数列-2023年高考数学考试（解析版）（全国通用）

易错点07数列

易错分析

易错点1:已知数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系式求an时应注意分类讨论的应用，

特别是在利用an=Sn-Sn-ι进行转化时，要注意分n=l和n≥2两种情况进行讨论，学生

特别是容易忽视要检验n=1是否也适合an.

易错点2已知数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，

特别是在利用an=Sn-S∏-ι进行转化时，要注意分n=1和n≥2两种情况进行讨论，学生

特别是容易忽视要检验n=1是否也适合an.

易错点3:用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项

易错点4:利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幕指

数会发生变化，为避免出错，应将相同鬲指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另

外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n-1项是一个

等比数列.

易错点5:含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.

易错点6:数列中的最值错误。

数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理

解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n

取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整

数距离二次函数的对称轴远近而定。

错题纠正

1.已知等比数列｛4｝的公比4=-〈，则幺詈等于()

A.—B.—C.3D.—3

33

【答案】D

【详解】解：因为等比数列｛4｝的公比＜7=-g,

所以山=上"=■L=一3.

a2+a4axq+a7tqq

故选：D

2.已知等差数列｛4｝的前〃项和为若SK)=Il0,SUO=Io,则S.=()

A.-10B.-20C.-120D.-110

【答案】C

0O

【详解】SULSK)=%+阳++-Jsr'。)=-1。0,

则

an+atw=-2,S120=12。(4+%。)=―丹+知。)=_120

故选：C

3.已知等比数列｛4｝的前〃项和为5,,=3"+"(∕zeN*),则实数。的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】C

【详解】等比数列但“｝的前”项和为S,,=3"+”("∈N"),

当〃=1时，，可得3∣+α=q=S∣,可得4=3+4,

nl

当“≥2时，S吁,=3"-'+”,则all=S“-SM=3"+。一(3"T+a)=2-3^

所以4=2∙32τ=6,∕=2∙33^I=18

因为｛〃“｝为等比数列，

所以《2=4%，即6x6=18(3+α)

解得α=T,经检验符合题意.

故选：C.

4.(多选)已知5.为数列｛《,｝的前〃项之和，且满足4S“=q：+2a“，则下列说法正确的是

()

A.｛〃“｝为等差数列B.若｛““｝为等差数列，则公差为2

C.｛/｝可能为等比数列D∙S,的最小值为0,最大值为20

【答案】BCD

2

［详解］当“=1时，4S］=αj+2tzl=4α∣,解得q=0或4=2,当〃≥2时，4S,,,l=a,,-∣+2⅛,l,

2

也=4S,,-4S“T=a：+2an-an_,-2a„_,,

整理得2(α,,+¾.l)=(α,,+¾,l)(¾-,当%+a,-=0时，若OI=O,可得α,,=。，若4=2,

可得数列SJ为等比数列，¾=2∙(-l),'^';当%+%≠0时，可得4-α,ι=2,数列｛““｝为

等差数列，

若4=0,可得q=2鼠-2,若4=2,可得q=2”：故A错误；B正确；C正确；当凡=0

=

时,S4θ；

当”,,=2∙(-1)"'时，S=2+(-2)+2+(-2)=0;当4=2〃-2时，S,=甘x4=12：当见=2〃

时，54=^-×4=20:故D正确.

故选：BCD.

5.(多选)已知两个等差数列｛4｝和｛a｝,其公差分别为4和4,其前，项和分别为S,,和7；,

则下列说法正确的是()

A.若｛底｝为等差数列，贝∣J4=2qB.若｛S,,+G为等差数列，则4+4=0

C.若｛α也,｝为等差数列，则4=W=0D.若b“wW,则｛%｝也为等差数列，且公差

为4W

【答案】ABD

【详解】对于A,因为｛四｝为等差数列，所以2厄=脚+何，

即2λ∕a1+a2=M+yJay+a2+a3,所以242%+4=y∣a^+J3q+3d∣,

化简得(4-2αj2=0,所以4=2q,故A正确；

对于B,因为｛*+7；｝为等差数列，所以2(S2+1)=S∣+1+S3+q,

所以2(2α∣+4+2⅛l+J2)=a1+bl+301+3d∣+3b∣+34,

所以4+4=0,故B正确；

对于C,因为｛4»"｝为等差数列，所以2%H=44+ΛA,

所以2(al+4)(bl+d2)=OIbT+(4+2d,)(bl+2d2),

化简得44=()，所以4=0或4=0,故C不正确；

对于D,因为%=4+("-1)4,且"eN",所以％=al+(bπ-1)J1=4+[〃T]4,

所以％,=4+3-1)4+(〃-I)44,

所以α如一α4=θ1+(4—1)4+M<⅛-α1-(b∣-1)4-(7-1)44=44，

所以｛%J也为等差数列，且公差为44,故D正确.

