2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

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2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列事件中，属于必然事件的是

（）

A.射击运动员射击一次，命中10环B.在一个只装有白球的袋中摸出红球

C.a是实数，|a|N0D.一个三角形的三个内角的和大于180。

2.已知点P到圆心。的距离为5,若点P在圆内，则。。的半径可能为

()

A.3B.4C.5D.6

3.已知2a=3b,则下列比例式错误的是

()

3

AC.-=-D.-=

-a=b32a3ab

4.把二次函数y=:的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数

的关系式为

()

A.y=—(x+l)2+3B.y=—(%+I)2—3

C.y=—(x—l)2-3D.y=—(%—l)2+3

5.如图，在四边形48CD中，已知乙4DC=NB4C,那么补充下列条件后不能判定44DC和4B4C相似的是

D

BC

A.C4平分NBCDB.^DAC=(ABC

nADDC

C.AC2=BC-CD\_).———

ABAC

6.如图，DE//BC,BD-.CE=4:3,AD=12,贝！ME的长为

()

7AA

BC

A.3B.4C.6D.9

7.如图，。4是。。的半径，以。4为直径的。C与。。的弦相交于点。，贝！J/D与8。的大小关系

()

A.AD>BDB.AD=BDC.AD<BDD.无法判断

8.小凯在画一个开口向下的二次函数图象时，列出如下表格：

x—1012...

y3233...

发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是

()

A.(-1,3)B.(0,2)C.(1,3)D.(2,3)

9.如图，在。。中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交于点。，连结CD若点。与圆

心。不重合，4b4c=24。，则4。乙4的度数为

A.40°B.41°C.42°D.43°

10.已知二次函数y=a%2+人工+c的图象过B(1^(x2,y2)fD(m+5,n),若—2

|%2-3|,则下列表达式正确的是

()

A.对于任意矶aW0),a(yt—y2)>0恒成立

B.不存在实数a,使得y1-丫2>。成立

C.存在实数a,使得a(yi-y2)<0成立

D.对于任意或awo),y1—y2>o恒成立

第II卷(非选择题)

二、填空题(本大题共6小题，共18分)

11.欢欢将杭州高新实验学校的二维码打印在面积为900。根2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色

部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可

12.抛物线y=-x2+2%+3的顶点坐标

13.如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面48=8cm,则水

的最大深度CD是cm.

14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为48的黄金分割点

（AP>PB）,如果AB的长度为8CM,那么4P的长度为cm.

A

B

15.如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径。A=18si,乙408=150。，则图2

的周长为cm（结果保留兀）.

图1图2

16.如图，正方形4BCD和等边/4EF都内接于圆。，EF与BC,CD别相交于点G,若力E=6,则。。的半

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8分）

A

B

如图，在直径60nmi的圆铁片上切下一块高为15nmi的弓形铁片.

(1)用直尺和圆规作出弧力B的中点D.

(2)求这块弓形铁片的面积.

18.(本小题8分)

一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1,2,-3,4.摇匀后先从

中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球.

(1)用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况;

(2)求乒乓球球面上的数之和是正数的概率.

19.(本小题8分)

图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点4、B、C、。均在格点

上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保

留必要的作图痕迹.

⑴在图①中以线段力。为边画一个三角形，使它与2L4BC相似;

(2)在图②中画一个三角形，使它与ZL4BC相似(不全等);

⑶在图③中的线段48上画一个点P,使箓=|.

20.(本小题8分)

如图，在矩形4BCD中，E是边BC的中点，DF14E于点E.

(1)求证:装AD

AE

(2)若ZB=4,BC=6,求ZF的长.

21.(本小题8分)

如图1,已知是。。的直径，4ABe内接于。。，4B=10,点D是。。一动点(点。不与点力，B重合).

BA

D

图1图2

(1)若BC=CD,连结AD,CD,OC,求证："HAD；

(2)如图2,若CD平分入4CB,连结力D,求4。的长.

22.(本小题8分)

在平面直角坐标系中.设函数y=(x-a)(久一a-5)+4,其中a为常数，且a40.

(1)当x=3,y=4时，求a的值.

(2)若函数的图象同时经过点(b,爪)、(4-b,m),求a的值.

(3)已知点(1,%)和(2,、2)在函数的图象上，且为＜丫2，求a的取值范围.

23.(本小题8分)

根据以下素材，探索完成任务.

