝eq\f<3π,4>,△ABC为钝角三角形；在△ABC中,tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC恒成立,因此正确的命题为①②④.10.若△ABC的三边a,b,c及面积S满足S＝a2－<b－c>2,则sinA＝________.答案eq\f<8,17>解析由余弦定理得S＝a2－<b－c>2＝2bc－2bccosA＝eq\f<1,2>bcsinA,所以sinA＋4cosA＝4,由sin2A＋cos2A＝1,解得sin2A＋<1－eq\f<sinA,4>>2＝1,sinA＝eq\f<8,17><0舍去>.11.若tanθ＝3,则cos2θ＋sinθcosθ＝________.答案eq\f<2,5>解析∵tanθ＝3,∴cos2θ＋sinθcosθ＝eq\f<cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ>＝eq\f<1＋tanθ,tan2θ＋1>＝eq\f<1＋3,32＋1>＝eq\f<2,5>.12.已知单位向量a,b,c,且a⊥b,若c＝ta＋<1－t>b,则实数t的值为________.答案1或0解析c＝ta＋<1－t>b⇒c2＝t2＋<1－t>2＝|c|2＝1⇒t＝0或t＝1.13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA＝<2c＋a>cos<A＋C>.<1>求角B的大小；<2>求函数f<x>＝2sin2x＋sin<2x－B><x∈R>的最大值.解<1>由已知,bcosA＝<2c＋a>cos<π－B>,即sinBcosA＝－<2sinC＋sinA>cosB,即sin<A＋B>＝－2sinCcosB,则sinC＝－2sinCcosB,∴cosB＝－eq\f<1,2>,即B＝eq\f<2π,3>.<2>f<x>＝2sin2x＋sin2xcoseq\f<2π,3>－cos2xsineq\f<2π,3>＝eq\f<3,2>sin2x－eq\f<\r<3>,2>cos2x＝eq\r<3>sin<2x－eq\f<π,6>>,即x＝eq\f<π,3>＋kπ,k∈Z时,f<x>取得最大值eq\r<3>.14.已知函数f<x>＝2cosx<sinx－cosx>＋1.<1>求函数f<x>的最小正周期和单调增区间；<2>在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且锐角A满足f<A>＝1,b＝eq\r<2>,c＝3,求a的值.解<1>f<x>＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝eq\r<2>sin<2x－eq\f<π,4>>,所以f<x>的最小正周期为π.由－eq\f<π,2>＋2kπ≤2x－eq\f<π,4>≤eq\f<π,2>＋2kπ<k∈Z>,得kπ－eq\f<π,8>≤x≤kπ＋eq\f<3π,8><k∈Z>,所以f<x>的单调增区间为[kπ－eq\f<π,8>,kπ＋eq\f<3π,8>]<k∈Z>.<2>由题意知f<A>＝eq\r<2>sin<2A－eq\f<π,4>>＝1,sin<2A－eq\f<π,4>>＝eq\f<\r<2>,2>,又∵A是锐角,∴2A－eq\f<π,4>＝eq\f<π,4>,∴A＝eq\f<π,4>,由余弦定理得a2＝2＋9－2×eq\r<2>×3×coseq\f<π,4>＝5,∴a＝eq\r<5>.四、数列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an＝a1＋<n－1>dan＝a1qn－1<q≠0>前n项和Sn＝eq\f<n<a1＋an>,2>＝na1＋eq\f<n<n－1>,2>d<1>q≠1,Sn＝eq\f<a1<1－qn>,1－q>＝eq\f<a1－anq,1－q><2>q＝1,Sn＝na12.活用定理与结论<1>等差、等比数列{an}的常用性质等差数列等比数列性质①若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq②an＝am＋<n－m>d③Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…仍成等差数列①若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,则am·an＝ap·aq②an＝amqn－m③Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…仍成等比数列<Sn≠0><2>判断等差数列的常用方法①定义法：an＋1－an＝d<常数><n∈N*>⇔{an}是等差数列.②通项公式法：an＝pn＋q<p,q为常数,n∈N*>⇔{an}是等差数列.③中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2<n∈N*>⇔{an}是等差数列.④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn<A,B为常数,n∈N*>⇔{an}是等差数列.<3>判断等比数列的三种常用方法①定义法：eq\f<an＋1,an>＝q<q是不为0的常数,n∈N*>⇔{an}是等比数列.②通项公式法：an＝cqn<c,q均是不为0的常数,n∈N*>⇔{an}是等比数列.③中项公式法：aeq\o\al<2,n＋1>＝an·an＋2<an·an＋1·an＋2≠0,n∈N*>⇔{an}是等比数列.3.数列求和的常用方法<1>等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.