广西河池市八校2023-2024学年高二年级上册第二次联考数学（解析版）

2023年秋季学期高二年级八校第二次联考

数学试卷

注意事项：

1.本卷共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答

题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.抛物线》=丁的准线方程是（）

1111

A.x=——B.y=——C.x=——D.y=——

4422

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线方程求出°即可得到准线方程.

1

【详解】因为抛物线方程为V=x,所以2P=1?

P3'

所以抛物线的准线方程为x=-与=-!，

24

故选：A

2.已知空间向量&=（/〃—1,相2）,Z?=（1,1,3）,且。工匕，则m的值为（）

7710

A.——B.—C.6D.—

223

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.

_7

【详解】因为a,则加一1+7”一6=0,解得机=,.

故选：B.

3.已知双曲线必―22=1上一点尸到它的一个焦点的距离等于5,那么点尸到另一个焦点尸的距离等于

24

()

A.3B.3或7C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.

【详解】由题意可知，a=l,c=5,

则耳卜5卜2,

所以归耳|=3或归耳|=7,

又因为c—Q=5—1=4>3,

所以忸国=7,

故选：D.

4.两圆必+y?-2x-6y+9=0和X?+9+12》+6y-19=0的位置关系是()

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出两圆圆心和半径，两圆心的距离与4+々比较即可得出答案.

【详解】圆Y+V—2x—6y+9=0可化为：(x—+(y—3丫=1,

设圆心为。1(1,3)/=1,

圆/+/+12%+6丁—19=0可化为：(x+6『+(y+3)2=64,

设圆心为G(~6,-3),弓=8,

|。©=41+6)2+(3+3『=庖,785>1+8=9.

故两圆外离.

故选：A.

22

5."m〃>0,m+n>0”是“方程--乙=1表示的曲线为双曲线”的()

mn

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线方程及充分条件、必要条件求解即可.

【详解】由根〃>0,〃2+〃>0可得爪>0且〃>0,

22

则方程土-2-=1表示的曲线为双曲线；

mn

22

而加=—1,"=—1时，满足方程土—匕=1表示的曲线为双曲线，

mn

但加+〃=—2v0,不满足根+〃>0,

22

所以“m”>0,加+">0”是“方程乙—乙=1表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件.

mn

故选：A

6.以下命题正确的是()

A.直线/的方向向量为d=(1,-1,2),直线机的方向向量匕=(1,2,1),贝I]/与机垂直

B.直线/的方向向量a=(0,L—1),平面。的法向量〃=(1,T,T),贝”_La

C.两个不同平面名尸的法向量分别为％=(2,-1,0),%=(T,2,0),则a〃尸

D.平面a经过三点4(1,0,-1),6(0,1,0),。(—1,2,0),向量人=(1,凡。是平面a的法向量，则f=l

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，求解即可判断A、B；由已知推得巧=-24,即可根据法向

ABb=O

量的关系，得出平面位置关系；根据已知得出〈，求出向量的坐标代入求解，得出方，即可判

AC-b=O

断D.

【详解】对于A项，因为。力=1—2+2=170，

所以a力不垂直，所以/与根不垂直，故A错误；

对于B项,因为a.“=一1+i=o,

所以所以〃/a或/ua不垂直，故B错误；

bc—J

所以，点p到直线法-冲=o的距离,ab(c-b),

d=

x^cr+b2

be+a,—

点P到直线bx+ay^0的距离ab(c+b)

d=>4

2Ja2+H

Z?(c+。)

4crc+b

由己知可得，-y=3,即/°、=--=3,

4b^c-b)c-b

整理可得c=2Z?，a=[c1-b2=y/3b9

2b_273

所以，e=-

a6厂3

故选：D.

8.在正三棱柱ABC-4与G中，M=2AB=4'D,E分别为棱AA，A耳的中点，尸是线段BG上的

一点，且FG=2BF,则点C到平面。EF的距离为（）

2^/268753

A.2A/3

13532

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量的数量积运算求出平面的法向量与C。，再利用空间

向量法即可求得点C到平面DEF的距离.

