高等数学（亢莹利第三版）教案 第7章 级数与拉普拉斯变换

7.1.1级数的概念

教学目标：

(1)学习无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和等概念;

(2)掌握级数的基本性质，熟记几何级数的敛散性；

(3)会用级数的概念及基本性质判断一些级数的敛散性;

教学重点：

(1)无穷级数的概念及基本性质；

(2)判断一些级数的敛散性。

教学难点：

无穷级数的概念及基本性质的正确应用。

授课时数：1课时

教学过程

__________________m__________________备注

IS教师

介绍本章学习的主要内容。讲授

3,___

知识回顾引导

在等比数列｛〃“｝中，当公比q≠1时，前〃项和为学生

回答

2,

Sn=ax+a∣q+alq++alq'-'="一").

i-q6,

an=alq"-'叫做一般项或通项.

新知识

无穷数列｛uj的各项和(即所有项的和)

%++/++〃“+，

叫做无穷级数，简称级数.记作“.即

π=l

.

∑Mn=M1+W2+M3++〃“+.

N=I教师

其中第八项叫做级数的一般项或通项.讲授

»111111

例如，级数,+LL++ʌ+,的一般项是-L

占2"2482"2"

如果α,,是常数，那么级数“叫做常数项级数，如果与是变量X(或其他变量)

W=I

的函数，那么级数£>“叫做函数项级数.例如，级数£工，级数都是

/J=I∏=ι〃∏=ι2

常数项级数；而级数f(-l)"Tχ",级数f>innx都是函数项级数.

Λ=lH=I

首先研究常数项级数.

级数£>"的前〃项之和s“=%+/+%++””叫做级数的部分和.如果当

Λ=l

"→8时，S“有极限S,即

IimsJ=S，

M→∞

那么，称级数£>“收敛，并把极限值S叫做这个级数的和.即

H=I

8

∑w,.=S.

15,

?1=1

如果当“→00时，S”的极限不存在，那么称这个级数发散.

知识巩固

例1判别级数»1产5=i」+L-+(-ɪr'ɪ+是否收敛.若收敛求

∏=ι2242

其和.

解这个级数是公比为-L的等比数列的各项和，叫做等比级数.其部分和为

2

()在教

=4(IT)=2=2[i-(.lr],

师引

1-41+132

2领下

所以IimS“=：lim[l-(-g)”]=|.共同

完成

因此，级数f(-l)"Te收敛，其和为4.

«=123

说明：等比级数S>q"τ,当@<1时，

n=l

_r/(1一/)_aι,∙a∖

ιirπSc=Iim------------=------Iim11—q=-------.

n→o°nn→∞1—q1—qm→∞1—q

故级数收敛，且其和为言；当|同。1时，级数发散.

例2判别级数£"=1+2+3+4+—+〃+的敛散性.

M=I

解级数的部分和为

/1(«+1)

cɔ,j=-----------,

n2

+

因为IimStl=Iim=00,

n→<x>Λ→∞2

所以级数发散.22,

∕t=l

新知识

利用极限的性质可以得到级数下列面性质(证明略).

性质1如果级数£>,,收敛，其和为S,那么级数fC”，也收敛，其和为CS(C

H=IZl=I

为常数).教师

性质2如果级数与级数“都收敛，其和分别为。和$2,那么级数讲授

n=lW=I

£(““+%)也收敛，其和为S∣+52.

w=l

性质3如果一个级数收敛，那么去掉、加上或改变有限项得到的级数仍然收敛.26，

知识巩固

例3判别级数之2+(二1产是否收敛,如果收敛，求出级数的和.

n=Iɔ

解级数是等比级数，且公比M=,该级数收敛，其和为

"=I33

2在教

%3

S=-L-=^-=1,师引

"qi-ɪ领下

3

共同

级数£攵军是等比级数，且公比Ia=L<ι,该级数收敛，其和为

完成

Λ=∣33

ɪ

♦q_aJ

Λ-------------..—―,

ifι÷i4

3

因此级数£2+(1D*T收敛,并且和为工.

占3"430'

链接软件

利用在Matlab软件可以判断级数是否收敛，如果收敛可以求出和，方法详见实

验7.

