高中数学新教材选择性必修3试题及答案

高中新教材选择性必修3试题及答案

1.某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教,若每所学校至少安排1

名教师,且每名教师只能去1所学校,则不同的安排方案有（）

A.6种B.24种

C.36种D.72种

2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点

的概率是（）

3.在一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于

或等于120分为优秀，120分以下为非优秀,统计成绩后,得到如下2X2列联表：

优秀非优秀合计

甲班105060

乙班203050

合计3080110

附XJ______n(αd-c)2______

:,其中n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

Q0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

根据独立性检验,可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

4.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不

能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为（）

A.48B.72C.90D.96

5.有8名学生,其中有5名男生,从中选出4名代表,记选出的代表中男生人数为X,

则E（X）=（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

6.如图,将一个四棱锥的每一个面都染上一种颜色,使每两个具有公共棱的面染成

不同颜色,如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）

A.36B.48C.72D.108

7.已知随机变量X~N（1,。）且P（XWO）=P（X2a）,则（l+axT∙（/+I7的展开式

中X」的系数为（）

A.680B.640C.180D.40

8.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”

其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为

弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每

艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻

安排的概率为（）

k.-B.二C.-D.-

IO606060

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，

有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0

分）

9.设离散型随机变量X的分布列如下表,若离散型随机变量Y满足Y=2X-1,则下列

结果正确的是()

XO1234

葭q0.4Q.10.20.2

A.q=0.2B.E(X)=2,D(X)=L8

C.E(X)=2,D(X)=1.4D.E(Y)=3,D(Y)=7.2

10.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子，

则不同放法的种数为()

A.C∣C^CfC∣B.CiAlC.CK躬D.18

IL对于e+%5)"(nWN*),下列判断正确的是()

A.对任意n∈N*,展开式中有常数项

B.存在neN*,展开式中有常数项

C.对任意neN∖展开式中不含X项

D.存在n∈N*,展开式中含X项

12.给出下列命题,其中正确的命题是()

A.设具有相关关系的两个变量X,y的样本相关系数为r,贝IrI越接近0,x,y之间

的线性相关程度越强

B.随机变量X~N(3,2)若X=2Y+3,则D(Y)=I

C.随机变量X服从两点分布,若P(X=O)弓,则D(X)4

D.某人在10次射击中击中目标的次数为X,若X^B(10,0.8),则当X=8时概率最大

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.

每局比赛甲队获胜的概率是“没有平局.假设各局比赛结果相互独立,则甲队以

3：2获胜的概率是.

14.有8件产品,其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取到

次品的次数,则P（X≤2）=.

15.设某批产品中，编号为1,2,3的三家工厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各

厂产品的次品率分别为2%,3版5%.现从中任取一件,则取到的是次品的概率

为.

16.已知（2-χ2）（l+axT的展开式的各项系数之和为27,则实数a=,展开式中

含六项的系数是.（本小题第一空2分,第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（本小题满分10分）盒子内有3个不同的黑球,5个不同的白球.

（1）将它们全部取出排成一列,3个黑球两两不相邻的排法有多少种？

（2）若取到一个白球记2分,取到一个黑球记1分,从中任取5个球,使总分不少于

7分的取法有多少种？

18.（本小题满分12分）在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄

球.现从中任取2个球,设随机变量X为取得红球的个数.

(1)求X的分布列；

(2)求X的数学期望E(X)和方差D(X).

19.(本小题满分12分)甲、乙两位同学参加诗词大赛,各答3道题,每人答对每

道题的概率均为工且各人是否答对每道题互不影响.

4

(1)用X表示甲同学答对题目的道数,求随机变量X的分布列和数学期望；

⑵设“甲比乙答对的题目数恰好多2”为事件A,求事件A发生的概率.

20.（本小题满分12分）近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落

实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,并取得

了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地，已知

土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：

土地使用面积X（单位:亩）12345

管理时间y（单位:月）810132524

并调查了某村300位村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:

单位:人

愿意参与管理不愿意参与管理合计

男性村民15050

女性村民50

合计

（1）求出样本相关系数r的大小,并判断管理时间y与土地使用面积X是否线性相

关（当IrI>0.75时，即可认为线性相关）;

（2）依据ɑ=0.001的独立性检验,分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；

（3）以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫困县的情况,从该贫困县

中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X,求X的分布列及数学

期望.

