第05讲 空间向量的坐标表示（十一大题型）（原卷版）

第05讲空间向量的坐标表示【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点二：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点三：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立知识点四、空间直角坐标系1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3、空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点五、空间直角坐标系中点的坐标1、空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2、空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.知识点六、空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。（2）空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).知识点诠释：①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②.③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。（6）空间向量平行和垂直的条件若，则①②规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典型例题】题型一：基底的判断【例1】（2024·四川宜宾·高二四川省兴文第二中学校校考阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（

）A． B． C． D．以上都不对【变式1-1】（2024·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·江西·高二校联考阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（

）A． B．C． D．题型二：基底的运用【例2】（2024·贵州遵义·高二统考期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（

）

A． B．C． D．【变式2-1】（2024·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（

）A．1 B．2 C． D．【变式2-2】（2024·河南·高二校联考阶段练习）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（

）

A． B． C． D．题型三：正交分解【例3】（2024·吉林松原·高二校考期末）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是；【变式3-1】（2024·河南郑州·高二统考期末）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则.【变式3-2】（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是．题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【例4】（2024·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期末）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·天津河东·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（

）A．a B．a C．a D．a题型五：空间向量的坐标表示【例5】（2024·海南儋州·高二校考期末）向量，则的坐标是.【变式5-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知，则．【变式5-2】（2024·浙江金华·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则.【变式5-3】（2024·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间三点，，共线，则．题型六：空间向量的直角坐标运算【例6】（2024·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

【变式6-1】（2024·高二课时练习）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标．【变式6-2】（2024·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．题型七：空间向量的共线与共面【例7】（2024·贵州黔东南·高二校考期末）若三点共线，则．【变式7-1】（2024·广东惠州·高二校考阶段练习）已知点.若点在平面内，则x=.【变式7-2】（2024·安徽宿州·高二校联考期末）已知，且共面，则．【变式7-3】（2024·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考阶段练习）已知空间四点，，，共面，则题型八：空间向量模长坐标表示【例8】（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）已知，且，则=．【变式8-1】（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知，，则三角形的面积为．【变式8-2】（2024·河南·高二校联考阶段练习）已知点，，，则在上的投影向量的模为.题型九：空间向量平行坐标表示【例9】（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知向量，，且与平行，则.【变式9-1】（2024·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考期末）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为．【变式9-2】（2024·四川成都·高二校考阶段练习）已知向量，且，则实数．【变式9-3】（2024·河南·高二校联考期末）设，，若空间向量与平行，则.题型十：空间向量垂直坐标表示【例10】（2024·四川达州·高二校考阶段练习），若，则实数值为.【变式10-1】（2024·浙江宁波·高二余姚中学校考期末）点，，，若在线段上，且满足，则点的坐标为．【变式10-2】（2024·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）正方体棱长为为平面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是．【变式10-3】（2024·山西吕梁·高二统考阶段练习）在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为.题型十一：空间向量夹角坐标表示【例11】（2024·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式11-1】（2024·山东德州·高二校考阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式11-2】（2024·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【变式11-3】（2024·高二课时练习）已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为（

）A． B． C． D．【变式11-4】（2024·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．【变式11-5】（2024·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【过关测试】一、单选题1．（2024·吉林·高二校联考期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段的中点，则的坐标为（

）A． B．C． D．3．（2024·辽宁·高二丹东市第二中学校联考阶段练习）如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，则在基底下的有序实数组为（

）A． B． C． D．4．（2024·江苏无锡·高二辅仁高中校考期末）已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知向量，且，则（

）A． B． C． D．6．（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）已知，则（

）A． B．C． D．7．（2024·江西·高二井冈山中学校联考阶段练习）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（

）A．3 B． C．7 D．8．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（

）

A．2 B． C． D．二、多选题9．（2024·四川·高二校联考期末）在四棱台中，空间的一个基底可能是（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．11．（2024·江西·高二统考阶段练习）已知，，，，则（

）A．点关于平面对称B．点关于轴对称C．存在实数，，使得D．可以构成空间的一组基12．（2024·重庆·高二重庆市万州第二高级中学校联考阶段练习）已知向量，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．不存在实数，使得 D．若，则三、填空题13．（2024·上海·高二上海南汇中学校考期末）已知点，，则.14．（2024·辽宁锦州·高二统考期末）设则.15．（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是.16．（