第四章-恒定电流和电路

第四章

恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场

本章主要从电场和电路两个角度介绍了恒定电流的基本概念，基本定律和基本原理。本章主要讲授1、电流、电流密度2、连续性方程及恒定电流的条件3、电动势的物理意义及数学表示方法、一段含源电路的欧姆定律、4、用基尔霍夫方程组求解复杂电路问题一.电流强度和电流密度1、电流；电流发光§4.1电流电流密度矢量（1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）

传导电流:大量微观带电粒子在导体中定向运动时形成的电流称为传导电流

运流电流:由宏观带电体或带电粒子作宏观定向移动所形成的电流称为运流电流。

位移电流：由变化的电场“产生”的电流称为位移电流。本章只讨论：导体内部的电流。例如在金属导体内就有可以自由移动的电荷—自由电子，所以在金属导体的两端加上电压时就可在其内形成电流,因而金属是导电的,称为导体。

（3）形成电流的条件是：①物体中有可移动的电荷，即载流子；②物体两端有电势差或物体内有电场。（2）载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子,它们是形成电流的内在因素。不同性质的导体有不同的载流子：金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等。习惯上，人们把正电荷在电场作用下规则定向移动的方向规定为电流的方向，因而电流的方向与自由电子移动的方向正好相反，这样在形成电流问题上，可以把负电荷移动形成的电流看作是正电荷沿相反方向移动形成的电流。导体内电流的形成过程为：当在导体两端加上电压时，与之相伴随而在导体内会产生一电场，其方向沿着电势降落的方向，在电场的作用下，自由电子将逆着电场的方向作规则的定向移动，从而形成电流。结论：A：导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处；B：导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。（4）电流的方向几种典型的电流分布粗细均匀的金属导体粗细不均匀的金属导线半球形接地电极附近的电流电阻法勘探矿藏时的电流同轴电缆中的漏电流

2、电流强度电流的大小定义：

单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。

假定在△t时间内，通过导体截面的电量为△q，用I表示电流强度，则有I*单位是安培(用A表示)，1安培＝1库仑／秒。它是国际单位中的基本量.常用毫安(mA)、微安(

A)*电流强度是标量，通常所说的电流方向是指正电荷在导体内移动的方向，并非电流是矢量。安培基准当I=dq/dt

=常数时，即电流强度的大小和方向都不随时间发生变化时，这种电流称为恒定电流，也叫直流电流；当I随时间发生周期性变化时，称为交变电流；当I随时间作正弦规律的变化时，称为正弦交流电。*电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量。

就某S面：：平均地反映了S面的电流特征。I※用电流强度不能细致地描述电流的分布。所谓分布不同是指在导体的不同地方单位面积中通过的电流不同。I0I

3、电流密度矢量（2）与I有不同：I是一个标量，描写导体中的一个面；是矢量点函数，描写导体中的一个点。（3）与I的普遍关系（1）定义：导体中每一点的的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：单位是：安培／米（A/m）。只反映了与I的特殊关系（要求面元与垂直），下面推导与I的一般关系。为了描述导体内各点的电流分布情况而引入的所以通过导体中任意曲面S的电流强度I与的关系为

此式说明：一曲面上的I是对该曲面的通量（通量）。在导体中某点处取一任意面元ds（ds与并非垂直），面元ds的法线方向与该点的夹角为，则ds在与垂直的平面上的投影为：（4）是矢量，在空间的分布形成场——电流场。二、电流的连续性方程类似于电场线引入电流线来描述由组成的电流分布，称之为电流场。曲线上每一点的切线方向就是的方向，曲线的疏密表示它的大小.即电流线的数密度.由通量的定义知：对曲面S的通量就是由面内向外流出的电流强度（由内向外是方向），也等于单位时间内由面内向外流出的电荷量（正电荷）。在场中（导体中）任选一闭合曲面S，根据电荷守恒定律：单位时间内从面内流出的电荷量应等于面内电荷量的减少。如果S内电量为q（正电荷），则单位时间内的减少为。