参考公式:

n

∑(χ-χ)(y-y)

.1=1ii

2

I∑(Xi-X)J.∑(yi-y)

N1=1N1=1

2_n(ad-bc)2

其中n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(匕+d)'

临界值表:

α0.10.050.010.0050.001

Xu2.7063.8416.6357.87910.828

参考数据:√诙七25.2.

2L(本题满分12分)近年来,政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时,鼓励农户

建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成

本的影响，甲，乙两名同学一起收集了6家农户的数据,进行回归分析,得到两个回

归模型:模型①:∕D=T∙65x+28.57,模型②：y⑵曲生+13.50,对以上两个回归

方程进行残差分析,得到下表：

种植面积X(亩)234579

每亩种植管

252421221614

理成本y(百元)

模型估计值y⑴25.2723.6221.9717.0213.72

①-(1)

残差Ci-0.270.38-0.97-1.020.28

模型估计值y⑵26.8420.1718.8317.3116.46

②丁(2厂

残差ej-1.840.833.17-1.31-2.46

注:表中i=2,3,4,5,7,9.

(1)将以上表格补充完整,并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；

(2)视残差劣的绝对值超过L5的数据为异常数据,针对(D中拟合效果较好的模型,

剔除异常数据后,重新求其经验回归方程.

,'.Σ(X-X)(yry)■_

参考公式：h=i≡1n-i----------,a=y-bx.

2

,Σ(xi-x)

22.（本小题满分12分）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随

机抽查了高一年级IOO位学生的某次数学成绩（单位:分），得到如下所示的频率分

布直方图：

（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值元（同一组中的数据用该组区间的中点

值代表）

（2）根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布

N（μ,σ）经计算，（1）中样本的标准差S的近似值为10.用样本平均数M作为μ

的近似值,用样本标准差S作为。的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩

恰在64分到94分之间的概率；

（若随机变量X~N（i∙i,。%贝!]P（μ-oWX≤u+o）=0∙6827,P（μ-

2。≤X≤μ+2σ）=⅛0.9545,P（II-3。≤X≤μ+3。）≈⅛0.9973）

（3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业

质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提

交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中“玩游戏,得奖励积分”的活动,

开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方

格,共15格,刚开始有只小兔子在第1格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿

着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为I,依次点击游戏的开始按钮,直到小

兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时,游戏结束,每天的积分自动

累加，设小兔子跳到第n(lWnW14)格的概率为Pn,试证明｛P“「PJ是等比数列，并

求九(获胜的概率)的值.

答案全解全析

全书综合测评

一、单项选择题

1.C由题意,先从4名骨干教师中任取2名，共有鬣种取法,

所以不同的安排方案有第Ag=36种.故选C.

2.A设“至少有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点数不同”为事件B,

则n(B)=5X6=30,n(AB)=10,

∙∙RA⑻喏4H∙

故选A.

3.D由题表中的数据可得：

2

X^IIOX(IO×3O^O×5O)^l49因为7.49>6.635=x0.ιn,所以可以认为数学考试成绩

60×50×30×80

与班级有关系的把握为99%.故选D.

4.D因为甲不参加生物竞赛,所以安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.

①当甲参加另外3场竞赛时,共有心A台72种选择方案;②当甲不参加任何竞赛时,

共有A广24种选择方案.综上所述,所有参赛方案有72+24=96种.

∩k(-14-k

5.BX的可能取值为l,2,3,4,且P(X=k)=笔一(k=l,2,3,4),

L8

所以X的分布列为

X1234

1331

P

147714

所以E(X)=I>⅛+2X,+3X和'HRS

6.C当面SAB与面SDC同色时,面ABCD有4种染色方法,面SDC有3种染色方法,

面SAD有2种染色方法,面SAB有1种染色方法,面SBC有2种染色方法，即

4X3X2X1X2=48种；

当面SAB与面SDC不同色时,面ABCD有4种染色方法,面SDC有3种染色方法,面

SAD有2种染色方法,面SAB有1种染色方法,面SBC有1种染色方法，即

4X3X2X1X1=24种.