<2>形如{an·bn}<其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列>的数列,利用错位相减法求和.<3>通项公式形如an＝eq\f<c,<an＋b1><an＋b2>><其中a,b1,b2,c为常数>用裂项相消法求和.<4>通项公式形如an＝<－1>n·n或an＝a·<－1>n<其中a为常数,n∈N*>等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.<5>分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差<比>数列或一些可以直接求和的数列.<6>并项求和法：先将某些项放在一起求和,然后再求Sn.1.已知数列的前n项和求an,易忽视n＝1的情形,直接用Sn－Sn－1表示.事实上,当n＝1时,a1＝S1；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1.2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a,b的等比中项是±eq\r<ab>.3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知eq\f<Sn,Tn>＝eq\f<n＋1,2n＋3>,求eq\f<an,bn>时,无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q≠0,导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等,如eq\f<1,n<n＋2>>≠eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋2>,而是eq\f<1,n<n＋2>>＝eq\f<1,2>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,n>－\f<1,n＋2>>>.8.通项中含有<－1>n的数列求和时,要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn＝2an－4<n∈N*>,则an等于<>A.2n＋1B.2nC.2n－1D.2n－2答案A解析an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－<2an－4>⇒an＋1＝2an,再令n＝1,∴S1＝2a1－4⇒a1＝4,∴数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,∴an＝4·2n－1＝2n＋1,故选A.2.已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an,且a1＝2,a2＝3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2016的值为<>A.0B.2C.5D.6答案A解析由题意得,a3＝a2－a1＝1,a4＝a3－a2＝－2,a5＝a4－a3＝－3,a6＝a5－a4＝－1,a7＝a6－a5＝2,∴数列{an}是周期为6的周期数列,而2016＝6·336,∴S2016＝336S6＝0,故选A.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5＝14－a6,则S10等于<>A.35B.70C.28D.14答案B解析a5＝14－a6⇒a5＋a6＝14,S10＝eq\f<10<a1＋a10>,2>＝eq\f<10<a5＋a6>,2>＝70.故选B.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2＝4,S10＝110,则使eq\f<Sn＋63,an>取得最小值时n的值为<>A.7B.7或8C.eq\f<17,2>D.8答案D解析a2＝4,S10＝110⇒a1＋d＝4,10a1＋45d＝110⇒a1＝2,d＝2,因此eq\f<Sn＋63,an>＝eq\f<2n＋n<n－1>＋63,2n>＝eq\f<n,2>＋eq\f<63,2n>＋eq\f<1,2>,又n∈N*,所以当n＝8时,eq\f<Sn＋63,an>取得最小值.5.等比数列{an}中,a3a5＝64,则a4等于<>A.8B.－8C.8或－8D.16答案C解析由等比数列的性质知,a3a5＝aeq\o\al<2,4>,所以aeq\o\al<2,4>＝64,所以a4＝8或a4＝－8.6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1＋a3＝eq\f<5,2>,且a2＋a4＝eq\f<5,4>,则eq\f<Sn,an>等于<>A.4n－1B.4n－1C.2n－1D.2n－1答案D解析设等比数列{an}的公比为q,则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1<1＋q2>＝\f<5,2>,,a1q<1＋q2>＝\f<5,4>,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1＝2,,q＝\f<1,2>,>>∴eq\f<Sn,an>＝eq\f<\f<a1<1－qn>,1－q>,a1qn－1>＝eq\f<\f<2×<1－\f<1,2n>>,1－\f<1,2>>,2×<\f<1,2>>n－1>＝2n－1.故选D.7.