辽宁省葫芦岛市2023届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

辽宁省葫芦岛市2023届高三第一次模拟考试数学试题

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

1,已知集合A={nT<A3K2},B={x∖3≤x<4}t则CAB=(》

A.(2,3)∣(4,5)B.(2,3](4,5]

C.(2,3)∣,[4,5]D.(2,3][4,5]

K答案HC

K解析》由A={x∣T<x-3≤2}得：A={x∣2<x≤5},

又因为B={x∣3≤x<4},所以g5=(2,3)34,5],故选C.

5-i

Zi是虚数单位，则下的值为()

A.13B.√13C.5D.√5

K答案』B

5-i(5-i)(l-i)4-6i

K解析》因为》=>r-=2-3i,

1+1(l+ι)(l-ι)2

所以I=T=I2-3i∣=g.

故选：B.

3.若α,b,C为实数，且“<b,c>O,则下列不等关系一定成立的是()

A.a+c<b+cB.—<7-C.ac>bcD.

ab

K答案HA

K解析』对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上(或减去)同一个数

或同一个整式，不等号方向不变，则α<b=α+c<8+c,A选项正确；

对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等

号方向改变，若α=-2,b=-l,则B选项错误；

ab

对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等

号方向不变，c>0,O<a<b=>ac<hc,C选项错误；

对于D选项，因为“<b=>6-4>0,c>0,所以无法判断b-α与C大小，D选项错误.

4.已知：，力为平面向量，且〉=(4,3)，2α+⅛=(3,18)>则：，］夹角的余弦值等于

()

,8C8c16CI6

A.—B.——C.—D.——

65656565

K答案2c

K解析?∙∙∙)=(4,3),，21(8,6).

又2：+1=(3,18)，,1=(-5,12)，

«•b=4x(-5)+3x12=16•

又，∣=J42+32=5,lψ7(-5)2+122=13,

故选：C.

5.芙萨克•牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自燃哲学的数学原理》、

《光学》为太阳中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命.牛顿曾经提出了常温环

境下的温度冷却模型：6=(4-4)e"'+6{),其中f为时间(单位：min),4为环境温度,

4为物体初始温度，。为冷却后温度),假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由Iooc

降低到60℃需要20min,则k的值为()

CInɜIn2In3

B.----C.-------D.

2010^∏Γ

即口

K解析H依题意可得60=(100—20)e-2°*+20,所以-2(R=ln',

2

,,In2

所以Z=——.

20

故选：A

6.(x+y)(x—2y)6的展开式中/V的系数为()

A.-80B.-100C.100D.80

［答案DB

62

K解析》由(X—2y)6中含χ3y3的项为C*3(_2y)3,(χ.2j)中含√y的项为

C^x4(-2y)2,故(x+y)(x—2y)6=x(x-2γ)6+y(x-2y∕的展开式中x4/的项为

ʌeɜʃ3(-2y)3+(-2γ)2=-23C^x4/+22C^x4y3=-160x4y3+60x4/=-100x4y3

，故系数为-100,

故选：B

7.定义在区间(θ,∙∣)上的函数y=2cosx的图象与y=3tanx的图象的交点为尸，过点P

作B尸，X轴于点外，直线QP与尸Sinr的图象交于点尸2,则线段的长为()

A.-B.-C.ɪD.-

3325

K答案》c

3sinX

K解析》设P(XO,匕)),则6(∙⅞,0),由题意知2COS/=3tan/=——

COSX。

所以2cos?x0=3sinx0,

22

S>>jsinx0+cosx0=1,所以20-Sin2%)=3SinX0,

即2si∏2χo+3SinXO-2=（）,所以（2sin』-I）（Sin毛+2）=0,

所以SinXO=L,

2

直线％与函数y=sinX的图象交于点八，可得E（AO,sinAO）,

所以=∣sinx0∣=∙∣,

故选：C.