故不同的染色方法总数为48+24=72.

7.A因为随机变量X~N(1,。2),P(XWO)=P(X2a),

所以a=2,所以该式为(l+2x)3・8+9：

其展开式中含X'的项为

233

釐(一)3(∣)2.co+c3(χ2)Q.C3(2x)=40X'+640X'=680X∖即x'的系数为680.

故选A.

8.B由题意知所有不同的安排种数为A3=72O∙

“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：

①“数”排在第一节，“礼”和“乐”相邻安排,则“礼”“乐”相邻的位置有4

个,考虑两者的顺序,有2种情况,剩下的3艺全排列,安排在其他三个位置,有

A∣=6种情况,故共有4X2X6=48种情况；

②“数”排在第二节，“礼”和“乐”相邻安排,贝Ij“礼”“乐”相邻的位置有3

个,考虑两者的顺序,有2种情况,乘U下的3艺全排列,安排在其他三个位置,有

Al=6种情况,故共有3X2X6=36种情况.

由分类加法计数原理知,满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安

排的情况共有48+36=84种，

所以所求概率P⅛⅛.

72060

故选B.

二、多项选择题

9.BD由分布列的性质可得q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,解得q=0.1,

E(X)=OXO.1+1X0.4+2X0.1+3X0.2+4X0.2=2,

D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2XO.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,

E(Y)=2E(X)-1=2×2-1=3,

D(Y)=2?XD(X)=4XL8=7.2.

故选BD.

10.BC解法一:分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组,有第种分组方法；

②将分好的3组全排歹U,对应放到3个盒子中,有的种放法，

则不同放法的种数为鬃Ag.

解法二:分2步进行分析：

①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的

盒子中,有禺自种放法；

②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个盒子中,有Ag种放法，

则不同放法的种数为CK孙会

故选BC.

11.BD(专+%5)”的展开式的通项为的・(⅛)n^r∙(xs)⅛∙x7r-

2n(0≤r≤n,r∈N),

令7r-2n=0,得r=y,即当n是7的整数倍时,有常数项，故A错误,B正确；

令7r-2n=l,取r=l,n=3时,此时展开式中含X项,故C错误,D正确.

故选BD.

12.BD对于A,∣r∣越接近O,x,y之间的线性相关程度越弱，故A不正确；

对于B随机变量X~N(3,22),则E(X)=3,D(X)=4,若X=2Y+3,则D(X)=22D(Y)=4,所

以D(Y)=I,故B正确；

对于C,随机变量X服从两点分布,其中P(X=O)=∣,ΛP(X=I)=|,

E(X)=O×∣+1×∣=∣,

D(x)=(o-∣)2×∣+(ι-∣)2×m,故C不正确；

对于D,因为在10次射击中,击中目标的次数为X,X^B(10,0,8),所以当X=k时,对

ck10-k

应的概率P(X=k)=c5o×0.8×0.2,当k21

P(X=k)_C舐0.8眩。2"k4(11-0尽P(X=R)_4(11-k)

时,1k-110k1<21,得44-4k2k,即

P(X=∕c-1)-C⅞o×O.8×0.2^+k'P(X=Zc-I)k

l≤k≤γ,因为k∈N*,所以l≤k≤8且k∈N*,即当k=8时,概率P(X=k)最大,故D

正确.

故选BD.

三、填空题

13.答案ɪɪ

解析根据题意,若甲队以3：2获胜,则第五局甲胜,前四局是2：2,

所以所求概率P-C4×G)XQ)XIz塔.