因此：

=流出的=单位时间内由面内向外流出的电荷量=单位时间内面内电荷量的减少=（减小率）此式称为连续性方程，它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。三、恒定电流和电场

2、维持恒定电流的条件：1、恒定电流：空间各点都不随时间而变化的电流叫做恒定电流。要维持电流，则导体内的电场，而导体内的电场是由导体各处分布着的电荷激发的。不是恒定电流。若产生电场的空间电荷分布(密度)随时间发生变化它们激发的电场也随时间变化导体内的电流密度也随时间变化电流的恒定条件：空间各点的电荷分布（密度）不随时间而变。故对任意闭合曲面S有此即为恒定电流的连续性方程，也叫电流恒定的条件。物理意义：在恒定电流的情况下，从闭合面S某些部分流进去的电流强度（通量）必然等于该闭合曲面其他部分流出去电流强度。注意：并不是电荷不运动，只是对某一闭合面S而言，单位时间内流进S的电荷量q与流出的q相等，结果好象是q没随时间变化一样。由恒定电流：

即：对闭合曲面S的通量为零，说明穿进S的线条数必然等于穿出的线条数，即线不中断，无间断点。

性质：恒定电流场中的线是既无起点又无终点的连续闭合曲线。这个性质叫做恒定电流的闭合性。所以恒定电流流通的路径是一个闭合路径。3、恒定电场（1）定义：分布不随时间变化的电荷所产生的电场；或与恒定电流相伴的电场。（2）特点：，空间各点不随时间变化，

它与前面讲的静电场十分相似，静电场所满足的规律在此仍然适用，在后面电路中经常使用的电势和电势差(电压)就是基于这一点①恒定的电场与静电场相同之处电场不随时间改变满足高斯定理满足环路定理是保守场，可引入电势概念（3）恒定电场与静电场②恒定的电场与静电场不同之处

恒定电场不是静止的电荷产生的，而是在有电荷定向运动的情况下、由稳定分布的电荷产生的。

在导体内部，恒定电场不等于零；导体内任意两点不等电势。

维持这种电场需要能量（提供能量的装置称为电源）。§4.2欧姆定律及其微分形式一、欧姆定律电阻实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度与导体两端的电压成比，即这个结论叫做欧姆定律。如果写成等式，则有或R值反映导体对电流阻碍作用的大小称为导体的电阻。不同的导体，电阻的数值一般不同。（1）以电压U为横坐标、电流强度为纵坐标画出的曲线，叫做该导体的伏安特性。欧姆定律成立时，伏安特性是一条通过坐标原点的直线，其斜率等于电阻的倒数，它是一个与电压、电流无关的常量。具有这种性质的电学元件叫做线性元件，其电阻叫做线性电阻或欧姆电阻。（2）欧姆定律不成立，其伏安特性不是直线，而是不同形状的曲线。这种元件叫做非线性元件。（即导体的电阻随电压、电流变化），如电子管、晶体管等，图所示为两种常用的非线性元件的伏安特性。对于非线性元件，欧姆定律虽然不适用，但我们仍可定义其电阻为只不过它不再是常量,而是与元件上的电压和电流(即工作条件)有关的变量。（3）电阻的单位是电压和电流强度的单位之比，即伏特/安培，这单位叫做欧姆，写作欧或希腊字母Ω