【详解】

记AC的中点为。，连结80,过。作。G〃A4,如图,

根据题意，易知O5OCOG两两垂直，以。为原点，0民0。,。7分别为乂丁*轴，建立空间直角坐

标系，

则网点0,0）,4（6,0,4）,c（o,i,o）,G（0,1,4）,A（0,-l,0）,4（0,-1,4）,

故。（。，―1,2）,E-^-,——,4,DE--^-,—,2,DA—（0,0,—2）,

122J122J

AB=（73,1,0）,BQ=（-73,1,4）,

因为FC]=2BF,

所以0尸=9+45+"=（0,0,—2）+（6,1,0）+；卜后1,4）=

设平面DEF的一个法向量为n=(%,y,z),

n-DE=x+—v+2z=0

22

则令x=—3A/3，则y=5,z=1,

CL2642c

n-DF=---x+—yz=0

333

故“=（一3石,5,1）,

又C£>=（0,-2,2）,

1。+2|_8庖

所以点C到平面DEF

'|n|A/27+25+153

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.圆必+/+2V—3=0被直线x+y—左=0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1:3,则女

的值可以是()

A.72-1B.1C.-3D.V2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意知，圆心(0,-1)到直线x+y—左=0的距离为正厂=血，列出方程，即可求解.

2

【详解】由题意知，圆的标准方程为V+(y+l)2=4,较短弧所对圆心角是90。,

因为较短弧长与较长弧长之比为1:3,

所以圆心(。，-1)到直线x+y—左二。的距离为巫r=&,即匕0=血，

2V2

解得％=1或左=—3.

故选：BC.

10.点M(4,l)为抛物线=2py(“>0)上一点，点尸是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一

点，且|A尸|=8,则()

A.p=8B./(0,4)

C.直线AF的斜率为土且D.。/的面积为16

20

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先求抛物线方程，再根据焦半径公式求点A的坐标，即可判断选项.

【详解】由题意可知，42=2pxl,则p=8,则必=16>,焦点—0,4),故AB正确；

设点4(%,%),则|”|=%+勺%+4=8,则%=4,

%；=16x4=64,则4二±8,

即A(8,4)或(-8,4),所以直线"的斜率为0,故C错误；

_40尸的面积为gx|O司x|x0|=g><4><8=16,故D正确.

故选：ABD

11.在平面直角坐标系xQy中，已知曲线。：必+2移+2：/=1,点夕(入0，九)为曲线c上一点，贝U

()

A.曲线C关于x轴对称B.曲线C关于原点对称

C.点尸的纵坐标为的取值范围为[-1,1]D.直线y=x+l与曲线C有且仅有两个公共点

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据条件，结合各个选项逐一分析判断即可得出结果.

【详解】对于选项A,设曲线。：/+2孙+2丁=1上任一点为P®,%),贝u有需+2%%+2尤=1,

点尸(%,%)关于X轴对称的点为尸代入d+2盯+2y2=1,得到/一2/%+2尤=1,不一

定成立，所以选项A错误；

对于选项B,设曲线。：9+2呼+2V=1上任一点为尸(为,为)，则有%+2/%+2y；=1,

点尸(%,为)关于原点对称的点为「(一/，一为)，代入必+2孙+2：/=1,得到焉+2%%+2尤=1，成

立，所以选项B正确；

对于选项C,由V+2孙+2/=1,得至Jjf+2肛+2/—i=o,看成关于x的方程，

则有A=4y2—4(2y2—1)20,整理得到解得—所以选项C正确；

x2+2xy+2y2=11

对于选项D,由＜7消〉得到5f+6x+l=0,解得x=——或x=—1,

y=x+l5

14

当x=-g时，,当％=—1时，y=0,

所以直线y=x+l与曲线C有且仅有两个公共点［-d］或(―1,0),所以选项D正确，

故选：BCD.

