专题16组合7种常见考法归类

专题16组合7种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、组合的概念及判断考点二、组合数公式的应用考点三、分组分配问题考点四、隔板法的应用考点五、实际问题中的组合计数问题考点六、代数中的组合计数问题考点七、几何组合计数问题一、组合1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。3、对组合概念的两点说明：（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。二、组合数与组合数公式1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。2、组合数公式：（，且）注：组合数公式的推导：（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？．（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．3、组合数的性质：（1）；（2）；（3）规定三、排列与组合的相同点与不同点1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。1、组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．2、分组、分配问题的求解策略（1）对不同元素的分配问题①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．（2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．考点剖析考点一、组合的概念及判断1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【答案】C【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.2．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】D【分析】根据组合的性质逐一判断即可.【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，故选：D3．（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．()（2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.()（3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．()（4）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.()【答案】正确正确错误错误【分析】根据组合的含义和组合数的公式进行判断.【详解】（1）因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．（2）由组合数的定义可知正确．（3）因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．（4）由于4张票是相同的，故相当于从5人中选4人的组合问题．故答案为：正确；正确；错误；错误.考点二、组合数公式的应用4．（2024上·辽宁·高二校联考期末）（

）A．120 B．119 C．110 D．109【答案】B【分析】由组合数公式不断迭代即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.5．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】故选：A6．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知，计算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解.（2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得.【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解为.7．（2023上·高二课时练习）解关于正整数x的方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.【详解】（1）x为正整数，由可得或，故或，解得或或或（舍去），又均为整数，且，所以或符合要求，不符合要求，故或（2）由组合数的性质可得，所以由可得，进而可得，解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去，8．（2023上·高二课时练习）观察下列等式及其所示的规律：，，，并据此化简，其中n为正整数．【答案】【分析】利用等式规律以及组合数性质，从前向后逐项相加即可得出结果.【详解】根据等式所示规律可知；由组合数性质可得，所以可得9．（2023·全国·高二随堂练习）求证：．【答案】证明见详解【分析】根据组合数公式推导可得.【详解】由组合数公式可知，等式成立.10．（2023上·高二课时练习）求证：.【答案】证明见解析【分析】从个元素里面取个元素可以分为以下两种情形来考虑：情形一：选取的个元素中包含某一确定的元素；情形二：选取的个元素中不包含某一确定的元素.由以上两种情形并结合组合数的意义即可得证.【详解】一方面：从个元素里面取个元素可以分为以下两种情形：情形一：选取的个元素中包含某一确定的元素，则只需从剩下的个元素里面取个元素即可；情形二：选取的个元素中不包含某一确定的元素，则需从剩下的个元素里面取个元素.另一方面：由组合数的意义可知从个元素里面取个元素的选取法数可以用组合数来表示，同理从个元素里面取个元素以及从个元素里面取个元素的选取法数可以分别用组合数来表示.结合以上两方面且由分类加法计数原理有.11．（2023上·高二课时练习）m是自然数，n为正整数，且，求证：．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式计算即可得到本题答案.【详解】根据组合数公式，可以得到．考点三、分组分配问题12．（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（

）A．24 B．36 C．60 D．96【答案】C【分析】分社区只有甲和社区还有另一个志愿者两种类型，利用分步计数原理结合排列组合知识求不同的安排方法数.【详解】分两种情形：①社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有；②社区还有另一个志愿者，此时有，，甲恰好被安排在A社区有60种不同安排方法.故选：C.13．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？【答案】(1)945(2)84【分析】（1）根据平均分组的分配规律，结合组合数的计算，即可得答案；（2）结合题意，利用隔板法即可求得答案.【详解】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案.（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，则分成7组，故分配方案共有种.14．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（

）A．540 B．630 C．1080 D．1260【答案】A【分析】根据排列组合中的分组分配问题求解即可.【详解】将6个不同的小球按要求放有三种方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2，则所有的放法有种.故选:A.15．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（

）A．54种 B．45种 C．36种 D．18种【答案】A【分析】根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解.【详解】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种，故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，故选：A16．（2024·重庆·统考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【分析】按照和分组讨论安排.【详解】（1）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，（2）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，故共有种，故选：A.17．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期中）北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（