。欧姆是这样一段导体的电阻，当加在导体两端的电压为1伏特时，通过导体的电流强度恰为1安培。除了欧姆外，电阻的常用单位还有千欧(

)和兆欧()：1千欧=103欧；1兆欧=106欧。电阻的倒数叫做电导，用G表示，电导的单位叫做西门子(欧姆）-1。欧姆定律的适用条件：（1）实验表明欧姆定律它不仅适用于金属导体，而且对电解质溶液也适用，但它对气态导体(如日光灯中汞蒸汽)和其它一些导电器件(电子管、晶体管)则不成立。（2）在等温条件下（3）只对一段不含电源的稳恒电路成立，因此又称为一段不含电源电路的欧姆定律（或称为均匀电路的欧姆定律）。（4）欧姆定律不仅适用于恒定电流电路，还适用于似稳电流电路。电导反映导体对电流的导通程度。二.电阻率和电导率一般金属导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验指出，对由一定材料制成的横截面均匀的导体的电阻该式称为电阻定律。式中l是导体的长度，S是导体的截面积，比例系数ρ与导体的材料及温度有关，称为导体的电阻率，单位是欧姆·米(Ω·m)。（与材料、形状、长短、粗细、温度有关）

当导体的横截面积不均匀或电阻率不均匀时，导体的电阻电阻率的倒数叫做电导率，用σ表示，电导率的单位是西门子/米当温度发生变化时，导体的电阻率也要改变。实验表明，在通常情况下大多数金属导体的电阻率式中ρ0

是0℃时导体的电阻率，α称为电阻温度系数，其单位为1／℃，不同材料其值不同。由此可见，温度越高，电阻率越大。

一般把电阻率小于10-6Ω·m的材料叫导体，电阻率大于106Ω·m的材料叫绝缘体，电阻率在10-6～106Ω·m之间的材料叫半导体，锗和硅是最常见的半导体。三.半导体和超导体半导体材料有以下特点：①当温度发生变化时，其导电性能会急剧变化，温度升高，其电阻会急剧减小，(这与上述的金属导体完全相反)并且变化不是线性的。②适当掺杂，其导电性能会急剧增加。③光照时其导电性能也会发生变化。基于以上三点，半导体材料获得了广泛的应用，由此制作的二极管、三极管、场效应管以及集成电路等已成为电子线路最重要的元件。

当温度降到某一特定热力学温度Tc时，某些金属、合金以及金属化合物的电阻率会几乎减小到零，这种现象叫超导现象。能产生超导电现象的材料叫超导体，超导体处于电阻率为零的状态叫超导态。Tc叫做转变温度。到目前为止，通过对各种金属的实验测定，人们已发现在正常压力下，有28种元素具有超导电性，其中铌(Nb)的转变温度最高，Tc＝9.26K，钨(W)的转变温度最低，Tc＝0.012K。另外有10多种金属，在加压和制成高度无序薄膜以后，也会变为超导体。目前约有5000种合金和化合物具有超导现象，最高转变温度已达90K。

费利(File)等人用核磁共振方法测量超导电流产生的磁场来研究螺线管内超导电流的衰减，他们得到的结论是超导电流的衰减时间不短于10万年，这样的电流真可称为永久电流，可见超导体处于超导态时是一种完全导电的理想导体。1933年迈斯纳用实验还证明了，在超导状态下，超导体内部磁场消失，它是一个理想的抗磁体。超导研究是目前物理学上一个活跃的领域，其主要工作有以下几个方面：①完善关于超导电性的理论解释；②提高转变温度Tc，这直接关系到超导体的应用问题；③关于超导的应用研究。在目前世界上竞相开展的超导研究热潮中，我国中科院物理所的研究工作一直走在世界的前列。在通有电流强度I的导体中，沿电流线方向任取一个小圆柱体，通过的电流强度为dI，长度为dl，横截面积为dS，使圆柱体的轴线和它所在处的电场强度E的方向一致，面积dS垂直于E。沿电场方向圆柱体两端的电势为U和U＋dU，圆柱体电阻为R，电流密度矢量为J。则四.欧姆定律的微分形式而dI=JdS

所以EdS=σEdS即J=σE称作欧姆定律的微分形式。它表明导体中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，且同方向。