尤+2

8.已知函数y=sin（x—1）+1,y=------在［一。+1,。+1］（6^2,且2022）上有加个

x-1

交点（％，乂），（毛，％），（乙，%）则（石+Μ）+（毛+%）++（⅞+‰）=（）

A.0B.mC.ImD.2017

K答案》c

∣23、

K解析》因为y=sin（x-l）+l,关于点（1,1）对称，函数y=-γ-=1+—关于点（1,1）

对称，

作出函数y=sin（x—1）+1与y=±Y三-I-2大致图象，

X-I

由图可知交点成对出现，因为两个函数都关于(1,1)对称，

所以每对交点关于点(1,1)对称，每对交点横坐标和为2,纵坐标和为2,

所以(％+x)+(w+%)++(⅞,+‰)=y×2+y×2=2m.

故选：C.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)

9.已知a,b为空间中两条不同直线，ɑ,夕为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成

立的是（）

A.a//β,αuα,b±β=>a±b

B.a//β,aVa,b工B=a//b

C.a工β,ar∖β-a,b//β=>a//b

Dayβ,a±a,b工。=aLb

K答案》ABD

K解析》对于A,由α〃夕，αuα,得α〃/，又因为6，，，所以:，力，故A正确;

对于B,由α〃力，ala,得。_L6，因为〃，尸，所以a∕∕b,故B正确；

对于C,由a，/7,acβ=a,b//β,得。与/,异面或平行，故C错误；

对于D,由。_1耳，ala,得a//B或auB，又因为6_L，，所以;z,力，故D正

确；

故选：ABD.

10.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反

应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.

根据图1,以下四个说法中正确的是（）

A.在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加

B.在整个跑道，最长的直线路程不超过0.6km

C.大约在这第二圈的0.4km到0∙6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶

D.在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹

K答案』AD

K解析》由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km

之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；

在整个跑道上，高速行驶时最长为(1∙8,2.4)之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线

路程有可能超过0.6km,故B不正确：

最长直线路程应在14至Ij1.8之间开始，故C不正确；

由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；

故选：AD.

11.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品

率均为5%,加工出来的零件混放在一起，己知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的

25%,30%,45%,则下列选项正确的有()

A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015

B.任取一个零件是次品的概率为0.0525

C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为"

D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

K答案DABC

K解析HA：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%x25%=L5%,正

确；

B：由题设，任取一个零件是次品的概率为

6%X25%+5%X30%+5%X45%=5.25%,正确；

C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为

5%×30%2〜

---------------------------------,正确；

6%×25%+5%×30%+5%×45%7

D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

5%×45%33n

--------------------------------=一,错沃

6%×25%+5%×30%+5%×45%7

故选：ABC

12.设定义在R上的函数〃x),g(x)满足：①g(0)=L②对任意实数%,当满足

g(ʌi-々)=/(XI)/(x2)+g(xjg(x2)；③存在大于零的常数机，使得/(〃?)=1，且

当x∈(0,m)时，/(χ)>O,g(x)>O.则()

A.g(m)=〃O)=O

B.当Xe(O,"?)时，，/(x)+g(x)>l

C.函数/(x)∙g(x)在R上没有最值

D.任取x∈R,/(加一x)=g(x)

K答案HABD

K解析D对于A,令玉=々=0,则有条件②可得

g(o)="o)∕(o)+g(o)g(o)=r(0)+g2(0)=l,故”0)=0,

令玉=m,x2=m,则

g(m-m)=∕(m)∕(∕w)+g(m)^(m)=∕2(∕w)+g2(m)=l+g2(m)=g(0)

=>g2(∕n)=0ng(m)=0,故A正确，

对于B,令玉=々=x，则g(0)=f2(x)+g2(χ)=ι,

当xe(0,7")时，/(x)>0,g(x)>0,所以0<∕(x)<l,0<g(x)<l,

故尸(χ)<∕(χ),g2(%)<g(χ),因此/(χ)+g(χ)>/(χ)+g'(χ)=ι,故B正

确，

对于C,由B可知g(0)=U(χ)+g2(χ)=ι,所以A(χ).g(X)I≤r乜)；1S)=；,所以

-∣≤∕(%)∙g(%)≤∣,

当且仅当/(χ)=g(χ)=[,(取右边等号)4x)=g(x)=_#(取左边等号)时，

等号成立，

因此/(χ)∙g(χ)有最大值为故C错误，

znzw

对于D,令X1=∕n,%2=-X得g(x)=∕(%)∕(m-x)+g()g(m-X)=/(m-x),故D正

确，

故选：ABD

第II卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.两空题，第一空2分，第二空3分)

13.请估计函数/(X)=g—唾2%零点所在的一个区间.