）A．72 B．108 C．180 D．216【答案】C【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得．【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.首先分析甲，甲不参加“生物研启社”，则有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．则除甲外的4人有（种）参加方法．故不同的参加方法的种数为故选：C18．（2021下·内蒙古赤峰·高二校考期中）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（

）A．140 B．150 C．200 D．220【答案】B【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可.【详解】当按照进行分配时，则有种不同方案，当按照进行分配时，则有种不同方案，故共有不同的方案，故选:B19．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（

）A．180种 B．240种 C．480种 D．540种【答案】B【分析】分两种情况讨论：李指导员安排在C地上午时和李指导员不安排在C地上午时，再结合排列组合定义即可解决.【详解】李指导员安排在C地上午时，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；李指导员不安排在C地上午时，李指导员有种安排方案，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；综上，共有96+144=240种安排方案.故选：B20．（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论，进而即得．【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况，根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故共有：36种分派方法，故选：．21．（2023下·高二校考单元测试）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据定向分配的原理和分步乘法原理计算；（2）根据均匀分组的原理计算；（3）根据不均匀分组的原理计算；（4）在上一问的基础上的结果乘以全排列即可【详解】（1）先从本书中选本给甲，有种选法，再从其余本中选本给乙，有种选法，最后从余下的本书中选本给丙，有种选法.所以分给甲、乙、丙三人，每人本，根据分步乘法原理，共有(种)方法.（2）可以分两步完成：第步，将本书分为三份，每份本，设有种方法；第步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据（1）的结论和分步乘法计数原理得到，所以.因此分为三份，每份本，一共有种方法.（3）对于“不均匀分组”问题，类似按照（1）的方法得到一共有(种)方法；（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有(种)方法.22．（2023上·高二课时练习）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160【分析】（1）根据分步乘法计数原理可得答案；（2）先把6个小球分为4组，每组个数为或，再放入不同的4个盒子中，即可求得答案.（3）采用隔板法可求得答案.（4）将6个不同的小球分为3组，球的个数为或或，结合平均分组以及不平均分组知识，即可求得答案.【详解】（1）由题意，6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能的放法，故有种不同的方法；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；先把6个小球分为4组，每组个数为或，再放入不同的4个盒子中，共有种不同的方法.（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，即将6个相同的小球分为4份即可，可采用隔板法，即将6个小球排成一排，在中间形成的5个空中选3个插入隔板，即可将6个相同的小球分成4份，故有种方法.（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒,将6个不同的小球分为3组，球的个数为或或，然后从4个不同的盒子中选3个放入这3组球，则有种不同的方法.考点四、隔板法的应用23．（2023上·全国·高三专题练习）试求不定方程的非负整数解的组数．【答案】．【分析】根据设，根据原不定方程解的组数与方程的解的组数相同设有个1，将它们排成一排，每两个之间有1个间隙，共有个间隙，用划竖线的方法将这个1分成m段，每段内1的个数即为一组，，…，，它是方程的一组正整数解，据此即可求解.【详解】由于，所以令，则，原不定方程解的组数与方程的解的组数相同，设想有个1，将它们排成一排，每两个之间有1个间隙，共有个间隙，用划竖线的方法将这个1分成m段，每段内1的个数即为一组，，…，，它是方程的一组正整数解，由于划竖线的方法数为，故原不定方程非负整数解的组数为．24．（2023·全国·高三专题练习）（1）求方程的非负整数解的组数；（2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数.【答案】（1）56；（2）840种【分析】（1）设（，2，3，4），问题转化为程的正整数解的组数，利用隔板法进行求解；（2）转化为方程的非负整数解的组，利用隔板法，结合排列知识进行求解.【详解】（1）设（，2，3，4），则方程的非负整数解的组数等于方程的正整数解的组数，利用隔板法得方程的正整数解的组数是，∴方程的非负整数解的组数是56.（2）设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则，即问题转化为求方程的非负整数解的组数，共有种情况，每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法，由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种，∴一个4人小组进站的不同方案种数是840种.25．（2022·全国·高三专题练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？【答案】(1)3876；(2)；(3)126．【分析】（1）由隔板法知，在19个空隙中放4个板子；（2）在24个空隙中放4个板子；（3）先在1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再将剩余的10个球利用隔板法分为5份.【详解】（1）把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；（2）由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；（3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种.考点五、实际问题中的组合计数问题26．（2024上·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.（2）学生乙最终获得分，有两种情况：①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.27．（2023上·甘肃白银·高二校考期末）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男､女生各有一名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答）(1)至少有一名队长参加该活动；(2)至多有两名女生参加该活动.【答案】(1)825；(2)966.【分析】（1）分有一名队长和两名队长情况讨论得解或采用排除法得解；（2）分有两名女生､只有一名女生､没有女生三种情况讨论得解.【详解】（1）至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和有两名队长.故共有825种，或采用排除法有种.（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生､只有一名女生､没有女生.故共有种.28．（2024·全国·高三专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?【答案】(1)561(2)5984(3)2555(4)6090【分析】（1）根据组合数的应用从余下的34种商品中，选取2种即可由组合数得答案；（2）根据组合数的应用从余下的34种商品中，选取3种即可由组合数得答案；（3）由题意得选取2件假货有种，选取3件假货有种，根据加法计数原理得结论；（4）用间接法求解选取3件的总数有，去掉选出的均为假货的情况，即可得结论.【详解】（1）从余下的34种商品中，选取2种有（种），某一种假货必须在内的不同取法有561种．（2）从34种可选商品中，选取3种，有（种）．某一种假货不能在内的不同取法有5984种．（3）选取2件假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式（种）．至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．（4）选取3件的总数有，因此共有选取方式（种）．至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．29．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【答案】(1)256（种）(2)24（种）(3)12（种）【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；（2）根据排列的定义求解即可；（3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.