欧姆定律的微分形式虽是在稳恒电流情况下推出的，但对电流变化不很快的非稳恒情况也适用，因此它比欧姆定律的积分式I=U/R

更为普遍。注中的和都是积分量,故可叫做欧姆定律的积分形式。欧姆定律的积分形式描述的是一段有限长度、有限截面导线的导电规律，而欧姆定律的微分形式给出了和的点点对应关系，所以它比积分形式能够更为细致地描述导体的导电规律。§4.3焦耳定律电功率一.焦耳定律及其微观解释

1、焦耳定律有实验知，电流通过导体时放出热量Q与电流I的平方、导体的电流I及通电的时间t成正比。数学表达式为：Q=I2Rt2、用经典的金属电子论可解释电流的热效应（焦耳定律）金属中：自由电子在电场力的作用下定向运动形成电流，此过程中电场力作功，使电子的定向运动动能增大。同时自由电子又不断地与金属骨架（原子实）碰撞，碰撞时把定向运动的动能传递给了晶格，使晶格的热振动（绕平衡位置的振动）加剧，因而金属的温度升高（宏观表现），向外放出热量。由此可见，焦耳热实际上是通过电场力做功由电能转化来的。GIIABU电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，在做功的过程中，电势能转化为其它形式的能量。如果电路是由导线和直流电动机组成的，电势能的一部分转化成热能，由导线释放，大部分转化成机械能，由电动机对外界做功。此外，电能还可以有其它多种转换形式

如果这段电路只是由导线和电阻元件(如电炉或白炽灯)组成的，电势能就转化成热能，由导线和电炉丝或灯丝释放；二、电场力的功由电压的定义可以知道，若电路两端的电压为U，则当q单位的电荷通过这段电路时，电场力所做的功为：A=qU因为则：这就是电场力对电荷所做的功习惯上称为电流的功。电功的单位：焦耳（J）在电力工程上：用千瓦·小时（KW.h）1度电，就指的是1千瓦·小时。千瓦·小时和焦耳之间的关系是：

1千瓦·小时=1000瓦×3600秒=3.6×106焦=3.6兆焦

纯电阻电路，电场力所做的功就全部转化为热量Q，根据能量转化和守恒定律知：由欧姆定律上式写成：这就是焦耳定律，也叫电热定律。注：只反映电能与热能的转化。反映电能与各种形式的能量的转化。三、电功率电路的作用之一是（借助电流）把电源的能量传输给用电器。用电器在单位时间内吸收的电能叫做它所吸收的电功率。纯电阻电路：或注：（1）电功率的单位：瓦特（W），在电力工程上：千瓦（KW）（2）额定功率：一般用电器上都标有额定电压和额定功率或标有电阻和额定功率：如：“220V，40W”灯炮：说明在220V下正常工作吸收电功率为40W。“，5W”说明此的电阻最大允许的电功率为5W。（3）是一段电路所消耗的全部电功率而只是由于电阻发热而消耗的电功率I不变U不变以上三式只有在纯电阻电路中才等价。对非纯电阻电路只有成立。四、热功率密度单位体积内释放的热功率，叫做热功率密度，用表示引入热功率密度的概念后，焦耳定律也可写成微分形式：表：任一点的热功率密度只与导体的性质和该点的电场有关，而与整个导体的大小、形状无关。五、电流的热效应危害电流的热效应在日常生活、生产和科研中有着广泛的应用，例如白炽灯、电炉、电烙铁、电烘箱和其他许多仪器设备都是利用这种效应制成的。但是，电流的热效应也有不利的一面，在许多场合中它会造成危害。例如，在输电线路中，电流所发的热无益地散失到周围的空间，因而降低了电能的传输效率，而且如果通过的电流过强，发热过多散不出去，还会烧坏导线的绝缘层，引起漏电、触电。又如，发电机、电动机、变压器等电气设备的绕组都是铜导线绕成的，电流通过绕组时发热，就使绕组的温度升高，如果散热不好，也会烧坏绕组的绝缘层，造成事故。我们在实验室里用到的各种电阻元件和电学仪器设备都有一定的额定功率或额定电流，使用时要特别小心，切不可让通过它们的电流超过额定值，以免发热过多而把它们烧毁。电流的热效应在短路时危害更大。所谓短路就是指两根电源线不经过电阻元件而直接接触。在这种情况下，因电路中电阻很小，电流很强，短时间内就能产生大量的热，轻则使电源和电气设备烧毁，重则引起火灾。为了避免短路事故，在电路中通常要安装保险丝。保险丝一般是用铅或铅锡合金制成的，熔点很低。当通过的电流过大时，保险丝被烧断，使电路自动断开，这样就可防止把导线和仪器设备烧坏。保险丝的规格很多，不同规格保险丝的额定电流不同，使用时必须根据电路中的电流强度适当选择。若选用额定电流过小的保险丝，在正常用电时也会烧断，造成停电事故；若选用额定电流过大的保险丝，当电路中通过的电流超过允许值时也不会烧断，就起不到保护作用。因此，所选用保险丝的额定电流一般应接近于或略大于电路中的正常电流。例：有两只白炽灯泡，一个规格为220V、100W,另一个220V、40W,把它们串联在220V电源上，问那一个灯泡较亮？假定灯泡电阻保持不变，这时每个灯泡消耗多大功率？解：（1）这两个灯在额定电压下阻值为：串联I100=I40=IP=I2R所以，40W灯泡比较亮，且消耗的电功率也大，R100R40220V（要判断哪个灯泡较亮，须比较两着电阻）（2）因灯泡电阻不变，所以串联后每个灯泡中通过的电流为：每只灯消耗的电功率可见，在这种串联下，小灯泡的实际功率反而比大灯泡大，但即使是40W灯泡的亮度也大大低于额定情况，实际中这种联接方法是不用的。若两个灯泡并联，哪个灯泡较亮？本节讲授§4.4电源电动势