计算例3的操作为输入：

clear

symsn演示

f=(2+(-1)^(n-l))∕3^n;

I=symsum(f,n,l,inf)

显示：I=—.

4

35,

说明如果级数发散，则显示结果为inf(即8)_______________________________

练习7.1.1

1.判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和.

哼如宵闾…用(沪;学生

课上

(2)In3π+In4π+In5π÷+lnrt+2π+；完成

2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.

/+(*»+»/+»_____________

♦42'

小结

_________新知识：无穷级数的概念及基本性质，判断一些级数的敛散性。___________

作业

1.通过复习级数的概念，总结7.1.1学习的内容；

2.完成习题册作业71.1。__________________________________________________45，

7.1.2幕级数

教学目标：

(1)记住募级数的一般形式及相关概念；

(2)学会求一些简单的基级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。

教学重点：

(1)基级数的一般形式及相关概念；

(2)一些简单的基级数的收敛半径，收敛区间的求法。

教学难点：

事级数概念的理解。

授课时数：1课时.

教学过程

过程备注

^≡

下面研究函数项级数.

观察等比级数

=l+x+x2++x"+…

M=I

1_√,

级数的部分和为S〃=」，

"1-x

fjrμιrS~~~>当IAIVI时,提问

所以IimSfl=<1—x

不存在，当口21时.

5,

因此，级数£丁」当∣x∣<l时，收敛且其和为―匚；当IXBl时发散.

ZI=II-X

新知识

形如

2n

Yan(x-x0)"=au+aλ(x-x0)+α2(x-x0)+∙∙∙+α,,(x-x0)+…

"=O

的函数项级数叫做X-%的嘉级数(其中4,4,…4…是常数).

当XO=O时，上述的塞级数成为教师

8讲授

XlCinX=a{}+aix+a2x+∙∙∙+αzτx+・•・•

n=O

可以看到，等比级数S∙√I=l+X+χ2++χ"+,是基级数.

H=I

使函数项级数S>,,(x)收敛的点X0叫做级数的收敛点.使函数项级数∑w,,(x)发

?,=1Λ=l

散的点X。叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的

集合叫做级数的发散域.例如累级数g>"T的收敛域为(-1,1).

M=I

函数项级数f>,,(χ)对于收敛域内的某一个点X,都有一个确定的和数与之对

π=l

应，这样在收敛域内，函数项级数的和是X的函数，叫做函数项级数的和函数，记

作s(x).即

8

S(X)=Z%(x).

π=lI2,

例如幕级数S>"T的和函数为一!一，即SX(X)=—L,χw(-ι,i)∙

n=lN=IL-X

知识巩固

例4求基级数l+(x+l)+(x+l)2+(x+l)3+的收敛域与和函数.

解该幕级数是公比为q=x+l的等比级数，其部分和为

Cl-U+i)n教师

Ο„=-------------.

i-(χ+i)讲授

根据上面的讨论，当∣x+l∣<l,即-2<x<0时，级数收敛.并且

a

IimSn='=--.

"reI-qX

j.

故级数的收敛域为(-2,0),和函数为S(X)=_.即

X

81

∑(-V+1Γ'=—，x∈(-2,0)

,τX17'

新知识

基级数的收敛性一般有以下三种情形：

w=0

(1)仅在点X=O处收敛，

(2)在(-∞,+∞)内处处收敛，

(3)存在一个正数R,当lx∣<R时收敛，当∣x∣>R时发散.称正数R为级数的教师

收敛半径，区间(-/?,R)叫做收敛区间.讲授

经常使用下面的方法进行判定：

OO

对于基级数设斯≠0,如果Iim""+1：p,那么

〃=o…an

(1)当0VpV+8时,收敛半径R=]；

(2)当P=O时，收敛半径R=+8；

当/=+时，收敛半径

(3)8R=0.25，

知识巩固

例5求募级数之史的收敛半径及收敛区间.

un

解由于斯=—,即+]=∙⅛因此教师

引领

1学生

册+1〃+1n

Iim=Iim=Iim=]=p.完成

n→∞*〃一>8^T^〃T8/?+1

n

则收敛半径R=∕=l,收敛区间为(-1

,1).

例6求幕级数£与

的收敛区间.

___________________M4〃

解令f=/,于是原幕级数变为之二.

