3年级上册数学奥数讲义 第12讲 等差数列应用（教师版）

第12讲等差数列应用

三年级秋季

知识点

一、等差数列(进阶)应用(三上)

1.当项数为奇数时，由和=中间项X项数可知，中间项=和÷项数.也就是说，可以通过项数与和求出一个

等差数列的中间数.

2.当项数为偶数时，可以根据和=(首项+末项)x项数÷2,算出首项与末项的和.如果再能求出首项与末项

的差，便能求出首相与末项的具体数值了.

命知识精讲

我们来看一下几个数列，(1)13,14,15,16,17,18,19；(2)7,10,13,16,19,22,25；(3)4,8,12,16,20,24,28；

(4)10,12,14,16,18,20,22.这几个数列有什么相同点呢？这几个数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中

间数都是相同的：项数都是7,和都是112,中间数都是16.其实只要项数与和相同，中间数就肯定相同

了.

族，课堂例题

一、项数为奇数项

1、一个等差数列第1项为21,前7项和为105,这个数列的第10项是多少？

第10项

和105

【答案】

3

【解析】

等差数列前7项和为105,中间项为第4项，所以第4项为105+7=15.这个等差数列公差为

(21-15)÷(4-1)=2,所以第10项为21-00—1)x2=3.

2、11个连续自然数之和为110,其中第6个数是

【答案】

10

【解析】

11个数的中间.项为第（11+1）÷2=6项，当项数为奇数时，中间数=和÷项数，所以第6个数为110÷ll=10∙

3、已知一个等差数列的前15项之和为450,前21项之和为819.请问：这个数列的公差是多少？首项是

多少？

和为819

【答案】

3,9

【解析】

等差数列前15项和为450,中间项为第8项，所以第8项为450+15=30.前21项之和为819,中间项为

第11项,所以第Il项为819÷21=39.这个等差数列公差为（39-30）*11-8）=3,首项为30-（8-1）、3=9.

4、II个连续偶数的和是IlO0,其中最大的数是多少？

【答案】

110

【解析】

11个连续偶数构成公差为2的等差数列，中间项为.第6项，所以第6项为IlOO+11=100,最大数为

100+（11-6）×2=I1O.

二、项数为偶数项

5、把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是.

【答案】

38

【解析】

当项数为8时，中间数是第4个数和第5个数之间的数.248÷8=31,所以第4个数为31-1=30,所以

最大偶数为30+2x4=38.

6、已知一个等差数列的前15项之和为450,前20项之和为750,请问：这个数列的公差是,首项

是.

A.3,15

B.5,15

C.3,13

D.3,9

【答案】

D

【解析】

方法一：等差数列前15项的和是450,那么根据“首项+末项=和x2÷项数”，得

第1项+第15项=450x2+15=60.同理，得第1项+第20项=75()x2÷20=75.因此第20项与第15项的差

是75-60=15.显而易见，第20项与第15项之间相差5个公差，所以I个公差就是15+5=3.此时第

15项与第1项的差是(15-1)x3=42.根据和差问题公式“小数=(和-差)÷2"，得到数列的首项是

(60-42)?29.

方法二：等差数列前15项的和是450,根据“和=中间项X项数”得中间项(第8项)就是450÷15=30.又

由于数列的前20项之和是750,因此数列中第16项至第20项这5个数的和就是750-450=300,那么这

5个数的中间项(原数列第18项)是300+5=60.它们之间相差18-8=10个公差，因此数列的公差是

(60-30)÷10=3.第8项与第1项相差8-1=7个公差，所以数列的首项是30-3x7=9.

7、一个等差数列第8项为82,前7项和为490,这个数列的公差是多少？这个数列的第20项是多少？

【答,案】

3,118

【解析】

等差数列前7项和为490,中间项为第4项，所以第4项为490+7=70.公差为(82-70)÷(8-4)=3,第

20项为82+(20-8)x3=118.

8、已知一个等差数列的前25项之和为325,前30项之和为465.请问：这个数列的公差是多少？首项是

多少？

【答案】

1,1

【解析】

等差数列的前25项之和为325,中间项为第13项，所以第13项为325÷25=13.等差数冽的前30项之

和为465,则第26项至第30项的和为465-325=140,所以第28项为140+5=28.所以这个数列公差为

(28-13)÷(28-13)=l,首项为13-(13-l)xl=1.