如何维持恒定电流？两个不等势的带电导体用导线连接,会怎么样?可见静电场不能保持恒定电流,V2V1思考+++++AB+++++-----一、非静电力1、恒定电流的条件：说明了恒定电流的闭合性。2、仅靠静电力不能维持恒定电流如图，一闭合回路上的A、B两点，因电流线是闭合的，所以电流由，再由（因I由高→低）上面出现了矛盾的结果。即仅靠静电力不能维持恒定电流。3、非静电力：使电流（正电荷）从低电势处流向高电势处，从而使电流线闭合。这种力称为非静电力。+++++AB+++++-----+4、电源（2）电源的作用：与水泵类似，水泵使水由低处流向高处；电源使正电荷由低电势处运动到高电势处。（1）定义：提供非静电力的装置称为电源。或把其他形式的能量转化为电势能的一种装置，其它形式的能量包括化学能（化学电池）机械能（发动机），热能（热电偶），太阳能（硅（硒）太阳电池）等。

为了形成稳恒电流，必须有一种装置，它能为电路提供一种非静电力，从而把正、负电荷再分开以维持电势差不变。在电路上，把能够提供这种非静电力的装置叫电源。（3）电源的正负极：电势高的叫正极，低的叫负极。闭合电路：电源（内电路）＋外电路外电路：正电荷在静电力的作用下从高电势向低电势运动。内电路：正电荷在非静电力的作用下从低电势向高电势运动。注意：电源内部的电荷除了受非静电力的作用外，还受静电力的作用。如图：非静电力将B端（负极的）正电荷运向A端，从而使A端带正电而B端带负电，A、B两端的正、负电荷激发一个从A→B的静电场，从而电源内的正电荷还要受到由A→B的静电力。当=时，A、B两端的电荷不再增加，A、B之间的电势达到一稳定值。电源工作时就是靠非静电力作功不断地把正电荷从负极推向正极，其能力的大小用电源的电动势ε来表示，其定义为：把单位正电荷从电源的低电位(负极)推向高电位(正极)非静电力所作的功。二．电源的电动势设电源对正电荷q施加的非静电力为FK