M4”

.%.4"1

p=I1im—2IL=I1im——-=—.

〃T8Cln→∞4""4

所以H='=4.

P

由卜|<4,即卜2[<4得W<2∙故基级数Sr的收敛区间(一2,2).

n=o4

说明求基级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数

在区间端点处是否收敛.如本题中，级数在Λ∙=-1处收敛，在x=l处发散，因此

级数的收敛域是[-1,1).在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利

用软件来完成.

33，

链接软件

利用matIab软件可以将一个函数展开为昂级数，方法详见实验7.

例如：将函数/(x)=SinX展开为幕级数，写出展开至5次幕项的操作为：

clear演示

symsX

f=sin(x);

taylor(f)

显示：f=

sin(x)

ans=

X-1∕6*XΛ3+1∕120*XΛ5

37,

ɪ315

sιnx=x——XH-----X+

即6120._______________________________

练习7.1.2

∞1学生

1.求下列幕级数ZdrX"的收敛区间与和函数.

n=}2课上

2.求下列暴级数的收敛半径和收敛区间完成

∞γ“∞丫2〃

(1)∑√5⑵∑3^∙

43,

π=l〃∙π=lɔ

新知识：塞级数的一般形式及相关概念，一些简单的事级数的收敛半径，收敛区

__________间及在收敛区间上和函数的求法。____________________________________

1.记忆幕级数的一般形式，梳理求幕级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间

上和函数的方法。45,

2.完成习题册作业7.1.2。____________________________________________

7.2.1周期为2τr的函数展开为傅里叶级数

教学目标：

(1)了解傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件;

(2)学会将周期为2兀的函数展开为傅里叶级数。

教学重点：

将周期为2兀的函数展开为傅里叶级数。

教学难点：

傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件。

授课时数：2课时.

教学过程

______________________a⅛_____________备_注________

新知识

设〃力是一个以2π为周期的函数，且能展开成级数，即

/(x)=—+(⅞cos∕ιr+⅛nsinnx).

2n=∣

叫做函数/(x)的傅立叶级数，其中

«0=-f(x)dx，

πj-n

%「/(x)CoSnJvdx(〃=1,2,3,),(7.1)教师

讲授

⅛=ɪ[/(x)sin∕ιxdx(W=I,2,3,).

πj^π

系数“也叫做函数/(Λ)的傅立叶系数.

设是以2π为周期的函数，如果函数/(x)在一个周期内连续或至多只有有

限个第一类间断点I并且至多只有有限个极值点，可以证明函数的傅立叶级数

收敛，并且

⑴当X是/(*)的连续点时，级数收敛于〃X)；

(2)当X是/(x)的间断点时,，级数收敛于;1f(x+0)+f(x-0)].

实际问题中我们所遇到的周期函数，一般都能满足上述定理的条件，因而都能

10,

展开为傅立叶级数.___________________________________________________________

知识巩固

例1设/(x)是以2兀为周期的函数，它在[r,π)上的表示式为

...,[O,-πWx<O,

∙∕(x)=1«

[x,O¾X<π.

将/(χ)展开为傅立叶级数.

解计算傅立叶系数:_____________________________________________________

π

_π

α°W∫>(x)dx[j:XdX=-—=­，

π2O2

cι=-∖/(x)cosλudx=-ɪ-[XCOSnXdX=Lx.1

n—sinnx+—cosnx教师

πj~n兀J°πnn

讲授

0,当〃为偶数,

=F-(Coswl)=<9

nπɪ,当〃为奇数,

nπ

h,ɪɪfπf(x)sinnxdx=-["ɪsin/irdr=ɪX

l——cosnx+FSinMY

πJ-"πJoπn

1π、(T严

=—(z——cosnπ)=(n=1,2,3.).

πnn

因此得到"x)的傅立叶级数为

π2COSX+4-COS3Λ+4-COS5X++―?~

?cos(2n-l)x++

4兀I3252(2〃-1)2

IsinX-ɪsin2x+-sin3x-+(-1严ɪsin/tr+

I23n

在函数的间断点处，它的收敛于

∣Γ∕((2A:-l)π-O)+f((2k-1)兀+O)]=g兀.

