2024届湖南省教育联盟高三数学下学期开学摸底考试卷附答案解析

2024届湖南省教育联盟高三数学下学期开学摸底考试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数满足，则（

）A． B． C．1 D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（

）A．这10个月的月销售量的中位数为28B．这10个月的月销售量的平均数为31C．这10个月的月销售量的第75百分位数为34.5D．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差4．设正四面体的棱长为1，E为的中点，F，G分别是棱上的点，且满足，平面，则的值是（

）A． B． C． D．5．已知正项等比数列（其公比）的前项积为，设甲：，乙：有最大值，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则（

）A． B． C． D．7．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于两点，若为的准线上一点，且，则ABD的面积为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若，且，恒有，则正实数t的取值范围为（

）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分．9．一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（

）A． B． C． D．10．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于A，B两点，且，过点A任作一条直线与圆相交于M，N两点，则（

）A．圆C的方程为B．圆C与圆的相交弦所在直线方程为C．D．11．已知函数在上单调，且，则的取值可能为（

）A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，则这4个人名次排列的可能情况共有种．13．若数列满足，，则的最小值是．14．已知的三个顶点都在椭圆上，其中A，B分别为的左顶点和上顶点，若以B为顶角的等腰恰好有3个，则直线AB的斜率的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．在中，已知．(1)求角C的大小；(2)若，，试判断的形状并说明理由．16．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，D，E分别为AB，的中点，若，平面ABC⊥平面．(1)求证：CD⊥平面；(2)若三棱柱的体积为4，求直线AE与平面所成角的正弦值．17．某电视台综艺节目邀请甲、乙两位好友参加了“心有灵犀、竟猜谜语”活动：即从5个谜语中随机抽取个，让甲负责比划，乙负责猜谜语．已知甲会比划其中3个谜语，这3个谜语乙猜对的概率都为，另外2个不会比划的谜语乙无法猜对．(1)求甲、乙配合猜对1个谜语的概率；(2)设甲、乙配合猜对谜语个数为，求的分布列和数学期望．18．设动点与定点的距离和它到定直线的距离之比等于，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设过点的直线与C的右支相交于A，B两点，是内一点，且满足，试判断点是否在直线上，并说明理由．19．已知函数．(1)若是单调递增函数，求的取值范围；(2)若存在三个零点，且，求的取值范围．1．D【分析】根据题意，得到，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数，解得，所以|.故选：D．2．A【分析】由题意解对数不等式结合指数函数值域、交集的概念即可得解.【详解】由，得，所以又因为，所以.故选：A．3．B【分析】根据中位数，平均数，百分位数定义计算判断A,B,C选项，根据波动性判断D选项即可.【详解】将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的中位数为，A错误；这10个月的月销售量的平均数为，B正确;根据百分位数的定义可知，则这10个月的月销售量的第75百分位数为第8个数36，C错误；由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，D错误.故选:B．4．C【分析】由题意得，进一步，由此可列出出关于的方程求解.【详解】

由平面，平面平面，平面，得，因为，于是，则，解得.故选：C．5．A【分析】根据题意，求得，得到，反之有最大值，列出不等式组，得到不一定为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为是正项等比数列，且，可得，又因为，所以，因为，所以有最大值；若有最大值，则，因为，所以，所以不一定有.故选：A．6．D【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.【详解】因为，则.故选：D．7．C【分析】根据抛物线的定义，得到直线AD与抛物线的准线垂直，再由，得到点A，D的坐标，再由A，F，B三点共线得到点B的坐标，再由求解．【详解】解：如图所示：