三、等差数列应用

9、在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609.卡莉娅发现自己的分

数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列.请问：卡莉娅正确的分数是

多少？

【答案】

99分

【解析】

一组同学的分数构成等差数列，把其中卡莉娅的分数加上21分后，这组数仍构成等差数列，那自然就知

道卡莉娅的分数在原数列中是最低的，也就是首项.同理，卡莉娅更正后的分数是新数列的末项，而数列

中其它各数都没有变化.因此卡莉娅的分数更正后，比原先分数最高的同学还要高3分，因此原先卡莉娅

的分数比其他同学中最高分低21-3=18分，即原数列的首项比末项少18.根据项数公式，得

项数=（末项-首项）÷公差+1=18+3+1=7,所以这组同学有7人.因中间项=和÷项数=609÷7=87,

则成绩位于中间位置的同学（第4名）得了87分.原先卡莉娅的分数比他少（4-l）x3=9分，更正后就比他

多21-9=12分.所以卡莉娅更正后的分数为87+12=99分.

卡莉娅原来的分数和小0卡莉娅现在的分数

不UOUv

差21

族随堂练习

列第1项为3,前11项和为198,这个数列的第20项是多少？

【答案】

60

【解析】

等差数列前11项和为198,中间项为第6项，.所以第6项为198÷11=18∙这个等差数列公差为

(18-3)÷(6-l)=3,所以第20项为3+(20-l)x3=60.

2、7个连续奇数之和为91,其中最小的奇数是.

【答案】

7

【解析】

7个数的中间项为第(7+l)÷2=4项，当项数为奇数时，中间数=和+项数，所以第4个数为91÷7=13∙相

邻两个奇数差2,所以最小奇数为13-2x3=7.

3、已知一个等差数列的前13项之和为533,前15项之和为690.请问：这个数列的首项是多少？

【答案】

11

【解析】

等差数列前13项和为533,中间项为第7项，所以第7项为533÷13=41.前15项之和为690,中间项为

第8项,所以第8项为69O+15=46∙这个等差数列公差为(46-41)÷(8-7)=5,首项为41-(7-l)x5=ll.

4、把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几？

【答案】

7

【解析】

IO个连续自然数成公差为1的等差数列，所以首项和末项和为115*2÷10=23,末项比首项大9,所以最

小数为(23-9)÷2=7.

分缸课后作业

施自然数之和为15,那么最大的那个数是

【答案】

5

【解析】

5个连续自然数中间项为第3项，所以第3项为15÷5=3,那么最大数为3+2=5.

2、7个连续偶数之和为112,其中最小的那个数是.

【答案】

IO

【解析】

7个连续偶数中间项为第4项，所以第4项为112÷7=16,那么最小数为16-(4-l)x2=10.

3、8个连续奇数之和为112,其中最小的那个数是.

【答案】

7

【解析】

8个连续奇数之和为112,则首项和末项和.为112x2÷8=28,首项和末项相差(8-1)x2=14,所以较小数

为(28-14)+2=7.

4、已知一个等差数列的首项是1,前3项之和为15,那么这个数列的公差是.

【答案】

4

【解析】

等差数列前3项之和为15,中间项为第2项，所以第2项为15÷3=5,这个数列公差为5-1=4.

5、己知一个等差数列的首项是17,前7项之和为161,那么这个数列的第11项是.

【答案】

37

【解析】

等差数列前7项之和为161,中间项为第4项，所以第4项为161÷7=23,这个数列公差为

(23-17)÷(4-l)=2,第Ii项为17+(11-1)x2=37.

6、一个等差数列的第10项是35,前9项之和为180,这个数列的首项是.

【答案】

8

【解析】

等差数列前9项和为180,中间项为第5项，所以第5项为180÷9=20,公差为(35-20)÷(10-5)=3,首

项为35-3x(10-l)=8.

7、一个等差数列的前3项之和为15,前9项之和为180,这个数列的首项是.

【答案】

0

【解析】

等差数列前3项之和为15,中间项为第2项，所以第2项为15+3=5.同理，前9项之和为180,中间项

为第5项，所以第5.项为180÷9=20∙公差为(20-5)+(5-2)=5,首项为5-5=0.

8、把325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是.

【答案】

28

L解析】

10个连续自然数构,成公差为1的等差数列，首项与末项和为325x2÷10=65,首项和末项相差