14.答案I

O

解析因为是有放回地取产品,所以每次取到次品的概率为去从中取3次,X为取

到次品的次数,则X~B(3,0,

15.答案0.0295

解析设A表示“取到的是一件次品”，Bi表示“取到的产品是由第i(i=l,2,3)

家工厂生产的"，则P(B1)=O.45,P(B2)=O.35,P(B3)=O.2,

P(AIB1)=0.02,P(AIB2)=0.03,P(A∣B3)=0.05.由全概率公式可得

P(A)=P(AIB,)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)

=0.02X0.45+0.03X0.35+0.05×0.2

=0.0295.

16.答案2;23

解析已知(2-χ2)(l+ax)3的展开式的各项系数之和为27,令x=l,则(l+a),=27,解

得a=2,故该式为(2-xD(1+2X)3,其展开式中含(项的是2X玛X(2x)2+(-

X2)×C≡=23X2.故展开式中含χ2项的系数为23.

四、解答题

17.解析(1)首先将5个白球进行排列,然后3个黑球进行插空,则3个黑球两两

不相邻的排法有AWA沪5X4X3X2X1X6X5X4=14400种.(5分)

(2)从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有4类:5个白球、4个白球1个黑

球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球,故共有熊+CK>C犯尹熊熊=56

种.(10分)

18.解析(I)X的可能取值为0,1,2.(1分)

P(X=O)=警P(X=I)-警q

P(X=2)=等=。，(5分)

L<eIU

则X的分布列为

XO12

133

P

10510

(8分)

(2)由⑴中分布列可得E(X)=O×⅛÷1×∣÷2×⅛⅛(10分)

d(x)=(°-S2×⅛+(1-∣)2×l+(2-92×⅞⅛∙(12分)

19.解析(I)X的可能取值为0,1,2,3.

pgF(Te)'磊

P(X=3)《沪g∙(4分)

.∙.X的分布列为

XO123

P192727

64646464

,数学期望E(X)=OX工+1X-+2×-+3×(6分)

646464644

(2)由题意得,事件A包含“甲答对2道，乙答对0道”和“甲答对3道，乙答对1

道”两种情况,

∙∙∙P(A)琮蒜《2分)

1+2+3+4+5C8+10+13+25+24

20.解析(1)由题知,元二-------------=3二16,

5y=-5

5

故Σ(xi-χ)(yi-y)=(-2)X(-8)+(-1)X(-6)+0×(-3)+1×9+2X8=47,

1=1

5Σ2

=

(xrx)=4+1+0+1+4=10,

5

∑

(%-歹)2=64+36+9+81+64=254,

i=l

5

,,.∑(χ-χ)

ri(yi-y)4747

贝!∣Lr-E_r_f√iδ×√254=^≈0.933>0.75,

2亳仇一歹)

.∑1(Xi-X)

故管理时间y与土地使用面积X线性相关.（4分）

（2）依题意,完善表格如下：

单位:人

愿意参不愿意参

合计

与管理与管理

男性村民15050200

女性村民5050100

合计200100300

零假设为H。:村民的性别与参与管理的意愿无关.计算可得

2

300X(150X50-50X50)

XZ-=18.75>10.828=Xo.ooι∙

200×100×200×100

依据ɑ=0.OOl的独立性检验,推断H。不成立,即认为村民的性别与参与管理的意

愿有关.（8分）

⑶解法一:依题意,X的可能取值为0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一位村民,取

到不愿意参与管理的男性村民的概率为;,

6

P(X=I)=Cjxix(I)⅛

P(X=2)<∣×Q)2×⅛

故X的分布列为

X0123

P1252551

2167272M6

则数学期望E(X)=OX经+IX交+2X3+3X--=±(12分)

21672722162

解法二:依题意,从该贫困县中随机抽取一位村民,取到不愿意参与管理的男性村

民的概率为则X~B（3,ɪ）,故E（X）=3X汽.（12分）

21.解析（1）当x=3时,y⑵上誓+13.50=22,39,或）=24-22.39=1.61,

当x=5时，y⑴=T.65×5+28.57=20.32,=22-20.32=1.68,

完成表格如下：

种植面积X（亩）234579

每亩种植管

252421221614

理成本y（百元）

估计值

模型25.2723.6221.9720.3217.0213.72

y⑴

①

-(1)

残差e,-0