12.在正方体ABC。—中，E、F、G分别为BC,CC］,3月的中点，则下列选项正确的是

()

A.BD±AF

B.直线AG与跖所成角的余弦值为半

C.三棱锥G—AEF与正方体ABC。—的体积之比为工

6

D.存在实数使得AG=；L4尸+〃AE

【答案】AD

【解析】

【分析】若正方体棱长为2,构建如下图示的空间直角坐标系。-盯z,应用向量法判断直线位置关系、求

夹角余弦值、求点面距，结合棱锥、棱柱体积公式以及向量共面的坐标表示判断各项正误.

【详解】若正方体棱长为2,构建如下图示的空间直角坐标系。-孙z,

则A(2,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(2,0,2),4(2,2,2),£(0,2,2),R(0,0,2),

E(l,2,0),F(0,2,l),G(2,2,l),

BD—(—2,—2,0),AF~(—2,2,1),则BD,AF=4—4+0=0，故BDJ_AF，A对；

AG=(02—D,E/=(—1,0,1)‘贝

故直线A|G与所所成角的余弦值为画,B错；

10

EA=(l,-2,0),EF=(-1,0,1),设冽=(x,y,z)为平面AEF的一个法向量，

m-EA=x-2y=0

则彳，取y=l,有加=(2/,2),而AG=(0,2,l),

m•EF=一x+z=0

所以G到面AEF的距离d=|AG'm|=-,又|cos(E4,EF\|=|EAEF-1=叵,

\m\3、/\EA\\EF\75x7210

所以△钻尸中sin(EA,Eb)=^^，则SAFF=-£A-EF-sinZ4EF=-xV5xV2x^^=-,

\/10-AEF22102

1342

所以匕-AEF=§乂5*§=1,而匕BCD-ABiGQ=8,

所以三棱锥G—A炉与正方体ABC。-44。］。］的体积之比为《，c错；

由AF=(-2,2,1),AE=(-1,2,0),4G=(0,2,—1),则&G=-AF+2AE,

故存在实数使得AG=；L4F+〃AE,D对.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.平面上任意一点（羽y）满足J/+（y+4）2+J/+（y—4）2=10,则该点的轨迹是

【答案】椭圆

【解析】

【分析】由两点距离公式与椭圆定义即可得解.

【详解】由（羽y）满足+（-+旬2++（丁-4）2=io知,

点到定点（0,-4）与（0,4）的距离之和为10,

又（0,-4）与（0,4）之间距离为8<10,

根据椭圆定义可知，该点的轨迹为椭圆.

故答案为：椭圆.

.己知直线与。：孙—相互平行则两直线\与之间的距离为

144:3x—y+1=02x+73=0（meR），12

I答案】嘤

【解析】

【分析】先借助直线平行算出加，再根据平行线间的距离公式即可求得.

2

【详解】由/J%,则加。0,有3=——,

m

22

解得m=—,即:2%—y—3=0,

33

化简得6x_2y_9=0,

4可化为6x—2y+2=0,

,_|2-(-9)|11710

则k与I，之间的距离d=!2==”

一#+(-2)220

故答案为：嘤

2

15.过点M(3,2)的直线/与双曲线必―2L=i交于A、8两点，若M恰好是线段A8的中点，则直线/的

4

斜率为

【答案】6

【解析】

【分析】设△(xpyJ,Blw，%)，根据题意利用点差法运算求解・

%+%2=6

【详解】设A(%,%),6(%2，%)，则<

?+%=4'

y—y

由题意可知：直线/斜率存在，则上

%1~X2

214

因为A、B在双曲线V—上=1上，贝卜

4考4=1

两式相减得(X；-x；卜七"=0,则(%+%)(%—x2)

4

心—左)=0,整理得女.=之二三=6,

4

此时直线/：y-2=6(x-3),即y=6x-16,

y=6x-16

联立方程《2y2,消去y得8f—48X+65=0,

x----=1

4

则△=(—48『—4x8x65=224>0,即直线/与双曲线必—；=1有两个交点,

符合题意，所以直线/的斜率为6.