（2）这是全排列问题，共有（种）放法.（3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种）放法.（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有（种）放法.30．（2023上·高二课时练习）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取4件产品．(1)求恰好含1件二等品的概率；(2)求至少含有1件二等品的概率．（以上结果均精确到0.01）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型即可求得恰好含1件二等品的概率；（2）利用对立事件和古典概型即可求得至少含有1件二等品的概率．【详解】（1）从这100件产品中随机抽取4件产品，所有的基本事件的个数为．将“恰好含1件二等品”的事件记为A．由乘法原理和加法原理，易知A所包含的基本事件有个，所以事件A的概率是．（2）将“至少含有1件二等品”的事件记为B．B的对立事件为“4件产品全是一等品”，而所包含的基本事件有个，所以，从而事件B的概率．考点六、代数中的组合计数问题31．（2023上·高二课时练习）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，求取到的数为奇数的概率．【答案】【分析】应用排列、组合数求出所有三位数个数及其中奇数的个数，由古典概型的概率求法求概率.【详解】任取三个数字组成三位数有种，其中三位数为奇数有种，所以取到的数为奇数的概率为.32．（2023上·高二单元测试）已知集合.(1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得以及，然后根据排列数的知识求得正确答案.（2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案.【详解】（1）由，得，所以，所以，所以，从中取出个不同的元素组成三位数，可以组成个三位数.（2）由（1）得，而，若从集合中取元素，则不能作千位上的数字，有个满足题意的正整数；若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数.所以，满足题意的自然数的个数共有.33．（2023下·高二单元测试）已知三个条件：①偶数；②能被5整除的数；③比7630大的数．从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：用0～9这10个数字组成无重复数字的四位数，求其中____________的个数．【答案】答案见解析【分析】若选①，个位分0或其它偶数两组情况分别求解；若选②，分个位是0或5两种情况求解；若选③，千位分为7，8，9，再利用分步和分类原理，即可求解.【详解】选①：若个位是0，有个．若个位是2，4，6，8，有个．共个．选②：若个位是0，有个．若个位是5，有个．共个．选③：若千位是8，9，有个．若千位是7，百位是8，9，有个．若千位是7，百位是6，有．共个．34．（2023下·广东梅州·高二统考期中）从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.(1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？(2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？【答案】(1)(2)【分析】（1）应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果.（2）应用间接法，先求出有1和3且区域，，中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可得结果.【详解】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种，3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种，所以共有种填法.（2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上，所以，共有种，从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种，综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种.35．（2023下·北京大兴·高二校考阶段练习）（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？(3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解；（2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解；（3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解.【详解】（1）若选到0，则0不能排在首位，有种方法，若没有选到0，则有种方法，综上可知，共有种方法；（2）个位是偶数的数是偶数，若个位是0，则有种方法，若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法，综上可知，共有种方法；（3）中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数，则个四位数，综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数.考点七、几何组合计数问题36．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内有任意三点都不共线的四点，直线，在直线上，过以上八点中若干点可做多少几何图形？显然可以从构成直线、三角形、四面体等考虑．【答案】答案见解析【分析】根据给定条件，利用组合应用问题，结合共线、共面情况，借助排除法求解即得.【详解】（1）过八个点中任何两点都可作一条直线，去掉重复情况有条直线．（2）过八个点中的三个点可作一个三角形，最多能作个三角形．（3）过八个点中的三个点可作一个平面，最多能作个平面．（4）过八个点中四个点可作一个四面体，最多能作个四面体．37．（2023上·全国·高三专题练习）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？【答案】211【分析】分4种情况进行求解，相加得到答案.【详解】这个问题可分四类加以考虑：①5个共面点确定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定个平面；③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定个平面；④7个点中任何3个点确定个平面．∴总共确定平面的个数为（个）．38．（2023上·高二课时练习）如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？【答案】【分析】根据有没有取到点的两种情况分别计算，而没取到点又分两种情况计算，最后根据分类相加即可求解.【详解】当取到点时，在、上各取一点（与点不同），有种；当不取到点时，一是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种；二是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种.所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有种.39．（2023上·高二课时练习）平面上的6个点A、B、C、D、E、F中的任意3个点都不在同一条直线上，写出所有以其中3个点为顶点的三角形．【答案】见解析【分析】根据任意不共线的三点构成三角形，即可求解.【详解】由于平面上的6个点A、B、C、D、E、F中的任意3个点都不在同一条直线上，所以任意三点均可构成一个三角形，故所有的三角形有：,,40．（2023上·高二课时练习）圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成多少个不同的三角形？【答案】120个【分析】利用组合的相关知识，结合圆上的点的性质即可得解.【详解】由于圆上的10个不同的点中不可能有三点共线，因此其中任意3个点都可以组成一个三角形，从而所求个数就是从10个互不相同的元素中任取3个不同元素的组合数，即．因此可以组成120个不同的三角形．过关检测一、单选题1．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果.【详解】先将五个人分为三组，每组的人数分别为、、或、、，若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组，则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种；若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇，只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种.接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为种.故选：C.2．（2023上·甘肃白银·高二校考期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】B【分析】至少有一名女生入选分为两类情况，利用组合相关知识即可求解.【详解】分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种.所以不同选法种数共有.故选:B.3．（2024上·北京昌平·高二统考期末）为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动.现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（