所以f(x)展开为傅立叶级数

2

/(X)=：cosX+—cos3Λ+-COS5X++---------COS(2〃-I)x++

3252(2"I)7?

sinx-ɪsin2x+』sin3x-+(-l),,+1—sinnx+

23n)

(—∞<x<-+∞,x≠(2⅛-l)π,⅛∈Z)

和函数的图像如图7-1所示.

说明：为简单起见，本章后面讨论周期函数/(x)展开为傅立叶级数，不再讨论

间断点处的收敛情况.

例2设“力是以2π为周期的函数，它在卜兀,兀)上的表示式为

f(x)=X(-π≤X<π),

将/(x)展开为傅立叶级数.

解因为，

%=与/(x)dr=Lrxdx=O

TlJfTIJF

π

cιn=-∖/(x)cosTtrdr=ɪΓXCOSmXir=O(〃=1,2,3,),

πJrπJ-π

h=I[π/(ɪ)sin∕7Λdr=—「xsinnxdx=—X

n—cosnxH——s∖nnx在教

πjoπj-ππnn~

师引

22领下

—cosA≡=(-l),,+1-(〃=1,2,3,).

nn完成

所以f(x)的］除立叶级数为

(.1.ʌ1∙Q(-DN+,.1

sinX——sin2x+-sin3x-+---------SIntυc+

/(X)=2〃

I23J35,

(-∞<X<+∞,J(≠(2k-V)π,keZ).

新知识

如果/(x)是周期为2兀的奇函数,那么它的傅立叶系数中

a0=O,=O("=1,2,3,),

2.兀

b=-∖/(x)sin∕trdr,(n=l,2,3,).

n兀JO

于是F(X)的展开为傅立叶级数

/(X)=£或Sinn%

n=l教师

傅立叶展开式中只有正弦项,这样的级数叫做正弦级数.讲授

如果"X)是T=2π的偶函数,那么它的傅立叶系数中

6“=0，(/2=1,2,3,)

22rπ

a

4=—f(x)dx，n=~∖/Wcoszirdx,5=1,2,3,),

πJo兀JO

于是/(X)的展开为傅立叶级数

/W=∙y+∑¾∞s∕u

2∕ι=ι

傅立叶展开式中只有余弦项,这样的级数叫做余弦级数.45,

首先判断函数的奇偶性，有时候会给函数的傅立叶级数展开带来便利.

知识巩固

例3设〃x)是以2π为周期的函数，它在［τr,π)上的兄m示式为

(—X,—π≤X<0,

/W=iX

［x,OWX<π,

将f(x)展开为傅立叶级数.

解因为周期函数/(X)为偶函数，所以它的傅立叶级3眼是余弦级数

⅛-∣∫J∕ω^=∣∫,>^=π>

在教

2nU2「x.1-IJt师引

a=-∖fXcosnxox=—-sιnnx+-COS∕∕Λ

tjo2领下

π兀n-0

完成

20,当〃为偶数

=^-(CoS〃兀一1)=44,,—5=1,2,3,)

nπ一——,当〃为奇数

.nπ

⅛w=0,5=1,2,3,).

所以〃力的傅立叶级数为

TJ4Γ1IA

f(x)=-------COSX÷-COS3x++-----------7COS(2"—I)X+(→0<X<+00).

武2

23(2”1)2J55,

练习7.2.1

1.设/(X)是周期为2π的函数，它在[-π,π)上的表示式为

[O-π≤X<0,

[A,OWX<兀，

其中A为不等于零的常数，将"x)展开为傅立叶级数.

2.设/U)是周期为2兀的函数，它在[-兀,兀)上的表示式为学生

课上

[π+x,一πW%<0,

F(X)=I«完成

[π-x,O¾X<π,

将/(x)展开为傅立叶级数.

85'

新知识：傅里叶级数的概念，将函数展开成傅里叶级数的条件，周期为2兀的

函数展开为傅里叶级数。_______________________________________________________

福

1.熟记傅里叶系数公式，总结周期为2π的函数展开为傅里叶级数的步骤。90,

2.完成习题册作业721。__________________________________________________

7.2.2周期为21的函数展开成傅里叶级数

教学目标：

学会将周期为2/的函数展开为傅里叶级数。

教学重点：

将周期为2/的函数展开为傅里叶级数。

教学难点：

周期为2/的函数变换为周期为2π的函数过程的理解。

授课时数：1课时.

