江苏省盐城市大丰区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

江苏省盐城市大丰区2023-2024学年九年级上学期

期中数学试题

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A.2x~---=1B.2x2-5xy+y2=0

3x

C.ax2+bx+c=0D.7x2+1=0

【答案】D

【解析】A、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；

B、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；

C、当。=0时，该方程不是关于了的一元二次方程，故本选项错误；

D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，

故选：D.

2.已知圆。的半径为5,同一平面内有一点P,且O尸=4,则点P与圆。的关系是（）

A.点尸在圆内B.点P在圆外C.点P在圆上D.无法确定

【答案】A

【解析】设圆的半径为：,，由题意，得：OP=4<r=5,

...点P与圆。关系是：点P在圆内.

故选A.

3.《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明

确规定.某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2,4,3,2,5,2,3.则这组

数据的众数和中位数分别是（）

A.2,2B.2,2.5C.2,3D.3,3

【答案】C

【解析】根据题意可得：出现的3次，出现次数最多，

这组数据的众数为2,

将这组数据按大小排序为：2,2,2,3,3,4,5,

这组数据中位数为3,

故选：C.

4.用配方法解方程x2_iox+i=(),配方后的方程可化为()

A.(x+5)2=25B.(%-5)2=24

C.(x-5)、25D.(尤+5)2=24

【答案】B

【解析】x2-10x+l=0;

移项得：x2-10x=-b

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到Y-10》+25=-1+25,

配方得(x—5)2=24,

故选：B.

5.如图，圆。的弦A8=8,M是AB的中点，且0M=3,则圆。的半径等于()

A.2B.5C.8D.10

【答案】B

【解析】连接。4,

:。。的弦AB=8,〃是AB的中点，0M过。，

：.AM=BM=4,OM±AB,

...由勾股定理得：OA=>JAM2+OM2=A/42+32=5-

故选：B.

6.如图，正五边形AHCDE内接于。0,PO与】。相切于点。，连接0E并延长，交PD

于点尸，则NP度数是()

A.36°B.28°C.20°D.18°

【答案】D

【解析】如图：连接8

PD与［。相切于点。

:.ZODP^90°

正五边形ABCDE内接于。。

AB=BC=CD=DE=EA

360°

，OE所对的圆心角的度数为：掾=72°

.•.NO=72°

二N尸=180°—XODP-XO=180°-90°-72°=18°

故选：D

7.一个容器盛满纯药液63L,第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多

的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L,若设每次倒出液体为无L,则可列

方程为（）

<^=28

63

C.（I-%）2=—D.(63-x)2=—

63

【答案】B

【解析】设每次倒出液体XL,则第一次倒出后容器内剩下纯药液（63-x）L,

63—x

加满水后药液的浓度为:丁，

63

依题意得：（63-x）•3==28.即空立=28.

6363

故选B.

8.如图，四边形ABCD,有AB=AD=2,BC=DC=26，AC=4,以AC中点

。为圆心作弧A5及弧AD,动点P从C点出发沿线段CB,弧54,弧A。，线段。C

的路线运动，点P运动到点。时，线段0P扫过的面积为（）

A.2"\/3H—兀B.2^/3H—兀C.>/3H—兀D.73+-71

3333

【答案】C

【解析】连接。8，0D,过。作（9石，5c于E,

:点。是AC中点，

/.OC=OA=-x4=2,

2

'：AB=AD=2,BC=DC=25AC=4,

AB2+BC-=22+(2后=16=4?=AC2,

AD2+DC2=22+(2后=16=42=AC2,

ZABC=ZADC=90°,

,“八AD21

sinZACD==—=—

AC42

：.NACD=30°,

同理可得：ZACB=30°,

：.ZBAC=900-30°=60°,ZC4D=90-30°=60°,

为直角三角形，点。是AC中点,

OB=OA,

.♦•_Q"为等边三角形,

/.ZA（9B=60o,

同理得：NAOD=60°,

ZBOD=120°,

•/Z（9PC=90o,NOCP=30°,

：.OE=-OC=-x2=l,

22

・•.S」x2岛1+I20°e2、6+L,

236003

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.已知关于x的一元二次方程：三+（左—5）x+4—左=0的一个根是2,则另一个根的值为

【答案】1

【解析】九=2是方程/+（左—5）x+4—左=0的一个根，

2?+（左一5）x2+4-左=0,

解得：k=2,

设方程的另一个根为七，则2/玉=2,

X]=1,

则方程的另一个根为1,

故答案为：1.

10.设X],工2是方程—3x+2=0的两个根，则％1+%2=-

【答案】3

【解析】在三―3x+2=0中，a=l,b=-3,

冲超是方程%2-3%+2=0的两个根，

b-3〃

••石+/=---=----=3，

a1

故答案为：3.

11.学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%,现场展示

占40%计算选手的综合成绩（百分制）.小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85

分，现场展示90分，则他的综合成绩是分.

【答案】87

【解析】综合成绩是85x60%+90x40%=87分，

故答案为：87.

12.圆锥的底面圆周长为27，侧面积为物，则圆锥的母线长为.

【答案】4

【解析】•••圆锥的底面圆周长为2»,

...圆锥的底面的半径为1,

S=71X1x1=471

I=4,

即圆锥的母线长为4，

故答案为：4.

13.某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：则这12名队员年龄的中位数是

岁.

年龄/岁1819202122

人数35211

【答案】19

【解析】将表格中的数据从小到大排列为：18,18,18,19,19,19,19,19,20,20,21,22

.•.中间的两个数为19,19

.••中位数为19上+-19-=19.