）A．20 B．30 C．35 D．60【答案】B【分析】根据题意，分为两类：一男两女或两男一女，结合组合数公式，即可求解.【详解】由题意，可分为两类：一男两女或两男一女，当一男两女时，有种不同的选法；当两男一女时，有种不同的选法，由分类计数原理得，共有种不同的选法.故选：B.4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列举出能组成勾股定理关系组数，结合组合知识求出概率.【详解】在这8个数中任取3个数共有种取法，能组成勾股定理关系的有，，，共3组，由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为．故选：D．5．（2023上·四川成都·高二校联考期末）有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算出从中一次性取出2个球，共有的情况数以及2个球颜色不同的情况数，从而求出概率.【详解】从中一次性取出2个球，共有的情况数为种，其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种，故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.故选：C6．（2024上·青海西宁·高三统考期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（

）A．216 B．228 C．384 D．486【答案】A【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，所以共有种不同的挂法.故选：A7．（2024上·青海西宁·高三统考期末）三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，共有种方法，其中三个项目都有学生参加的方法有种，故所求的概率为.故选：D8．（2024上·江苏常州·高二常州市第一中学期末）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．204C．168 D．216【答案】B【分析】根据三个数字中是否有“0”分两类，利用分类加法计数原理求解.【详解】分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有个；第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有个，根据分类加法计数原理，所以共有个.故选：B二、多选题9．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（