R答案H(3,4)

K解析H根据对数函数单调性的性质，

函数/(X)=一—log?无为(0,+8)上的减函数，

函数的图像在((),+8)上为一条连续不断的曲线，

QQ1

又“3)=2-log23>2-log24=(),"4)=]-log24=∕-2=-∕<0,

所以函数/(X)=g—log?x零点所在的一个区间为(3,4).

故K答案》为:(3,4).

14.某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图,

。的值为；考试成绩的中位数为.

K解析』由频率分布直方图可知：

(0.005+0.010+0.015×2+0.020+0)×10=l=>«=0.035,

设中位数为X,则(0.010+0.015+0.020)×10+(Λ-70)×0.035=0.5nx=一,

故K答案U为：0.035,

15.设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点尸作圆C：炉+产-2%—2y+1=0的两条切

线，切点分别为4B,则四边形必底的面积的最小值为

K答案》√3

K解析》依题意，圆c：(χ-l)2+O-l)2=l的圆心是点C(l,l),半径是1,

易知PC的最小值等于圆心C(l,l)到直线3x+4y+3=0的距离即y=2,且AC=r=l,

由四边形PACB的面积为2SA%C=2X(?以/C)=WXC===Jp02-1，

.∙.四边形PACB的面积的最小值是√22-l=√3-

故K答案》为：√3

22

16.已知双曲线M：三一27=1(4>0,。〉0)的左、右焦点分别为£,F2,尸为双曲线右

ab~

支上的一点，。为AGEP的内心，且2Q6+3QE=4PQ,则M的离心率为.

K答案D4

K解析Il如图所示，在焦点三角形中，处长PQ交EK于点A,

所以右固一四M-M

因为。为.耳KP的内心,,

'∖AFi∖∖QA∖∖PF2∖∖AF2∖

PQ=陶∙QAnPQ=陶∙(Q6+64)n∣A用，Q=IPKHQG+耳4)

n∣A^∙PQ=∣P6∣∙Q6+∣P6∣∕An∣A/PQ=∣P闱∙Q6+∣P6∣]^∙6E

∣i4∕7∣

n∣A制，Q=∣PG∣∙QE+∣P周.涡∙(KQ+QK)

n∣A用.闺用∙PQ=∣P用M闾∙QG+IPKHAGMEQ+QQ

=∣AFJ∣M闾.瑾=IMM闾∙QE+阀∣∙∣㈱∣∙κθ+阀HMl.砒

=IMH耳耳∣∙尸O=I尸用∙∣M∣∙CE+∣尸制∙∣M∣∙QE

=∣6用，Q=号喏丹•。片+∣P6∣∙Q6

IWl

n在用∙P。」彳/用.。6+1PKl∙Qg

^∖FtF2∖-PQ=∖PF2∖-QFi+∖PFt∖-QF2,

因为2QK+3Q8=4PQ,

所以有国用=4k「用=3周P闾=2左，

因此M的离心率为?=葛=瑞褊=4,

故K答案》为：4

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.设等差数列｛%｝的前项和为S,,,已知q+4+%=9,4∙4=21,等比数列也｝

31

满足4+2=1，Zz≠4=M∙

(1)求加

(2)设Cn=,求证：c1+c2+c3++%v4.

q+兄+4=9

(1)解：由题意得＜CI解得，%=3,%=7,所以d=2,4=1

a2∙a4=21

n(n-↑]d

从而，S=HalH-------------=n9

"n12

,,3

h1+h-,=一

2.41

(2)证明：由题意得，1解得：&二:，伍

14。卷所以左停)

以她=—r

04

又%=后勿=〃［；）,令l,=c∣+C2+C3+…+C”，

O2w-ɪ

有4=1∙(1)、眇3管+…+加.