故选：ABD

举一反三/

1.设｛%｝是公差不为。的无穷等差数列，贝犷｛4｝为递增数列”是“存在正整数M,当n>N°

时，％>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d，则dHθ,记[可为不超过X的最大整数.

若｛%｝为单调递增数列，则d>0,

若4≥0,则当〃22时，a,,>al≥0;若α1<0,则a,,=q,

由4=4+(,L1”>O可得取M=ɪ-j+L则当〃>N。时，%>°，

所以，“｛%｝是递增数列”="存在正整数时,当">N0时，q>0”；

若存在正整数No,当〃>N()时，⅛>Ot取k∈N♦且％>N0,¾>0,

彳段设d<0,令4=4+(〃一女)dvθ可得九>%—勺，且%-

aa

当”>kq+1时，aπ<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛%,｝是递增数列.

所以，"｛“〃｝是递增数列”U“存在正整数M,当“>乂时，％>0”.

所以，“｛%｝是递增数列''是"存在正整数M,当〃>/时，/>0”的充分必要条件.

故选：C.

2.已知等比数列｛4｝的前3项和为168,a2-a5=42f则4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【详解】解：设等比数列｛q｝的公比为夕国工。，

若4=1,则与题意矛盾，

所以#1,

4(1-0(a,=96

则“I+%+%="q=168,解得g

4

[a2-a5=atq-atq=42I2

所以％=q4=3.

故选：D.

3.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的

人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛〃,｝：4=1+；，

a∖

«,+—L,…，依此类推，其中%€也=).则()

,TN*1,2,

a1+ɪ

a、

%H----

%

A.bl<b5B.b3<bsC.bβ<b2D.b4<b1

【答案】D

【详解】解：因为％∈N*(∙=1,2,),

1、1

1

所以α∣<％+一，—+-I，得到4>H,

%,

a2

11

同理I44+，，可得用<么，々

2%

1111

—>----------j—，a∖÷--------「<a∖+------j—

又因为％a2+-------j-σ2+--α2÷--------J-,

%+一ɜ%+一

%%

故4<。4，&>"；

以此类推，可得么>伪>…，b7>bii,故A错误；

⅛1>b1>⅛8,故B错误；

11

屋›1

2

%+r,得与<4,故C错误；

a3+…一

%

11

/+----------ɪ—>四+---------j—

¾+-------p%+…-------ɪ-,得仇<2，故D正确.

。3----CtgH-----

%aI

故选：D.

4.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,8*,CC',QD是桁，相邻桁的水平距离称为步，

垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。R,CG,B4,AA是举，

。2，。。「。弟3是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

照=05的=K,的=&,普=%.已知匕也义成公差为0」的等差数列，且直线QA的

UDTL√C∣CD∣D∕1I

斜率为0.725,则自=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

设则

【详解】OD∖=DCI=CBI=BAi=1,CCI=ki,BBI=k2,AA1=k3,

依题意,有『3"”且患患需S

0.5+3&—0.3

所以=0.725,故&=。.9,

4

故选：D

5.已知数列｛q,｝满足4=l,α,,+∣=%一卜:("en,)，则(

)

57

A.2<100⅛<∣KO(Ko<4

B.-<100⅛<3C.3<IOOq00D.

【答案】B

9

【详解】4=1,易得为=]∈(0,l),依次类推可得为£(。,1)

.ɪ31

由题意,1-铲〃,即---=-TZ--;=—+---,

«„+i4,(3-αJa,l3-an

1111

---=-------->—，

an3-%---3

¾+ι

111I1111111.i

即----->彳，-------->;，--->彳，------->-,(∕ι≥2),

a2q3a3a23a4a33*3

ɪ(«-l),即，>；1(〃+2),(〃N2),

累加可得--1>

anɔa∣ιJ3

,H≥2),即q00<盘,10Oqoo<^^<3,

"/1+2

111/1If1

1,(〃22)

又4田an3-4“3-331〃+1

n+2

累加可得<^(,2-1)÷-∣∙^÷^÷÷^∖(H≥3),

an33123nJ

：.---1<33+，?+，++ɪ∣<33+-i-∣-^×4+-^×94∣<39,

4003(2399J3U6J

即;<40,・・・.>：，即IOOqOo>:；

uIOO4UZ

综上：；<IOOq00<3.

