广西南宁市第三十六中2019-2020高一下学期段考数学试题

20192020下学期段考高一数学试卷一､选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.化为弧度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，属于基础题.2.下列说法错误的是()．A.向量与的长度相等B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.零向量没有方向【答案】D【解析】对于，向量与互为相反向量，长度相等，方向相反，所以正确；对于，若两个向量是相等向量，起点相同，终点必相同，正确；对于，零向量的模为0，正确；对于，零向量不是没有方向，而是方向是任意的，所以错误.故选D.3.设为第三象限角，则点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【详解】解答过程略4.直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线与轴的交点为，且已知直线的斜率为，所以逆时针旋转所得的直线的斜率应是，由直线的点斜式方程可得，即，应选D.点睛：解答本题的关键是搞清所求直线所满足的条件“经过与轴的交点，且与已知直线垂直”，然后运用直线的点斜式方程求出直线的方程为.5.如图，在扇形AOB中半径OA=4，弦长AB=4，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求出扇形的圆心角，利用扇形面积公式计算即可．【详解】扇形AOB中，半径OA=4，弦长AB=4，∴∠AOB=，∴该扇形的面积为：S扇形=××42=．故选B．【点睛】本题考查扇形的面积计算问题，是基础题．6.点关于直线的对称点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设对称点为，则，则，故选A.7.在正方体中，直线与面所成角的正弦为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合题意，构造该直线与平面所成夹角，计算正弦值，即可．【详解】连接AC交BD于点O，连接，因为，得到，所以为直线与面所成角，设，则，所以，故选B．【点睛】本道题考查了计算直线与平面所成角，考查了直线与平面垂直的判定，难度中等．8.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数的单调性可得，即可得解.【详解】因，，，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数单调性的应用，找到合理的中间值是解题关键，属于基础题.9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】先将函数的化为正弦型函数，在将函数的解析式表示为，并结合的符号与绝对值确定平移的方向与长度．【详解】由诱导公式可得，因此，只需在将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选C．【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题；①两个函数的名称一定要一致；②左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量上变化了多少．10.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中，错误的是（）A.AC⊥SBB.BC∥平面SADC.SA和SC与平面SBD所成的角相等D.异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等【答案】D【解析】【分析】对各个命题进行证明：A由线面垂直的性质定理证明，B有线面平行的判定定理证明，C由直线与平面所成角的定义证明，D由异面直线所成角的定义证明．【详解】由SD⊥底面ABCD，平面，得，又正方形中，，所以平面，平面，∴，A正确；因为，平面，平面，∴平面，B正确；由SD⊥底面ABCD，知为直线与平面所成角，易得与全等，因此，C正确；由知异面直线AB与SC所成的角是，异面直线CD与SA所成的角是，是锐角，是直角（简单说明：由SD⊥底面ABCD得，又，得平面，从而）．D错误．故选：D.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的判定，考查直线与平面所成的角以及异面直线所成的角．考查空间想象能力．11.函数是偶函数，则下列说法错误的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增 D.函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据函数是偶函数求得，然后再对每个选项进行分析排除可得结论．【详解】∵函数是偶函数，∴，∴,又，∴，∴．对于A，可得函数区间上单调递减，故A正确．对于B，由可得直线是对称轴，故B正确．对于C，，，可得函数在区间上先减后增，故C不正确．对于D，由可得是对称中心，故D正确．故选C．点睛：关于三角函数奇偶性的结论与方法①函数y＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数．②若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．③若函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．12.关于函数有下述四个结论：①是偶函数②的最大值为2③在有4个零点④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（）A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③【答案】A【解析】【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.【详解】解：的定义域为，因为，故偶函数，结论①正确，当，当，故当时，根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.二､填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13.经过点的直线的倾斜角是__________.【答案】【解析】【分析】根据斜率公式求解即可.【详解】经过点的直线的倾斜角是.所以倾斜角为.故答案为：【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算,属于基础题.14.已知，则________．【答案】【解析】【分析】由得的值，再将所求式子利用1的代换，即分母除以，化成关于的表达式，再求值.【详解】由得，所以．故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，求解时注意1的代换的应用，属于基础题.15.已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．【详解】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d．∴的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．16.已知圆，圆，M､N分别为圆､上的动点，点P是x轴上的动点，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】由圆的性质可得对于任意一点P，，取点关于x轴的对称点，由轴对称的性质可得，即可得解.【详解】由题意，圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为，对于x轴上任意一点P，，设点关于x轴的对称点为，则，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的标准方程及性质的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三､解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.)17.如图，在任意四边形ABCD中，（1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证：.（2）已知，用，表示向量.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量的线性运算可得，，两式相加即可得证；（2）由平面向量的线性运算逐步运算即可得解.【详解】（1）证明：因为E､F分别是AD､BC的中点，所以，，由题意，，两式相加得，即；（2）因为，所以，所以.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及用基底表示平面向量的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.18.已知角的终边在第二象限,且与单位圆交于点．（1）求的值；（2）求的值.【答案】【解析】【分析】(1)先求出，再求出的值.(2)先利用诱导公式化简，再把tan的值代入求解.【详解】（1）由题得因为角的终边在第二象限，所以所以.(2)=.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的商数关系和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，圆是的外接圆．（1）求圆的方程；（2）求过点且与圆相切的直线的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由是直径可得圆心坐标和半径（2）一是考虑斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求得，得切线方程中．【详解】解：（1）∵在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，∴是直径，则的中点，即圆心，半径，则圆的方程为．（2）∵，∴点在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为，到圆心的距离．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为，则切线方程为，即，则圆心到直线的距离，即，平方得，即，则，此时切线方程为，综上求过点且与圆相切的直线的方程为或．【点睛】本题考查求圆的切线方程，由圆心到切线距离等于半径判断直线与圆相切．20.已知函数的部分图象如图所示：（I）求的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值．【答案】(Ⅰ)；对称中心的坐标为()(Ⅱ)见解析【解析】【分析】（I）先根据图像得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据图像上求得的值，由此求得的解析式，进而求得的对称中心.（II）求得图像变换之后的解析式，通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值.【详解】解：（I）由图像可知：,可得：又由于,可得：,所以由图像知,,又因为所以,.所以令(),得：()所以的对称中心的坐标为()（II）由已知的图像变换过程可得：由的图像知函数在上的单调增区间为,单调减区间当时,取得最大值2；当时,取得最小值．【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧C2的方程.(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(x14)2+y2=225(5≤x≤29)(2)不存在，理由见解析【解析】【详解】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,12).则线段AM中垂线的方程为y6=2(x17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),又圆弧C2所在圆的半径为r2=2914=15,所以圆弧C2的方程为(x14)2+y2=225(5≤x≤29).(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得x2+y2+2x29=0,由解得x=70(舍去).由解得x=0(舍去),综上知,这样的点P不存在.【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围,其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.22.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．【解析】【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线