1、1〃-1)∙(J÷-(∣)

^τn=1J⅛+2∙

2好

两式相减得，-TJ-01∖2

nl÷I+

2(2(22)-咱

整理得看=4一(〃+2)工＜4,得证.

“XZɔn-ɪ

18.在ASC中，角A,B,C所对的边分别为“,),c.Sin(A—3)=Sin(A+8)-Sin(A+C),

角A的角平分线交BC于点。，且匕=3,c=6.

(ɪ)求角A的大小;

(2)求线段AO的长.

解：(1)在一A6C中，由已知Sin(A-B)=Sin(A+3)—Sin(A+C),可得:

则有：SinAcosB-CosAsinB=SinACOSB+cosASinB-SinB，

即2cos4sinB-SirtB=0

又SinB≠(),即有COSA=

2

而A∈(0,7l),所以A=5.

Tr

(2)在-ABC中，由(1)知A=；,因为A。为角A的角平分线,

则有NBAD=ZCAD=30°,

由SABC=S48。+SACD得：

,χ3x6XSin60°」xAOχ6xsin300+,χ3XAOXSin30°

222

解得AD=26

所以线段AO的长为

19.如图，在四棱锥P—ABCZ)中，AD//BC,ABVAD,PA=PD,ABLPA，AD=4,

AB=BC=2.E为PO的中点.

P

D

(1)求证：CE〃平面以8；

(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：点。到平面以8的距

离.

条件①：四棱锥匕>"BCO=4;

条件②：直线尸8与平面/88所成的角正弦值为

3

(1)证明：设/为QA中点，连接EE、BF，因为E为P力的中点,

所以Ef是三角形尸AD的中位线，所以七户〃AZ)且EE=工AO

2

又因为AO〃BC,AD=4,AB=BC=2,所以6C=^AL>,

2

所以BC=EF且BC〃EF,

所以四边形BCEE是平行四边形，

所以EC〃8E,又CEa平面Q45，BFU平面PAB,

所以CE〃平面RW;

(2)解：过P作PoJ.AD于0,连接。C.

因为ΛB∙LAT),又因为AB_LQ4，

且AZ)CjR4=A,A。,PAU平面PAO,所以AB上平面Q4Z).

又ABu平面ABCr),所以平面BAD，平面ABCO.

因为E4=PD,所以。为A。中点，

又因为平面B4O_L平面ABCr>,所以Po1平面ABCO.

又OCU平面ABcD,所以PO,OC,

如图建立空间直角坐标系O-xyz.

设PO=α,由题意得，A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),D(O,-2,0),P(0,0,α),

所以A8=(2,0,0),M=(0,2,-«),AD=(0,4,0).

r

设平面∕¾5的法向量为〃=(χ,y,z),则

n±ABn∙AB=OFx=O

<=<n<，

nVPA[/7-PA=O[2y-az^0

令z=2,则V=",所以〃=(OM,2).

选择条件①

114+2

由l,-ABCD=Q*^ΛBCDX尸。=IXX2Xa=4,解得4=2,

设O到平面的距离为d,

rllWAol∖4a∖r

则d————=—产—2∖J2；

同2√2

选择条件②

连接OB,则OB是依在平面ABCD内的射影,

所以直线PB与平面ABCO所成的角为NOBP,

在RtPOB中，SinZOBP=-^―,

~BPBP

在RtZkAQB中，BOɪyjAO2+AB2=2√2-

6P==所以g=£，所以。=2,

3BP

设D到平面的距离为d,

∖n-AD∖∖4a∖-

所以d==埠=20r∙

|»|2√2

3

20.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),8(2,0),直线Rl与直线PB的斜率乘积为-一,

4

点P的轨迹为M.