故答案为：6.

16.已知抛物线y2=2px(p〉0)的焦点为E准线为/,过B的直线与抛物线交于点A、B,与直线/交

【答案】(1)相交，理由见解析；

(2)m=±1

【解析】

【分析】(1)根据题意可得直线/恒过定点(1,1),易知点(1』)在圆内，所以可得直线与圆相交;

(2)求出圆心到直线距离再利用弦长公式即可求得相=±1.

【小问1详解】

由题意可得圆C：V+(y-l)2=5的圆心为C(O,1),半径为丫=5

易知直线/：〃式一y+l-〃z=O恒过定点(1,1),

显然F+(1—1)2<5,即点(1,1)在圆内，

所以直线/与圆C相交；

【小问2详解】

-m

易知圆心到直线/：方式一丁+1-根=。的距离为2=-^』=,

可得||=24—/=2,5—=372，

解得m=±l.

18.(1)求符合下列条件的双曲线的标准方程：

①顶点在X轴上，两顶点间的距离是8,e=~；

4

②渐近线方程是丫=±2%,虚轴长为4.

(2)求适合下列条件的抛物线的标准方程：

①焦点P关于准线/的对称点为加(0,-9)；

②关于y轴对称，与直线y=-12相交所得线段的长为12.

r2222丫2

【答案】(1)①上-匕=1；②/一2L=i或2L—工=1；(2)①一=12丫；②d=_3y.

1694164

【解析】

【分析】(1)设出双曲线方程，利用待定系数法求出双曲线标准方程.

(2)设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线的标准方程.

22

【详解】(1)①设双曲线方程为二-斗=1(。>0/>0),则2。=8,解得。=4,

ab

c5_____

双曲线半焦距为c,于是e=—=—，解得c=5,b=J2-a2=3»

a4c

22

所以双曲线的标准方程是―-乙=1;

169

%2y2=2

②当双曲线的焦点在X轴上时，设双曲线方程为一r—LuKai〉。)，其渐近线方程为y=±—X,

a-4勾

22

依题意，一=2,解得4=1,双曲线方程为1_=1；

44

22

当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为左=1(。2>。)，其渐近线方程为丁=土告x，

22

依题意，­=2,解得生=4,双曲线方程为2L—土=1,

2164

222

所以所求双曲线的标准方程为好-工=1或匕-上=1.

4164

(2)①显然抛物线焦点在y轴上，设其方程为f=2pj(p]W0),焦点准线/：y=—今，

依题意，=-9,解得°]=6,

所以抛物线的标准方程为必=12〉；

fy=-12(------

②设抛物线方程为V=2py(p<0),由2c,得|x|=2j砺,

[x=2py、

于是4户方=12,解得—2。=3,即2。=—3,

所以所求抛物线的标准方程为x2=-3y.

19.己知过点N(—1,0)的直线I与抛物线y2=-x相交于A,B两点.

(1)求证：OA±OB-,

（2）当Q46的面积等于历时，求直线/的方程.

【答案】（1）证明见解析

（2）%一6丁+1=0或％+6y+l=0

【解析】

【分析】（1）设直线/的方程为”=X+1,联立y2=—X,消元得y+o—1=0,再利用韦达定理得到

%+%=一/，％%=-1，进而得到七％2=1，从而得到。4・。3=0，即可证明结果；

（2）由—%|=g|x—%|，再根据（1）中结果及条件即可求出结果.