设函数f<x>＝xa＋ax的导函数f′<x>＝2x＋2,则数列{eq\f<1,f<n>>}的前9项和是<>A.eq\f<29,36>B.eq\f<31,44>C.eq\f<36,55>D.eq\f<43,66>答案C解析由题意得函数f<x>＝xa＋ax的导函数f′<x>＝2x＋2,即axa－1＋a＝2x＋2,所以a＝2,即f<x>＝x2＋2x,eq\f<1,f<n>>＝eq\f<1,n<n＋2>>＝eq\f<1,2><eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋2>>,所以Sn＝eq\f<1,2><1－eq\f<1,3>＋eq\f<1,2>－eq\f<1,4>＋eq\f<1,3>－eq\f<1,5>＋…＋eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋2>>＝eq\f<1,2><1＋eq\f<1,2>－eq\f<1,n＋1>－eq\f<1,n＋2>>.则S9＝eq\f<1,2><1＋eq\f<1,2>－eq\f<1,10>－eq\f<1,11>>＝eq\f<36,55>,故选C.8.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1＝1,Sn是数列{an}前n项的和,则eq\f<2Sn＋16,an＋3><n∈N*>的最小值为<>A.4B.3C.2eq\r<3>－2D.eq\f<9,2>答案A解析据题意由a1,a3,a13成等比数列可得<1＋2d>2＝1＋12d,解得d＝2,故an＝2n－1,Sn＝n2,因此eq\f<2Sn＋16,an＋3>＝eq\f<2n2＋16,2n＋2>＝eq\f<n2＋8,n＋1>＝eq\f<<n＋1>2－2<n＋1>＋9,n＋1>＝<n＋1>＋eq\f<9,n＋1>－2,据基本不等式知eq\f<2Sn＋16,an＋3>＝<n＋1>＋eq\f<9,n＋1>－2≥2eq\r<<n＋1>×\f<9,n＋1>>－2＝4,当n＝2时取得最小值4.9.等比数列{an}中,a4＝2,a5＝5,则数列{lgan}的前8项和等于________.答案4解析由等比数列的性质有a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5,所以T8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg<a1a2…a8>＝lg<a4a5>4＝lg<10>4＝4.10.已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n且a1＝2,则数列{an}的通项公式an＝__________.答案n2－n＋2解析an＋1＝an＋2n,∴an＋1－an＝2n,采用累加法可得∴an＝<an－an－1>＋<an－1－an－2>＋…＋<a2－a1>＋a1,＝2<n－1>＋2<n－2>＋…＋2＋2＝n2－n＋2.11.若数列{an}满足an＝3an－1＋2<n≥2,n∈N*>,a1＝1,则数列{an}的通项公式为an＝____________.答案2×3n－1－1解析设an＋λ＝3<an－1＋λ>,化简得an＝3an－1＋2λ,∵an＝3an－1＋2,∴λ＝1,∴an＋1＝3<an－1＋1>,∵a1＝1,∴a1＋1＝2,∴数列{an＋1}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an＋1＝2×3n－1,∴an＝2×3n－1－1.12.数列1eq\f<1,3>,2eq\f<1,9>,3eq\f<1,27>,4eq\f<1,81>,5eq\f<1,243>,…的前n项之和等于________________.答案eq\f<n<n＋1>,2>＋eq\f<1,2>[1－<eq\f<1,3>>n]解析由数列各项可知通项公式为an＝n＋eq\f<1,3n>,由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为Sn＝eq\f<n<n＋1>,2>＋eq\f<1,2>[1－<eq\f<1,3>>n].13.设数列{an}的前n项和为Sn,a1＝1,an＋1＝λSn＋1<n∈N*,且λ≠－1>,且a1,2a2,a3＋3为等差数列{bn}的前三项.<1>求数列{an},{bn}的通项公式；<2>求数列{anbn}的前n项和.解<1>方法一∵an＋1＝λSn＋1<n∈N*>,∴an＝λSn－1＋1<n≥2>.∴an＋1－an＝λan,即an＋1＝<λ＋1>an<n≥2>,λ＋1≠0,又a1＝1,a2＝λS1＋1＝λ＋1,∴数列{an}为以1为首项,以λ＋1为公比的等比数列,∴a3＝<λ＋1>2,∴4<λ＋1>＝1＋<λ＋1>2＋3,整理得λ2－2λ＋1＝0,得λ＝1.∴an＝2n－1,bn＝1＋3<n－1>＝3n－2.方法二∵a1＝1,an＋1＝λSn＋1<n∈N*>,∴a2＝λS1＋1＝λ＋1,a3＝λS2＋1＝λ<1＋λ＋1>＋1＝λ2＋2λ＋1.∴4<λ＋1>＝1＋λ2＋2λ＋1＋3,整理得λ2－2λ＋1＝0,得λ＝1.∴an＋1＝Sn＋1<n∈N*>,∴an＝Sn－1＋1<n≥2>,∴an＋1－an＝an,即an＋1＝2an<n≥2>,又a1＝1,a2＝2,∴数列{an}为以1为首项,以2为公比的等比数列,∴an＝2n－1,bn＝1＋3<n－1>＝3n－2.<2>设数列{anbn}的前n项和为Tn,anbn＝<3n－2>·2n－1,∴Tn＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋<3n－2>·2n－1. ①∴2Tn＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋<3n－5>·2n－1＋<3n－2>·2n. ②①－②得－Tn＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n－1－<3n－2>·2n＝1＋3·eq\f<2·<1－2n－1>,1－2>－<3n－2>·2n.