）A．甲分得4本，则不同的分法有30种B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种C．每人2本，则不同的分法有540种D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种【答案】ABD【分析】利用分组分配问题的解法即可得解.【详解】对于A，不同分法有种，故A正确；对于B，不同的分法有60种，故B正确；对于C，不同的分法有种，故C错误；对于D，若甲分得3本，则不同的分法有种，若甲分得4本，则不同的分法有30种，故共有种，故D正确．故选：ABD.10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（

）A．“取出的鞋不成双”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于【答案】ABC【分析】对于A，求出取出的鞋不成双的可能，然后利用古典概型公式判断；对于B，求出取出的鞋都是左鞋的可能，然后利用古典概型公式判断；对于C，由B选项结论，以及加法公式可判断；对于D选项，求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双的可能，然后利用古典概型公式判断.【详解】对于A，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数，所以“取出的鞋不成双”的概率为，故A正确；对于B，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情况数，所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正确；对于C，由B选项可知，“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于，所以“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于，故C正确；对于D，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚的，一只是右脚的，满足题意的可能情况数，所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题的关键是熟练利用组合数公式的实际意义、古典概型公式还有加法、乘法计数原理等，从而即可顺利得解.11．（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（

）A．共有90种安排方法B．甲连续两天值班的安排方法有30种C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种【答案】ABD【分析】利用排列组合相关知识逐项分析即可.【详解】对于A，首先任选2天安排甲值班，共种方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班，共种方法，最后安排丙，种方法，共计种方法，故A正确；对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5种方法，再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共种，共计种方法，故B正确；对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2种方法，再讨论丙值的两天班是否连续，若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个，安排“丙丙”即可，此时有种方法，若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可，此时有种；综上，符合题意的方法数为种，故C错误；对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共种方法，故D正确.故选：ABD.12．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）带有编号、、、、的五个球，则（

）A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】AC【分析】利用分步计数原理直接判断选项A，利用组合、排列的结合判断选项BCD.【详解】对于A：由分步计数原理，五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；对于B：由排列数公式，五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；对于C：将其中的个球投入一个盒子里共有种放法，故C正确；对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有：种不同的放法，故D错误．故选：AC三、填空题13．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为.【答案】24【分析】从不含数字和含数字两类出发，运用排列、组合数公式计算即可；【详解】分两类：第一类不含数字，有以下几种组合和，结果为；第二类含数字，有以下几种组合、和，结果为；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是.故答案是：.14．（2024上·上海·高二上海市控江中学校考期末）空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成个四面体【答案】34【分析】分析题意，用组合数求解即可.【详解】由题意得空间内7个点，若其中有且只有4点共面，且需围成立体图形，故围成四面体个数为个故答案为：3415．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案.（用数字作答）【答案】【分析】本题为标准的先分组再分配问题，第一步先分组，第二步分配.【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为或或；第一步先分组，分组方式共有种；第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案；第三步根据分步乘法原理总计种按排方案.故答案为：.16．（2024上·山东淄博·高三统考期末）将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有种．【答案】120【分析】先分给甲，再分给剩余四个人，结合分步乘法计数原理得到答案.【详解】由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有种分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有种分法，所以一共有种分法.故答案为：12017．（2024上·辽宁大连·高二统考期末）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【答案】【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.【详解】由题意，可分为三种情况：当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，所以不同的分配方法有种不同的安排方法.故答案为：.18．（2024上·上海·高二统考期末）在正方体八个顶点中任取两点，则这两个点所确定的直线与正方体的每个面都相交的概率是.【答案】【分析】结合概率公式与组合数的计算即可得.【详解】只有体对角线和每个面都相交，体对角线共有条，正方体八个顶点中任取两点共有种取法，则其概率为.故答案为：.19．（2024上·广东潮州·高三统考期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有种．（用数字作答）【答案】【分析】分两种情况讨论，先分组，再分配.【详解】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法，若两个盒子中均放个球，则有种放法，综上可得一共有种放法.故答案为：20．（2024上·上海·高二校考期末）一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为.【答案】【分析】根据古典概型概率计算公式求解即可.【详解】一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生,从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为,选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为,则所求事件的概率为，故答案为：.21．（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有个.【答案】18【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故答案为：18四、解答题22．（2024上·北京西城·高二统考期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.(1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选出的3名志愿者中