，则从电源负极到正极所作的功为

所以电源的电动势式中表示非静电力场，数值上等于单位正电荷受的非静电力，方向和正电荷受的非静电力的方向相同。在有些情况下，整个回路L都是电源，因此电动势ε可普遍地表示为

（2）电动势是一个标量，其单位和电势的单位相同，为伏特(V)，其大小只取决于电源本身的性质，与电源外电路的连接方式无关。注（1）ε反映非静电力作功本领的物理量（3）规定：从负极经电源内部到正极方向为电动势正方向。

内外电路形成闭合电路时，正电荷由正极流出,经外电路流入负极,又从负极经内电路流到正极,保持了电流线的闭合性。表征电源的另一个重要参量是电源的内阻r，当有电流通过电源时，电阻r对电流也有阻碍作用，电势在r上也有降落，电能也会损失而使电源发热。由电源的电动势ε＝A／q和q＝It可得，电源的功率将该式与电阻的功率P＝IU相比较，可以看出ε与U相当，事实上，当电源无内阻时，ε在数值上就等于电源的端电压。

闭合电路形成恒定电流必须有电源L------------------------------AB电源内电路外电路

+电动势和电压的区别P145本节讲授§4.6闭合电路欧姆定律

电路简单电路：电源，外电路上仅有电阻R相接的闭合电路称单一闭合电路。能简化为单一闭合电路称为简单电路。复杂电路：不能简化为单一闭合电路的电路称复杂电路。（又叫网络）1、闭合电路的欧姆定律若电源外电路上仅与一个电阻R相连接,则为无分支的最简单的闭合电路,如图所示。

由图知，电源ε向电路提供能量，其功率为P＝Iε，而外电阻R和内电阻r在电路上消耗的功率分别为I2R和，I2r,这样由能量守恒定律可得则

该式表明闭合电路中的电流等于电源的电动势与总电阻之比，称为闭合电路的欧姆定律，AB2、路端电压把电源接到电路中，在一般情况下就会有电流I通过。通过电源的电流方向有两种可能性：从负极到正极，或从正极到负极。例如当我们把一个负载电阻R接到电源的两极上构成闭合回路时(见图a),通过电源内部的电流是从负极到正极；当我们把另一个电动势较大的电源接到电动势较小的电源上，正极接正极，负极接负极(见图b),通过后一电源内部的电流是从它的正极到负极的。前一情形叫做电源放电，后一情形叫做充电。现在我们来计算一个电源两端的电压(路端电压)。按照定义，路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所作的功，即可得电源的路端电压公式为：

(1)式表明,放电时路端电压小于电动势；(2)式表明，充电时路端电压大于电动势；电动势与路端电压之差等于内阻电压降。一般情况下，电源的端电压不等于电源的电动势。当I=0（外电路断开）或者r=0（电源内阻为零）时，U=ε。内阻为零的电源叫做理想电源。理想电源的端电压保持不变，等于其电动势。一个电动势为ε，内阻为r的实际电源，可以看成是理想电源ε与内阻r的串联。ε,r

3、关于闭合电路的欧姆定律应注意以下几点：（P148）

(1)当R→∞时，外电路开路（或断路），I＝0，此时电路上没有电流；当R＝0时，外电路短路，I＝ε/r，由于一般r很小，I很大，所以极易烧毁电源，应注意避免发生这种情况。

(2)IR＋Ir－ε＝0，其中IR是端电压，若将ε看作无内电阻电源的端电压，则这一关系可理解为，在稳恒电路中，从电路的某一点出发，绕电路一周，各个元件的电势降落的代数和为零，这是一个很重要的结论，在分析电路时经常用到。