整理得Tn＝<3n－5>·2n＋5.14.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn＝eq\f<an<an＋1>,2><n∈N*>,<1>求证：数列{an}是等差数列；<2>设bn＝eq\f<1,Sn>,Tn＝b1＋b2＋…＋bn,若λ≤Tn对于任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.<1>证明∵Sn＝eq\f<an<an＋1>,2><n∈N*>,①∴Sn－1＝eq\f<an－1<an－1＋1>,2><n≥2>. ②①－②得：an＝eq\f<a\o\al<2,n>＋an－a\o\al<2,n－1>－an－1,2><n≥2>,整理得：<an＋an－1><an－an－1>＝<an＋an－1>,∵数列{an}的各项均为正数,∴an＋an－1≠0,∴an－an－1＝1<n≥2>.当n＝1时,a1＝1,∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.<2>解由<1>得Sn＝eq\f<n2＋n,2>,∴bn＝eq\f<2,n2＋n>＝eq\f<2,n<n＋1>>＝2<eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋1>>,∴Tn＝2[<1－eq\f<1,2>>＋<eq\f<1,2>－eq\f<1,3>>＋<eq\f<1,3>－eq\f<1,4>>＋…＋<eq\f<1,n>－eq\f<1,n＋1>>]＝2<1－eq\f<1,n＋1>>＝eq\f<2n,n＋1>,∵Tn＝eq\f<2,1＋\f<1,n>>,∴Tn单调递增,∴Tn≥T1＝1,∴λ≤1.故λ的取值范围为<－∞,1].五、不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化<将二次项系数化为正数>；二判<判断Δ的符号>；三解<解对应的一元二次方程>；四写<大于取两边,小于取中间>.解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数,它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下,要比较两根的大小.2.一元二次不等式的恒成立问题<1>ax2＋bx＋c>0<a≠0>恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0,,Δ<0.>><2>ax2＋bx＋c<0<a≠0>恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a<0,,Δ<0.>>3.分式不等式eq\f<f<x>,g<x>>>0<<0>⇔f<x>g<x>>0<<0>；eq\f<f<x>,g<x>>≥0<≤0>⇔eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<f<x>g<x>≥0<≤0>,,g<x>≠0.>>4.基本不等式<1>①a2＋b2≥2ab<a,b∈R>当且仅当a＝b时取等号.②eq\f<a＋b,2>≥eq\r<ab><a,b∈<0,＋∞>>,当且仅当a＝b时取等号.<2>几个重要的不等式：①ab≤eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a＋b,2>>>2<a,b∈R>；②eq\r<\f<a2＋b2,2>>≥eq\f<a＋b,2>≥eq\r<ab>≥eq\f<2ab,a＋b><a>0,b>0,当a＝b时等号成立>.③a＋eq\f<1,a>≥2<a>0,当a＝1时等号成立>；④2<a2＋b2>≥<a＋b>2<a,b∈R,当a＝b时等号成立>.5.可行域的确定"线定界,点定域",即先画出与不等式对应的方程所表示的直线,然后代入特殊点的坐标,根据其符号确定不等式所表示的平面区域.6.线性规划<1>线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；<2>线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,不讨论这个数的正负,从而出错.2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时,易忽视系数a的讨论导致漏解或错解,要注意分a>0,a<0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形,不能把eq\f<f<x>,g<x>>≤0直接转化为f<x>·g<x>≤0,而忽视g<x>≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即"一正、二定、三相等"导致错解,如求函数f<x>＝eq\r<x2＋2>＋eq\f<1,\r<x2＋2>>的最值,就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋eq\f<3,x><x<0>时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题,要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时,不能准确把握目标函数的几何意义导致错解,如eq\f<y－2,x＋2>是指已知区域内的点<x,y>与点<－2,2>连线的斜率,而<x－