(1)求M的方程；

(2)分别过£(-1,0),6(Lo)做两条斜率存在的直线分别交加于C,。两点和E,F两

117

点’且同+两=TP求直线8的斜率与直线"的斜率之积∙

3

解：(1)设P(X,〉)，因为直线RI与直线尸8的斜率乘积为-^，

所以T∙T=-1,

X—2x+24

22

整理得点P的轨迹为M为?+=l(yW0)

(2)设直线Co为：y=Z∣(x+l)①

设直线EF为：y=L(x-1)②

将①与曲线M联立得：(3+4⅛,2)x2+8#%+44-12=0,

-附4⅛,2-12

设C(Xl,χ),O(X2,必)'，ɪi+⅞

3+4¢X也3+44

所以Ieq=Jl+%：J(Xl+%2)~—4X∣%2

2

12(1+⅛l)

3+46

将②与曲线〃联立得：(3+4抬)f—8后％+4片—12=0,

设E(Λ3,%),F(X4，”)，W+X4=W'X3Z=兼青，

所以£用=4^-12

Iy∣i+k∣y∣(xi+x4↑-4X3X4-4×

3+44

12（1+盾）

3+4⅛2

11_3+4⅛,23+4g_8"6+7（4+片）+6_7

P+2+-2

∖CD∖∖EF∖~12（1+Λl）12（1+^）12（l+⅛1+⅛∣+⅛）^12,

解得好抬=1,所以&他=±1

21.新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型HINl流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了

了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查.据统计,

2

甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占在甲

流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半.

（1）若根据卡方检验，有超过99.5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取

的诺如病毒感染者至少有多少人？

（2）研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现

奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍.现对两种药物进行临床试

验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试

验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试

验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用

相同.请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？

附：Q=(α+∕>)(α+c)S+d)S+d)(其中〃

p(2

κ≥ka)0.100.050.0100.0050.001

402.7063.8416.6357.87910828

解：（1）设感染诺如病毒的患者为X人，则感染甲流的患者为2x人,

2

感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为IX,由题意必有K2>7,879，

"2124T

3x—XX—X—XX—X

而—×A————-------ɜ-ɪ>7,879>所以X>26.28,

x×x×x×2x

22

又因为X为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人.

(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为P,每次试验花费为加，

则奥司他韦治疗有效的概率为2〃<1,故0<P<g，

设抗病毒口服液试验总花费为X，X的可能取值为4m,5m,6m,

P(X-4/77)=p4,

P(X=5m)=2(p2-p4),

∕,(X=6∕n)=(l-p2)2

故E(X)=4m∕?4+10m(/?2—/?4)+6∕n(p'—2p?+1)=-2mp1+6m

设奥司他韦试验总花费为匕V的可能取值为3m,6m,

P{Y=3ni)=(⅛(2p)2(l-2p)+(2p)3=12p2-16p3,

P(y=6m)=l+16√-12p2,

所以E(Y)=48〃/-36mp2+6m,

由0<〃<3所以石(丫)一石(乂)=2/吵2(24.—17)<0,

所以E(y)<E(X),所以奥司他韦试试验平均花费较低.

22.已知函数.f(x)=lnx,g(%)=%-l.

(1)((X)=(X+l)f(x)—2g(x),x∈[l,+∞),求〃(无)的最小值;

(2)设0(X)=X2∕(χ)

①证明：e(x)≥g(x);

11e+1

'11+--------->''

②若方程e(x)=m(m∈R)有两个不同的实数解玉万2证明:

X；x；1—∣x∣-X01

解：⑴/?(x)=(x÷l)lnx-2(x-l)

Ar(x)=(x+l)!+InLX-2=山+4-1

1Y一1

令"(X)=Inx+——1,H'(x)=-τ-

XX

”(X)在[L+∞)单调递增，则H(x)≥"(I)=0,即〃'(x)20

所以，〃(x)在[1,+8)单调递增，∕zmin(x)=Zz(I)=O

所以〃(χ)的最小值为0

⑵①要证明°(x)=χ2InX,可令G(X)=O(X)-g(x)=χ2]nχ-χ+l,即证：G(x)≥0

于是G(X)=2xIn尤+x-1

易知，当O<x<l时G(X)<0,当x>l时，G(X)>0

当Xe(0,1)时，G(x)<0,当x∈(l,+∞)时G'(x)>0

所以G(X)((U)单调递减，在(l,+∞