(3)电源两端的电压UAB称作路端电压，它是电源向电路提供能量(也称为放电)时的电压,UAB＝IR＝ε-Ir

。

(4)如果一个闭合电路含有多个电源，则先取一绕行方向,并假设电流强度方向,然后按上述规定的符号法则便可得该式就是闭合电路欧姆定律的普遍形式。闭合电路欧姆定律用于求：①电源电动势和内阻②已知ε、r，求回路电流【例题】用20安培的电流给一铅蓄电池充电时，测得它的路端电压为2.30伏特；用12安培放电时,其路端电压为1.98伏特,求蓄电池的电动势和内阻。充电时的路端电压为放电时的路端电压为解得：【解】本节讲授§4.7一段含源电路欧姆定律

所谓一段含源电路：是指此段电路中包含有电源。巡行方向计算电势差就是沿A→B计算电势降落：选A→B为计算的顺序方向，沿此顺序方向“一段电路两端的电势差等于该电路上各分段电势降落的代数和”ABIRrε这是最简单的含源电路的欧姆定律

（选A→B为计算的顺序方向，沿此顺序方向的电势降低，故取“+”号，而内阻r上的电势Ir升高，所以前取“－”号。）这就是一段含源电路欧姆定律的普遍形式

式中的符号法则规定为：

(1)UAB表示选定方向为A→B，若UAB＞0,表明电势降低，即UB＜UA

；若UAB＜0，表明电势升高，即UB＞UA.

(2)若电阻中的电流方向与选定方向相同，则电势降落，电压取+IR

；反之取-IR

，对电源内阻r亦相同。

(3)若电动势的方向(负极指向正极)与选定方面相同，则电势升高，取-ε

；反之，取+ε

。若外电路有分支，且外电路中还有多个电源，则含源电路的欧姆定律写为：

电源放电电源充电若I=0，则UAC=ε端电压UAC小于电动势端电压UAC大于电动势电路断开，端电压等于电动势。下图所示的电路，如果选定方向为A→B，则电势差

ε1,r1ε2,r2ε3,r3例题4:电路如图所示，R1=R2=R3=R4=2Ω，R5=3Ω，ε1=12V，ε2=9V，ε3=8V，r1=r2=r3=1Ω，试求：①a，d两点间的电势差;②b，c两点间的电势差。解：由于b,c之间开路，流经R5支路的电流为零，此时电流只沿外闭合电路流动，形成一个单回路电路。设电流强度为I，方向沿逆时针方向，则由闭合电路欧姆定律的普遍形式，电流强度I为

=0.4A所以

10V=10-9=1V这里应该注意：b，c开路，ε2上虽无电流，但ε2对b，c之间的电压是有贡献的，在计算电压时，千万不可遗忘。例题5

在图所示的电路中，已知电池A电动势

A=24V，内电阻rA=2Ω，电池B电动势

B=12V

，内电阻rB=1Ω

，外电阻R=3Ω

。试计算

IRB3421IIA（1）电路中的电流；（2）电池A的端电压U12；（3）电池B的端电压U34

；（4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率；（5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率；（6）电阻R所产生的热功率。12（2）设所选定的积分路径自1经过电池A

而到2，应用一段含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向。解:（1）应用欧姆定律得IRB3421IIA计算结果表示1处的电势V1高于2处的电势V2

。现在再从1342这一积分路径来计算1、2之间的电势差。得所得结果与前相同。（3）设所选定的积分顺序方向自3经过电池B

而到4，仍应用一段含源电路的欧姆定律得IRB3421IIA（5）输入电池B的功率P4=IU34=142W=28W

，其中变化为化学能的功率P5=I

B=122W=24W

，消耗于内阻的功率P5=P4-P5=I2rB=4W。电池A所消耗的化学能功率P1=I

A=224W=48W，而其输出功率P2=IU12=220W=40W，消耗于内阻的功率P3=I2rA=42W=8W。P3等于P1减去P2。（6）电阻R上的热功率P7=I2R=43W=12W。