【小问1详解】

由题可设直线/的方程为9=x+l,AG，%）,%%,%），

-2__

由一”,消X得到V+rv—1=0,A=r+4>0,

ty=x+\

由韦达定理得，%+为=一%，%%=-1，

又再％2-又1-1）（。2-1）=力2yly27（%+%）+1=T?+产+1=1,

因为。4=（%,%）。3=（%2，%），所以。=%%+为%=1—1=0，得到Q4_LOB，所以OA_LQB.

【小问2详解】

因为S0AB=JONII%—x|=T%—%|，由⑴知X+%=T，M%=T，

所以S°AB=g而HI7二诉T=g炉”=加，解得r=±6，

所以，直线/的方程为尤—6y+l=0或x+6y+l=0.

A22

20.设耳，鸟分别是椭圆3+==1（。〉6〉0）的左、右焦点，当。=25时，点尸在椭圆上，且

P^±P^,|^|-|PK|=2.

(I)求椭圆c的方程；

Q

(2)直线/：y=x+"2与椭圆C交于A,8两点，若|AB|=m，求实数m的值.

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)m—±>/3

【解析】

【分析】(1)根据椭圆定义及垂直关系，结合片=从+02求解出〃的值，则椭圆方程可求;

(2)联立直线与椭圆方程，并注意判别式A,根据弦长公式列出关于参数机的方程，从而结果可求.

【小问1详解】

V2y1

椭圆C的方程为二+-1（6Z>/?>0）

ab2

2

PF]±PF2,.-.\PF^+\PF2f=4c

|P4•朋I=2

+\PF^=2a

、附「+|P8「=4,2

4a2=4c2+4,a"—c2+b2,b'-1,又a=2Z?,所以a?=4,

r2

所以C:二+y2=i.

4-

【小问2详解】

人2_]

根据题意可得<4"一’，则5炉+8侬:+4（“-1）=。,

y=x+m,

且八=64m2-4x5x4（根之-lj=-16m2+80>0,则me（-石，6）,

所以1明=百小+%)2-4中2=血［萼-史"=逑'《

IN/JJJJ

即5—疗=2,

则加2=3,解得加=土若，经检验，符合题意.

21.如图，在三棱柱A3C-4与£中，A&GC是边长为4的正方形.平面ABC1平面441clC,

AB=3,BC=5.

(2)求二面角A—BG—用的余弦值;

BD

(3)证明：在线段8G存在点。，使得并求折的值.

【答案】(1)证明见解析;

⑵9

BD_9

(3)证明见解析,Bq-25'

【解析】

【分析】(1)由面面垂直的性质得A&J■面ABC,再由线面垂直性质证结论;

(2)构建空间直角坐标系A-孙z,应用向量法求面面角的余弦值;

3

(3)设。亿］(4-/)/)且0W/W4,利用垂直关系有4>43=0求参数判断存在性，进而求比值.

小问1详解】

由A41cle是正方形，则AC,且A&u面A&GC,

面ABC上面A41clC,面ABCc面A&GC=AC，则面ABC，

由5Cu面ABC,所以A&LBC.

【小问2详解】

由AC=4,AB=3,BC=5,则人。2+筋2=5。2,所以ACAB,且明，面ABC,

如下图，可构建空间直角坐标系A-孙z,则

A(O,O,O)，A(0,0,4),5(0,3,0),Bx(0,3,4),C(4,0,0),Q(4,0,4),

BC】=(4-3,4),BA=(0,-3,4),BB}=(0,0,4)，

m-BCx=4x-3y+4z=0

若/〃=（x,y,z）是面的一个法向量，贝卜

m-84]=-3y+4z=0

取y=4,则相=(0,4,3)；

n-BQ=4a-3b+4c=0

若〃=（°,b,c）是面315cl的一个法向量，则

n-BB[=4c=0

取》=4,则〃=(3,4,0)；

m-n1616

故锐二面角A-5G-4的余弦值为Icosm,n1=

|m||n|5x525

【小问3详解】

33

由题意,可设。—(4—f)/)且0W/W4,则AD=9一(4—/)/),43=(0,3,—4),又

4