故选：B.

易错题通关

一、单选题

1.设数列也)满足“用=詈^且4=：,则¾>22=()

A.—2B.—C.ɪD.3

32

【答案】D

ɪ

1+4+χ71+%1+3C

【详解】由题意可得：。2=丁'=T^=3,〃3=1-I=K=-2，

l-alI-a21-3

^2

,ɪ

1+%1+(-2)1I+431

1-qT-2)31-4ι+l2

3

据此可得数列｛4｝是周期为4的周期数列，

则¾022=¾05×4÷2=%=3.

故选：D

2.已知数列｛4｝满足α,,q+∣q+2=T("wN*),α∣=-3,若｛%｝的前〃项积的最大值为3,

则生的取值范围为()

A.[-1,0)k√(0,l]B.[―ɪ,O)C.(θ,1]D.(-8,-l)5L÷0°)

【答案】A

【详解】数列｛%｝中，"∈N*,⅛∙¾+ι∙⅛+2=-l.则有44+「4+2=”“+/4+2.4+3=-1，

因此，V〃∈N°,⅛+3=alt,

因数列｛〃“｝的前〃项积的最大值为3,则当〃=6Z,Z∈N",｛〃“｝的前/2项积44∕=1≤3,

当〃=6Z+l,k∈N",｛〃〃｝的前〃项积4=4=-3≤3,

当n=6⅛+2,⅛∈N*,｛%｝的前几项积〃〃=《〃2=-3%≤3,解得为之一1，

当〃=6攵+3,Z∈N",｛。〃｝的前及项积an=q%〃3=T≤3,

当"=6Z+4,ZEN*,｛4〃｝的前〃项积an=aλa2a3a4=-ai=3≤3,

当"=6k+5,%eN*,｛q｝的前〃项积4∣生an=ata2aia4a5=-ata2=3α2≤3,解得a2≤∖,

显然4产。，综上得-l≤∕<0或0<∕≤l,

所以。2的取值范围为［T，（））。（0,1】.

故选：A

2I

3.设数列｛%｝的前〃项和为Szj,满足2S"=%^（∕7∈N*）,则下列说法正确的是（）

an

aa

ʌ-2O2∖,2022<1B.々2021,。2022〉ɪ

C.¾)20V-2,2022D.6Z2022>2,2022

【答案】A

【详解】因为数列&｝的前几项和为S〃，满足2S〃=或土^"∈N*),

an'

所以当〃=1时，2S∣=S("∈M),解得4=1或％=T,

q

当“≥2时，2Sn=^-=an+-=(Sn-5,,-1)+—^―,整理得Sj-SjJ=I,

¾S“-S*|

所以数列｛s,,2｝是以1为公差的等差数列，

当α∣=±l时，SJ=I+("-I)=",所以SZT=石i或SZI=-V^

所以=S“-S,-=GZn-1,首项4=1满足此式，或％=S,,-S“_|=-«+>二!首项

4=7满足此式，

所以%>22=.2022-J2021或叼3=而万一^2022,

所以CD错误，

la

"jan=G7〃-1时,¾2∣'2022=(J2O21-j2O2θ)(j2O22-j2O21)

—1X_______1______ɪ,

-√2021+√2020√2022+√2021，

当an=—五+4=T时，⅛l∙⅛2=(√2020-√2δ2T)(√2δ2l-√2022)

11,

-√2021+√2020√2022+√2021

所以A正确，B错误，

故选：A

4.已知数列｛%｝满足：%=1024,点(〃4)在函数y="Q［(αeR)的图象上，记E,为｛“"｝

的前〃项和，则S"-S>=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

［详解］山题得q=1024=；°,解得a=2”,故α,,=2>",所以S”—S”=40+%=2∣+20=3

故选:A.