如何设计警戒线之间的宽度？

图1为某公园的抛物线型拱桥，图2

HIMnDis口

素材1

机也刚

是其横截面示意图，测得水面宽度2B=24米，拱顶离水面的距离

为CD=4米.

拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3

所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形.如图3,测得相

素材2

关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，GH=〃=1.26米，

FG=JK=0.4米.

为确保安全，拟在石拱桥下面的P,Q两处设置航行警戒线，要求如

素材3下：①游船底部在P,Q之间通行；②当载重最少通过时，游船

顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米.

问题解决

在图2中建立合适的直角坐标系，

任务1确定拱桥形状

并求这条抛物线的函数表达式.

任务2设计警戒线之间的宽度求PQ的最大值.

24.(本小题8分)

如图，点P是等边三角形力BC中4C边上的动点(0。<4ABp<30°),作4BCP的外接圆交2B于点。,点E是圆

上一点，且丽=曲，连接DE交BP于点F.

(1)求证：BE=BC；

(2)当点P运动变化时，NBFD的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求NBFD的度数.

(3)探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答.

【解答】解：人、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故a不符合题意；

B、在一个只装有白球的袋中摸出红球，是不可能事件，故B不符合题意；

C、a为实数,|研>0,是必然事件，故C符合题意；

D、一个三角形的三个内角的和大于180。，是不可能事件，故。不符合题意；

故选：C.

2.【答案】D

【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可.

【解答】解：•.•点P在圆内，且d=5,

r>5,

故选：D.

3.【答案】D

【解析】【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项的比例式化成等积式即可解答.

【解答】解：4因为三畀，所以2a=36,故力不符合题意；

ab

B.因为广今所以2a"3b,故B不符合题意；

C.因为2=|,所以2a=3b,故C不符合题意；

D.因为2=(,所以2b=3a,故。符合题意；

ab

故选：D.

4.【答案】A

【解析】【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可.

【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=-/的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单

位得到：y=-(x+I)2+3.

故选：A.

5.【答案】C

【解析】【分析】已知N4DC=NB2C,贝必、。选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；

C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对

应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定.

【解答】解：在2MDC和4B4C中，AADC=ABAC,

如果需满足的条件有：

①NZMC="BC或AC是N8CD的平分线；

⑵空一些

AB—AC'

故选：C.

6.【答案】D

【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【解答】解：•­•DE//BC,DE//BC,BD:CE=4:3,

.AD_RD_4

"AF-EC-3,

•••AD=12,

.-1-2=_一4«

AE3

AE=9,

故选：D.

7.【答案】B

【解析】【分析】连接。D,根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到4力。。=90。，然后根据垂径定理

即可得到结论.

【解答】解：如图，连接。D,

•・•。2为OC的直径,

.­.AADO=90",

ODLAB,

AD=BD.

故选:B.

8.【答案】A

【解析】【分析】由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过(-1,3),(1,3),(2,3)求解.

【解答】解：抛物线经过(-1,3),(0,2),(1,3)时，抛物线开口向上，不符合题意，

•••抛物线不能同时经过(-1,3),(1,3),(2,3),

・••(-1,3)不在抛物线上，

故选：A.

9【答案】C

【解析】【分析】连接8C,根据直径所对的圆周角是直角求出NACB,根据直角三角形两锐角互余求出

乙B,再根据翻折的性质得到就所对的圆周角，然后根据乙4CD等于就所对的圆周角减去前所对的圆周

角，计算即可得解.

【解答】解:如图，连接BC,

•••AB是直径,

ZXCB=90°,

.­.ABAC+ZB=90",

•••/.BAC=24°,

•••Z.B=90°-ABAC=90°—24°=66°,

根据翻折的性质，弧4C所对的圆周角为AB,被所对的圆周角为乙4DC,

.­.AADC+Z.B=180°,

•••ZXDC+Z.CDB=180°,

•••Z.B=Z-CDB=66°,

ADCA=乙CDB-A.BAC=66°-24°=42°.

故选：C.

10.【答案】A

【解析】【分析】由对称性质可知，B、。两点的纵坐标相等，则B、。两点关于抛物线的对称轴是对称

的，由此求得抛物线的对称轴为直线久=3,再|叼-3|N|x2-3|,结合二次函数的性质，便可得出结

果.