1>2＋<y－1>2是指已知区域内的点<x,y>到点<1,1>的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是<>①a>b,c>d⇔a＋c>b＋d；②a>b,c>d⇒eq\f<a,d>>eq\f<b,c>；③a2>b2⇔|a|>|b|；④a>b⇔eq\f<1,a><eq\f<1,b>.A.4B.3C.2D.1答案C解析①a>b,c>d⇔a＋c>b＋d正确,不等式的同向可加性；②a>b,c>d⇒eq\f<a,d>>eq\f<b,c>错误,反例：若a＝3,b＝2,c＝1,d＝－1,则eq\f<a,d>>eq\f<b,c>不成立；③a2>b2⇔|a|>|b|正确；④a>b⇔eq\f<1,a><eq\f<1,b>错误,反例：若a＝2,b＝－2,则eq\f<1,a><eq\f<1,b>不成立.故选C.2.设M＝2a<a－2>＋4,N＝<a－1><a－3>,则M,N的大小关系为<>A.M>NB.M<NC.M＝ND.不能确定答案A解析M－N＝2a<a－2>＋4－<a－1><a－3>＝a2＋1>0.故选A.3.若不等式2kx2＋kx－eq\f<3,8>≥0的解集为空集,则实数k的取值范围是<>A.<－3,0>B.<－∞,－3>C.<－3,0]D.<－∞,－3>∪<0,＋∞>答案C解析由题意可知2kx2＋kx－eq\f<3,8><0恒成立,当k＝0时成立,当k≠0时需满足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<k<0,,Δ<0,>>代入求得－3<k<0,所以实数k的取值范围是<－3,0].4.<2016·XX>设p：实数x,y满足<x－1>2＋<y－1>2≤2,q：实数x,y满足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥x－1,,y≥1－x,,y≤1,>>则p是q的<>A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析如图,<x－1>2＋<y－1>2≤2,①表示圆心为<1,1>,半径为eq\r<2>的圆内区域的所有点<包括边界>；eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥x－1,,y≥1－x,,y≤1,>>②表示△ABC内部区域的所有点<包括边界>.实数x,y满足②则必然满足①,反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.5.不等式eq\f<1,x－1>≥－1的解集为<>A.<－∞,0]∪[1,＋∞> B.[0,＋∞>C.<－∞,0]∪<1,＋∞> D.[0,1>∪<1,＋∞>答案C解析由题意得,eq\f<1,x－1>≥－1⇒eq\f<1,x－1>＋1＝eq\f<x,x－1>≥0,解得x≤0或x>1,所以不等式的解集为<－∞,0]∪<1,＋∞>,故选C.6.设第一象限内的点<x,y>满足约束条件eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x－y－6≤0,,x－y＋2≥0,>>目标函数z＝ax＋by<a>0,b>0>的最大值为40,则eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>的最小值为<>A.eq\f<25,6>B.eq\f<9,4>C.1D.4答案B解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分,直线z＝ax＋by过点<8,10>时取最大值,即8a＋10b＝40,4a＋5b＝20,从而eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>＝<eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>>eq\f<4a＋5b,20>＝eq\f<1,20><25＋eq\f<4a,b>＋eq\f<25b,a>>≥eq\f<1,20><25＋2eq\r<\f<4a,b>×\f<25b,a>>>＝eq\f<9,4>,当且仅当2a＝5b时取等号,因此eq\f<5,a>＋eq\f<1,b>的最小值为eq\f<9,4>,故选B.7.已知实数x、y满足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥1,,y≤2x－1,,x＋y≤m,>>如果目标函数z＝x－y的最小值为－1,则实数m等于<>A.6B.5C.4D.3答案B解析作出不等式组对应的平面区域,如图所示,由目标函数z＝x－y的最小值为－1,得y＝x－z,及当z＝－1时,函数y＝x＋1,此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方,由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝x＋1,y＝2x－1>>⇒eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2,,y＝3,>>即A<2,3>,同时A也在直线x＋y＝m上,所以m＝5.8.在平面直角坐标系中,若不等式组eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y≥0,,y≤x,,y≤k<x－1>－1>>表示一个三角形区域,则实数k的取值范围是<>A.<－∞,－1> B.<1,＋∞>C.<－1,1> D.<－∞,－1>∪<1,＋∞>答案A解析易知直线y＝k<x－1>－1过定点<1,－1>,画出不等式组表示的可行域示