教学过程

___________________m___________备_注_______

探究

设函数〃力的周期为2/,令f=]x,则当X在区间[/,-/]上取值时，f就在

[-兀,兀]上取值.设

f{x)=f(Lt)=φ(t),

π

则9⑺是以2π为周期的函数.将φ3展开为傅立叶级数

教师

^?(/)=—+V(¾cosnt+hllsinnt),

2∕1=1讲授

其中a(}-~~∖。⑺d/;

πJ-K

1rπ

¾=—φ(t)cosntdt(n=l,2,3,)；

TrJf

π

bll=—[φ(t)sinntdt5=1,2,3,).

πjπ

在以上各式中，把变量f换回X并注意到/(x)=<Kt),可以得到以周期为2/的函

5,

数/(x)的傅立叶级数展开式.

新知识

周期为2/的函数/(x)的傅立叶级数展开式.

mix.nπx

∕ω=⅞÷∑(¾∞s-+b1”sin-j-)x'

M=II

其中∕=>fj(χ)dx,

1Jc(、nπx

«„=yj∕U)∞s-y-dr5=1,2,3,),(7.2)教师

讲授

⅛=7C/(X)Sindx,(n=1,2,3,)

IJTI

类似地，如果/(X)是奇函数，则它的傅立叶级数是正弦级数，即

白..nπx

∕ω=IASIn-F

Λ=lI

其中=2J"(X)SinvHdr(〃=1,2,3,).

如果〃x)是偶函数，则它的傅立叶级数是余弦级数，即

nπx

tr、4/

/(χ)=~+^flnCOS-,

Ln=l/

其中¾=γ∫θ/(ɪ)ðɪ，an=γ∫θ∕(x)cosʃdx(∕z=l,2,3,).

10，

知识巩固

例4设f(x)是周期为4的函数，它在[-2,2)上的表示式为

fO-2≤x<0,

/W=h，0≤x<2,

其中A为不等于零的常数，将〃x)展开为傅立叶级数.

解计算傅立叶系数.

%==AdX=A，

在教

an=^2f^cos^γdx=-If2nπx师引

2-Acos——-dx

2jo2领下

1(〃=1,2,3,),

A.HTUC完成

———Sin----=-O

nπ2O

〃，=；£/(X)Sinmdx=:∣∙2.AlTLV

-Asin-----⅛C

>j°2

AnπxA、

二-----cos-----=—(z1ι-cos〃兀)

nπ2-nπ

A—,当〃为奇数，,、

-[l-(-l)n]=nπ("=1,2,3,)

nπ

0,当〃为偶数.

所以/(X)的傅立叶级数为

..A2A(.π1.3π1.5π,

/(X)x——I-----sin—X—sin—xH—sin—x+(-∞<x<+∞,x≠2k,keZ).

2π(23252J20'

练习722

1.设/(X)是周期为2的函数，它在［-1,1)上的表示式为学生

fl,-l≤x<O,课上

∕ω=LX1

［0,OWX<1,完成

将/(x)展开为傅立叶级数

,

2.将周期为4的函数/(x)=x,［-2,2)展开为傅立叶级数.42

小结

新知识：周期为2/的函数展开为傅里叶级数。

作业

完成习题册作业722。45'

7.2.3周期延拓

教学目标：

掌握周期延拓的方法，学会将非周期函数展开成傅立叶级数。

教学重点：

非周期函数展开成傅立叶级数。

教学难点：

周期延拓概念的理解。

授课时数：1课时.

教学过程

___________________a≡___________备_注_______

新知识

我们已经讨论了将周期函数展开为傅立叶级数的问题.而实际问题中会遇到大

量的非周期函数，有时需要把它们展开成傅立叶级数.下面讨论如何把定义在［/,-/］

或［0,/］上的函数展开为傅立叶级数.

一般地，若将［0,/］上的函数/(x)展开为正弦级数，则把/(x)延拓为［/,-/］上的

奇函数E(X),叫做奇延拓，即

ro≤x≤z,教师

F(X)=<

—f(―x)-l