【解答】解：•.・抛物线过—D(m+5,71),

对称轴为：x=m+5+l-m=3；

•.,二次函数y=a/++c的图象过力Oi，yi),C(x2,y2)>|%i-3|>|x2-3|,

.•.当a>0时，y1>y2,则以无一月)2。；

当a<0时,yi<y2>则a(%-y2)>0；

.•.对于任意a(a丰0),a(%-y2)N0恒成立，

故选：A.

11.【答案】540

【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出黑色部分的面积.

【解答】解：由题意可得，

估计黑色部分的面积约为：900X0.6=540(cm2),

故答案为：540.

12.【答案】(1,4)

【解析】【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可.

【解答】解：y=-x2+2x+3,

=—(x2—2x+1)+1+3,

=—(x-l)2+4,

顶点坐标为(1,4).

故答案为(1,4).

13.【答案】2

【解析】【分析】连接。4OC,则有。C148,根据勾股定理计算即可.

【解答】解：如图所示，连接。4OC,贝第0C14B,

1

X8

2-

在RtA。4c中,

OC=VOA2--AC2=V52-42=V-9=3(cm)»

CD=5—3=2(cm).

故答案为：2.

14.【答案】(46-4)

【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到力。=亨48,即可得出答案.

【解答】解:••・「为/18的黄金分害1」点(4。>。8),

•••AP=X8=4/5-4(cm)>

故答案为：(475-4).

15.【答案】30兀

【解析】【分析】先根据图1确定：图2的周长=2个通的长，根据弧长公式可得结论.

【解答】解：由图1得：布的长+曲的长=布的长，

•.•半径CM=18cm,UOB=150°,

则图2的周长为：2x竺萼竺=30兀(cm),

loU

故答案为：307r.

16.【答案】2信

3-y/~3

【解析】【分析】连接。40E,过点。作。于P,根据正三角形的性质得到NCMP=30。，进而求出

。力；连接BD、AC,4C交EF于Q,连接OF,根据正方形的性质得到NGCQ=45。，计算即可.

【解答】解：如图1,连接。40E,过点。作0P14E于P,

则4P=PE=^AE=3,

・・•ZL4EF为正三角形，

AA0E=120°,

OA=OE,

・•.Z.OAP=30°,

AD._

.•.。”=淅=2门；

连接BD、AC,AC交EF于Q,连接。F,

则AC1EF,

1

・•・EQ=^EF=3,

在WA3Q/中，^OFQ=30°,

OQ=|OF=<3,

CQ=OC—OQ=<3,

•.•四边形4BCD为正方形，

.­•乙GCQ=45",

GQ=CQ=V_3,

EG=EQ-QG=3-<3,

故答案为：20；3-AA3.

17.【答案】解：（1）如图，点。为所作;

(2)设圆铁片的圆心为。点，连接。。交于C点，连接。4、0B,如图,

•・•点。为弧48的中点，

・•・ODLAB,

•••AC=BC,

CD=15mm,OB=OD=OA=30mm,

•••OC=15mm,

'.AC=V302-152=15V^(mm)，

AB=2AC=30V_3mm,

48垂直平分00,

AO=AD,BD=BO,

・・・40AD、40BZ脚为等边三角形，

Z.A0D=乙BOD=60°,

・•・^AOB=120°,

这块弓形铁片的面积

=S扇形AOB-S/MOB

120X7TX3021「

---------STro7l)\----------7TZx15x30v3

=(30071—225V-3)mm2.

【解析】【分析】（1）作力B的垂直平分线交通于D点，利用垂径定理可得到点D为福的中点；

（2）设圆铁片的圆心为。点，连接。。交4B于C点，连接。4、0B,如图，利用垂径定理得到。DLAB,AC=

BC,计算出CD=0C=15mm,AC=15/3mm,所以AB=3073mm,接着证明404。、40BD都为等边

三角形得到NA。。=乙BOD=60。，然后根据扇形的面积公式，利用这块弓形铁片的面积=S扇形AOB-

S/4OB进行计算即可•

18.【答案】解：（1）画树状图如下：

/N/N/K/N

2-34-1-34-124-12-3

(2)画树状图如下:

和

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8种,

・••两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为9=|.

【解析】【分析】(1)画出树状图即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8种,

再由概率公式求解即可.

19.【答案】解：(1)如图①，/ADE即为所求.

(2)如图②，即为所求.

,fi

图③

【解析】【分析】(1)取格点E,连接DE,使DE//BC,由相似三角形的判定可知44DE-4aBC.