最后应当指出：按能量守恒定律，电池A所消耗的化学能功率，应等于电池B中转变为化学能的功率以及消耗在外电阻和两电池内电阻上的热功率。本节讲授§4.8

基尔霍夫定律让我们看下面所示的电路图对于这样复杂的电路，显然用欧姆定律是无法求解出电流I1，I2，I3的，为此下面介绍一种解算复杂电路的基本定律：基尔霍夫定律。（3）回路回路就是由不同支路构成的闭合通路，如abefa,bcdeb,abcdefa首先介绍几个名词：（1）支路支路就是由电源、用电器(如电阻)串联而成的电流强度相同的通路，如图中af，be，cd皆是，而abcd,abef则不是。（2）节点节点就是由三个或三个以上支路汇交之点，如b点和e点，而a,c,d,f点就不是节点。一.基尔霍夫第一定律(节点电流定律,KCL)基尔霍夫其理论基础是电流的稳恒条件1、内容：在任一节点处，流向节点的电流和流出节点的电流的代数和等于零。即2、注意：（1）符号规定：

当某支路电流的正方向指向节点时用“－”，背离节点时用“+”（或相反）；而每一个本身则仍为一可正可负的代数量。求出电流后，I为正，说明其真实方向与选定正方向相同，I为负，则相反。（2）对于有n个节点的复杂电路，只能列出（n－1）个独立的节点方程。二.基尔霍夫第二定律(回路电压定律,KVL)它的基础是稳恒电场的环路定理。根据环路定理，沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变。绕行时，沿途电势经历从低到高和从高到低的过程，统称电势降落。若规定电势从高到低的电势降落为正，电势从低到高的电势降落为负，则沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。1、内容：

任一闭合回路中，电势降落的代数和为0。

2、说明

※（1）符号规则：任意选定一个回路绕行方向。对电源：当绕行方向从负极进入电源时，其电动势前写“－”号，否则写“+”号；对电阻：当绕行方向与流过电阻的电流的正方向相同时，该电阻的IR项前写“+”号，否则字“－”号。（2）取闭合回路时，应注意回路的独立性。具体规则是：新选定的回路中，至少应有一段电路是在已选过的回路中所未曾出现过的。（3）对有n个节点p条支路的复杂电路，其独立回路个数m=p－(n－1)。于是，对于n个节点p条支路的复杂电路共有p个未知的电流。根据基尔霍夫第一定律可列出n-1个独立的节点电流方程；根据基尔霍夫第二定律可列出p-n+1个独立的回路电压方程，总共可列出的独立方程数为两者的和(n-1)+(p-n+1)=p。可见未知电流的数目与独立方程式的数目相等，因此方程组可解，而且解是唯一的。所以，基尔霍夫定律原则上可解决任何直流电路问题（4）独立方程的个数应等于未知数的个数。（5）每一电路上电流的方向可以任意假定，解的结果若为负，则说明电流的方向与假定的相反。3.基尔霍夫定律的应用解题步骤：1、任意规定各支路电流的正方向并选定各回路绕行方向（若电路中电流方向已标出，就不再另标了）；2、选定支路数p，节点数n，独立回路数m=p－(n－1)；3、根据符号法则列出（n－1）个节点方程，m个回路方程（检查节点、回路方程之和是否等于支路数）；4、解方程组，根据解出结果（或）的正负，判断其实际方向。例；已知图所示的电路中，电动势，，内阻，，电阻，，求电路中各支路电流。【解】（1）标定各支路电流的方向如图中所示。（2）设求未知变量。如I1

、I2

等。（3）选取独立节点，用基尔霍夫第一定律列节点电流方程。电路中只有两个节点A和C，只有一个是独立的。任选一个即可。选取节点A，由KCL有：（4）选网孔为独立回路，由基尔霍夫第二定律列回路电压方程。选取回路及绕行方向均如图所示。由KVL对回路Ⅰ对回路Ⅱ（5）联立方程组，运用行列式求解运用行列式求解有：则有