高中数学人教A版选修2-3作业1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质2

“杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于()A．180 B．－180C．45 D．－45答案：A2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A．第15项 B．第16项C．第17项 D．第18项答案：B3．“杨辉三角”如图所示，“杨辉三角”中的第5行除两端数字1外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……A．第6行 B．第7行C．第8行 D．第9行答案：B4．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中的第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小答案：C5．在(x－eq\r(2))2010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝eq\r(2)时，S等于()A．23015 B．－23014C．23014 D．－23008答案：B二、填空题6．在(1＋2x)7的展开式中，Ceq\o\al(2,7)是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．答案：3847．(1－3a＋2b)5的展开式中不含b的项的系数之和是________答案：－328．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1·x＋a2·x2＋…＋a50·x50，则a3等于________．答案：Ceq\o\al(4,51)三、解答题9．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依题意有Ceq\o\al(5,n)25＝Ceq\o\al(6,n)26⇒n＝8.所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x)4＝1120x4.设第k＋1项系数最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,8)2k≥C\o\al(k－1,8)2k－1，,C\o\al(k,8)2k≥C\o\al(k＋1,8)2k＋1.))所以5≤k≤6.又因为k∈{0,1,2，…，8}，所以k＝5或k＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.10．设m，n∈N，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝7时，f(x)＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求a0＋a2＋a4＋a6；(2)当m＝n时，f(x)展开式中x2的系数是20，求n的值；(3)f(x)展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x2系数的最小值．解：(1)赋值法：分别令x＝1，x＝－1，得a0＋a2＋a4＋a6＝128.(2)T3＝2Ceq\o\al(2,n)x2＝20x2，所以n＝5.(3)m＋n＝19，x2的系数为Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)m(m－1)＋eq\f(1,2)n·(n－1)＝eq\f(1,2)[(m＋n)2－2mn－(m＋n)]＝171－mn＝171－(19－n)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(19,2)))2＋eq\f(323,4)，所以，当n＝10或n＝9时，f(x)展开式中x2的系数最小值为81.11．(2x－3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值的和．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)令x＝1，y＝1，得各项系数之和a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，故所有奇数项系数之和为eq\f(59－1,2).(4)因为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)(2x)9－k(－3y)k＝(－1)k29－k·3kCeq\o\al(k,9)x9－k·yk，所以a1<0，a