不妨设点在第一象限，由题设及抛物线定义知，直线AD与抛物线的准线垂直．因为，所以，即，又焦点F（1，0），由A，F，B三点共线可得，，故．故选：C．8．B【分析】设，将不等式转化为恒成立，构造函数，通过其单调性将问题转化为成立，继续构造函数求最值即可.【详解】不妨设，又，则，所以，即恒成立，故单调递减，则恒成立，即．当时，成立，符合题意；当时，设，则，故单调递增，由得恒成立，即成立．设，，则时，，当时，，即在单调递增，在单调递减，，所以.故选：B．【点睛】关键点点睛：通过将不等式转化为，进而可以构造函数来解决问题，常见的变形有.9．ACD【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案.【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时可得D；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A；但无论如何都不能截得B．故选：ACD10．AC【分析】根据点在圆上待定系数法求解判断A选项,根据两圆作差判断B选项,应用两点间距离公式计算判断C,D选项.【详解】由圆C与x轴相切于点T（1，0），可设圆C的方程为，所以，所以圆C的方程为，故A正确；圆C与圆O的方程相减得，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；设为圆O上任意一点，则，所以，所以，，故C正确，D错误，故选:AC．11．ACD【分析】根据的单调性、对称性求得的范围以及的一个零点，根据以及图象进行分类讨论，由此求得的可能取值.【详解】因为在上单调，，所以，因为，所以，又，如下图依次讨论对应为点四种情况，若，则，满足；若，则，满足；由，若，则，满足；若，则，不满足，其它情况均不符合.故选：ACD【点睛】方法点睛：三角函数或，如果函数在某个区间上单调，则这个区间的长度不大于半周期.形如的条件，可以考虑对称性或周期性.形如的条件，可以考虑对称性（零点）.12．14【分析】先分类，考虑乙是第1名和不是第1名两种情况讨论，再由特殊元素优先分步计数.【详解】直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有种排法；当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有种排法，所以这4个人名次排列共有14种．间接法：这4个人名次排列的可能情况共有种．故答案为：1413．##【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值.【详解】由已知，，…，，，所以，又也满足上式，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是．故答案为：14．【分析】根据已知条件，的第三个顶点C在以B为圆心，以为半径的圆上,结合题意将问题转化为椭圆与圆有四个公共点，联立方程可得，结合已知条件确定，进而求得取值范围为即可.【详解】由题意知的第三个顶点C在以B为圆心，以为半径的圆上，要使以B为顶角的等腰恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点；由，得，所以或；当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当C位于右顶点处满足条件；当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要，即，即，且，，解得，因为，，所以，所以直线AB的斜率的取值范围为．故答案为：【点睛】关键点点睛：根据已知条件，将问题转化为求椭圆与圆有四个公共点去解决.15．(1)(2)直角三角形，理由见解析【分析】（1）已知等式，由同角三角函数的商数关系和诱导公式倍角公式化简得，可求角C的大小；（2）设，则，，中，由正弦定理得，由，化简得，得，．【详解】（1）因为，所以，由，有，则，所以，得，故．（2）由，可知．设，则，．在中，，由正弦定理得，即，化简得，即，因为，所以，所以，．故是直角三角形．16．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据面面空间垂直性质定理及线面垂直判定定理证明即可；（2）空间向量法求解线面角即可.【详解】（1）因为D，E分别为，的中点，是正方形，所以，因为，，平面,平面,所以平面，故．

因为平面ABC⊥平面，平面平面，且平面，所以平面ABC，平面ABC,故．因为平面，平面,所以平面．（2）由三棱柱中的体积为4可得．以DA所在直线为x轴，过D作AB的垂线为y轴，DC所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（－1，0，0），C（0，0，2），，E（－1，1，0），．

设平面的法向量为，由得取．设直线AE与平面所成角为，则．故直线AE平面所成角的正弦值为．17．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据抽中甲会比划的谜语的个数进行分类讨论，根据概率计算公式求得正确答案.（2）的可能取值为，由此根据概率计算公式求得分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设“抽中甲会比划的谜语的个数为”为事件，“乙猜对的谜语的个数为”为事件，“甲乙配合猜对1个谜语”为事件．甲乙配合猜对1个谜语，则，所以甲乙配合对1个谜语的概率为．（2）由题意，随机变量的可能取值为，，，，．所以的分布列为X023P数学期望．18．(1)(2)点在直线上，理由见解析【分析】（1）根据题意，列出方程，化简即可得到曲线C的方程；（2）由，求得，分和与轴不垂直，两种情况讨论，设直线，联立方程组求得，进而求得，即可求解.【详解】（1）由动点与定点的距离和它到定直线的距离之比等于，可得，化简得，故所求曲线C的方程为．（2）点在直线上．因为，设点的坐标分别是，由题设得，解得，当轴时，，，代入有，所以点在直线上，当AB不与轴垂直时，设直线AB的方程是，因为曲线C的渐近线的斜率为，且直线AB与曲线C的右支相交于两点，所以，联立方程组，整理得，此时，可得，则，同理．于是，，所以，所以点在直线上．.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.19．(1)(2)．【分析】（1）依题意恒成立，分、、三种情况讨论，当时求出，由求出参数的取值范围；（2）由可得为函数的一个零点，若是函数的零点，推出也是函数的零点，结合（1）可得，从而得到存在，使得，即可得到的单调性，结合零点存在性定理得到在上存在唯一零点，即可得到有三个零点，不妨设，由，得到，从而得到，即可求出参数的取值范围．【详解】（1）由题设知恒成立．若，当且，，不符合题意；若，则，满足题意；若，令，则，令，得．当时，则即单调递减，时，则即单调递增，故的最小值为．由题设知，即．综上可知的取值范围是．（2）因为，所以是函数的一个零点．若是函数的零点，即，则，即是函数的零点，故函数在和上各有一个零点，且它们互为倒数．由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意；当，时，，单调递增，因此，即在上不存在零点，此时也只有一个零点，不符合题意；令，则，所以当时，当时，所以在上