5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载埴发明的，明万历十二年(公元1584年)，

他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入

H个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M,插

入11个数后这13个数之和为M则依此规则，下列说法错误的是()

A.插入的第8个数为孤B.插入的第5个数是插入的第1个数的正倍

C.M>3D.N<l

【答案】D

(详解］设该等比数列为血｝,公比为4则4=1,阳=2,故/=乎=2.

a∖

对于A：插入的第8个数为%=%x√i=/.故A正确；

对于B：插入的第5个数为4=qχq∖插入的第1个数为%=4χ<7,所以

"=%©=/=近故B正确;

a2CllXq

对于C：M=K二心==T__L_

i-qI-蚯i-2∣2

11l_∕zr∖>2

要证M>3,即证一1-------Γ>3,即证］一>4,即证3>2立，即证3>2,

1-2»2l2-1414)

而(：)>0>2成立，故C正确；

对于D：N=M+3.

∕∖>2AJ_IU1.

因为2A>(1.4)6>(1.9)3>2,所以2>2*所以］—>5,所以T1----匚>4,即M>4,

⑸52I2-11-212

所以N=Λ∕+3>7

故D错误.

故选：D

6.已知等差数列｛叫的前〃项和为S,,,且满足2疝(%+2)-3火-5=0,

2sin(a2018+2)-3⅛-7=0,则下列结论正确的是()

=

A.S?O22=20229R.%>〃2018B.^2022—2022,且％<^2oιs

C.S2θ22=7"°M>，且〃5>%018D.$2022=4044,且〃5<“2018

【答案】C

【详解】设函数I(%)=2SinA3%,则/(此为奇函数，jaΓ(x)=2cosx-3<0,所以/(功在

R上递减，由已知可得2sin(G+2)—3(氏+2)=—1,2sin(tz2018+2)—3(6/20|8+2)=1,fj^

/(o5+2)=-l,/(α20lg+2)=l,所以∕3+2)<f(α20i8+2),且∕Q+2)=-/(-8+2),

=-

所以出+2>。2018+2n"5>"2018，1L。5+2(¾0∣8+2)>所以为+“2018=>

S2022=2。22,+%寐)=1011(α5+⅛)=-4044.

故选：C.

二、多选题

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，等比数列｛»｝的前〃项和为则下列结论正确的

是()

A.数列1｝｝为等差数列B.对任意正整数〃，b；+⅛j+2≥2⅛+l

C.数列版2,+2-52“｝一定是等差数列D∙数列｛(,+2-(“｝一定是等比数列

【答案】ABC

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则S“="4+也二Dd,所以，&=。］+"』幺.

2n2

对于A选项，&L_2=4+网一q一如坦=4,所以，［&］为等差数列，A对；

对于B选项，对任意的〃eN*,⅛≠0,由等比中项的性质可得〃也,*2，

由基本不等式可得"+人工≥2必=2b'+l,B对；

a

对于C选项,令CJl=S2n+2—S2n=。2"+2+2n+∖>

所以，c,÷l-Cn=(a2n+4+a2l,^)-(a2n+2+¾,,+l)=4<∕,

故数列©,,+2-S?,,｝一定是等差数列，C对；

对于D选项，设等比数列｛4｝的公比为4,

当夕=T时，T,ιl+2-T2n=b2n+2+b2n+l=b2ll+l(4+1)=O,

此时，数列｛E-2-4,,｝不是等比数列，D错.

故选：ABC.

8.已知等比数列｛α,,｝的公比为4,且他（22=1，记｛4｝的前"项和为S,,,前〃项积为（，则

下列说法正确的是（）

A.当O<q<l时，｛S,,｝递减B.当q>0时，S4043≥4043

C.当4>1时，Tn≥T2012D.当-l<q<0时，Tιι≥T2022

【答案】BCD

【详解】对于A中，因为0<"l,a2022=↑,所以%>0,所以｛S,,｝递增，所以A错误.

对于B中，当4>°时，S4043=^SΓ+ʒ5^+L+—+1+q+L+<∕-°"+q~"'

q^Q'q

=(^^jr+q202'+~⅛<r+<?2020+L+[：+q[+]

W1∖cl√∖Q)

≥2,卜?.产'+2旧^•产，+L++1=4043>

当且仅当V=I时等号成立，所以B正确.

对于C中，当4>1时，｛4｝递增，因为%022=1，所以当"≤2021时，an<l.

当w>2022时，aπ>l,所以当”=2021或〃=2022时,4最小，

所以Z,N422,故C正确.

对于D中，当-l<q<0时•，｛4｝是摆动数列，偶数项为正，奇数项为负，｛∣∕∣｝递减，

因为⅛22=1,所以当〃=2021或"=2022时，圜最大，｛4｝的前2022项中有1011项