(2)取格点F,G,H,使FG=2，I，FH=4,GH=即可.

⑶取格点M,N,连接MN,交4B于点P,连接AM,BN,此时44Mps/BNP,由黑=|,可得黑=|.

DN3rD5

20.【答案】1)证明：•・•四边形4BCD为矩形，DFLAE,

••・乙B=/.AFD=90°,

・•・^BAE+Z.EAD=LEAD+A.ADF=90°,

・•・Z-BAE=Z.ADF,

・•.AADF〜AEAB,

tAF__AD_

(2)解：・・・E为BC的中点，

1

・・.BE=^BC=3,

在Ri'IJ"中，AE=y/AB2+BE2=V42+32=5.

AFAD

V~BE=~AE，

,AF_6

•••T=5?

【解析】【分析】(1)由四边形/BCD为矩形，DF1AE,可得乙-4£*=乙4。尸，推导出44DF〜4E4B,即

可证明结论；

(2)E为BC的中点，根据勾股定理可得AE=5,再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得”的长即

可.

21.【答案】(1)证明：・・・BC=CD,

CD=BC,

・•・乙DAC=Z.CAB,

•••OA=OC,

・•.Z.OCA=Z-OAC,

•••Z-DAC=/-OCA,

・•.OC//AD；

(2)解:连接BD,

c

・••ZB是圆的直径，

・•・^ADB=90°,

•・•CD平分乙4CB,

•••/-ACD=乙BCD,

AD=BD,

AD=BD,

・•.A4DB是等腰直角三角形，

AD=与AB=年x10=5A<2.

【解析】【分析】(1)由圆心角、弧、弦的关系得到曲=比，由圆周角定理推出NDAC=Na4B,由。4=

OC,得至IJNOCA=NOAC,因止匕=N0C4,即可证明。C//4D；

(2)连接BD,由圆周角定理推出是等腰直角三角形，即可求出4D的长.

22.【答案】解：(1)函数y的图象经过点(3,4),得

4=(3—CL)(3—ct—5)+4,

解得的=-2,g=3；

(2)y=(%—a)(%—a—5)+4=/—(2a+5)x+a2+5a+4,

••・抛物线的对称轴为直线X=—若地=等，

,•・函数的图象同时经过点(仇血)，(4-b,Tn),

.2a+5_b+4—b

•'2=-2-'

解得：a=—I；

(3),*,丫2=(2—a)(2—a—5)+4=(2—a)(—3—a)+4,

y-y—(1—a)(l—a—5)+4=(1—a)(—4—a)+4,

又；yi<y2>

y21yl=(2—a)(-3—a)+4—(1—a)(—4—a)—4=—6+a+a2+4—3a—a2=—2—2a>0,

-2a>2,

a<—1.

【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式;

(2)根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；

(3)根据二次函数的性质，可得答案.

23.【答案】解：任务1:

以。为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

•••AB=24,CD=4,

.••点B的坐标为(12,0),顶点C为(0,4),

设抛物线解析式为y=ax2+4,

把B(12,0)代入得0=144a+4,

解得a=—与

DO

这条抛物线的函数表达式为y=-^%2+4；

任务2:

过点E作EM1FK于点M,如图：

•••EF=EK=1.7米，FK=3米,

FM=1.5米,

•••EM=V1-72-1■52=0.8(米),

由题意可知，当PQ最大时，

点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56,

在丫=一1=一+4中，令y=2.56,得2.56=-A1/+%

'36'36

解得尤=7.2或久=-7.2,

•；FG=JK=0.4米，FM=1.5米，

MG=MJ=1.1米，

•••游船底部H/在P,Q之间通行，

PQ的最大值为(7.2+1.1)X2=16.6(米).

【解析】【分析】任务1：以。为原点，48所在直线为x轴建立直角坐标系，求出点B的坐标为(12,0),顶

点C为(0,4),再用待定系数法可得答案；

任务2：过点E作EM1FK于点M,求出EM=京1.72—1.52=0.8(米),当PQ最大时，点E的纵坐标为

0.8+1.26+0.5=2.56,令y=2.56,得x=7.2或x=-7.2,可得MG==1.1米，即可得PQ的最大

值.

24.【答案】⑴证明:如图,连接PE,

PD=PE，

/.ABP=Z.EBP,

•••4aBe是等边三角形，

ZX=/.ACB=60°,AB=BC