2

故答案为：19.

14.如图，A8是。。的直径，点C、。在。。上，ZBAC=30°,则/。的度数为.

【答案】60°

【解析】连接BD,

,：AB是直径，

：.ZADB=90°,

VZBDC^ZBAC=30°,

：.ZD=ZADB-ZBDC=90°-30°=60°.

故答案是：60°.

15.如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的

矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体

【答案】48

【解析】设剪去的正方形的边长为xcm,则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10-2x）cm,

宽为三士=（6-x）cm,

2

依题意得：（10-2x）（6-%）=24,

整理得：X2-11X+18=0.

解得：%=2,々=9（不合题意，舍去）.

,该纸盒的体积为2x4x6=48（cm3）；

故答案为：48.

16.如图，在。中，点C是劣弧A3的中点，点P在劣弧AC上，且NAPfi=120。，

PH

CH上BP于H,当AP=CW,则——二.

HB

I\

I）

【答案］

A/3+I

【解析】在PB上截取MB=AP,连接CM,CB,CP,CA,BA,

・・・。是AB的中点，

AC=BC,

■:/PAC=/MBC,

：..APC^BMCCSAS),

：.CP=CM,

：.ZCPM=ZCMP,

CHPM,

；•PH=MH,

•：ZACB=ZAPB=120°,

：.ZCAB=ZCBA=30°,

：.ZCMP=ZCPM=ZCAB=30°,

tanZCMP=tan30°^，AP=CH,

MH3

:.PH=MH==也AP，MB=AP,

：.BH=MH+MB=(6+。AP，

.PH_6Ap_6

••8〃一(用1)”一肉1'

J3

故答案为:—j=—.

V3+1

三、解答题(本大题共有n小题，共102分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步

骤)

17.计算：

⑴/一元—12=0；

(2)尤2_6%_7=0.(配方法)

解：⑴d—%—12=0，

(x-4)(x+3)=0,

%—4=0或x+3=0,

解得石=4,x2=-3；

⑵%2一6%—7=0，

x2-6x=7，

x2-6x+9=7+9，

(x-3)2=16,

x—3=±4,

解得占=7,x2=-l.

18.已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0

（1）求证：不论〃2为何值，该方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根是1,求加的值及方程的另一个根.

解：（1）a=1,b=-[m+2）,c—2m,

N=F-4ac=[一（"z+2）丁-4x1x2m=m2+4m+4-8m=rrT-4m+4=（机一2）->0,

不论m为何值，该方程总有两个实数根；

（2）将％=1代入原方程得：1—（加+2）+2加=0,

m=l,

・•・原方程为％2一3%+2=0，

西,九2———2,

■a

：2+1=2,

方程的另一个根为2.

19.一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如

图），桥拱最高处离水面4m.

（1）求桥拱半径；

（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m,问水面涨高了多少？

解：（1）设桥拱所在圆的圆心为O,桥拱最高处为C,连接OC交A2于点。，连接。4,

如图所示，贝IJ0CL42,CD=4m,且点。是AB的中点

AD=—AB=8m

2

设圆的半径为r,则OD=OC-CD=（r-4）m

在RSOA。中，由勾股定理得：82+（厂—4）2=产

解得：r=10

即桥拱的半径为10m.

（2）若大雨过后的水面宽为EFEF交0C于点G,贝且EG二工石厂二6m,

2

如图所示

在MAOEG中，由勾股定理得：OG=yjOE2-EG2=V100-36=8(m)

OD=OC-CD=1Q-4=6(m)

DG=OG-OD=8-6=2(m)

即水面涨高的高度为2m.

20.如图，一段水管内壁均匀地形成一层厚3mm的矿物沉淀物，导致水管过水的横截面面

4

积减少到原来的二，求该水管原来的内直径.

解：设水管原来的半径为rmm,

由题意得：兀

9

解得：4=9,=-<3（不合题意，舍去）,

2r=2x9=18,

答：该水管原来的内直径为18mm.

21.如图，在ABC中：

y--------------------------

（1）作/ABC的平分线交AC于。，作线段3。的垂直平分线石厂分别交AB于E,

BC于尸,垂足为点O.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接。歹，判断。咒与边A3的位置关系，并说明理由；

解：(1)如图所示,

(2)结论：DFAB.

理由：由作图可知，ZABD=NCBD,

石尸垂直平分线段BD,

/.FB=FD,

：.NCBD=NFDB,

ZABD=ZBDF,

：.DFAB.

22.某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关

资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调

查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿

“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，

下面给出了部分信息.

a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：

W分编号

b.丙家民宿“综合满意度”评分：

2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1

C.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数:

甲乙丙

平均数m4.54.2

中位数4.54.7n

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表中加的值是,九的值是

(2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是s1，s3s需，直接写出

s3sls］之间的大小关系；

(3)根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推

荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由(至少从两个方面说明).

解：⑴甲家民宿“综合满意度”评分：3.2,4.2,5.0,4.5,5.0,4.9,4.5,4.2,5.0,4.5

10'，

丙家民宿“综合满意度”评分：2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1

从小到大排列为：2.6,3.1,3.8,4.5,4.5,4.5,4.5,4.7,4.8,5

，中位数n=------=4.5

2

故答案为：4.5,4.5.

(2)根据折线统计图可知，乙的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5

分之间波动，

根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动，

,,5乙＜5甲＜S丙

(3)推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，

答案不唯一，合理即可.

23.已知关于x的一元二次方程(a+c)尤2+2旅+(a-C)=0,其中a、b、c分别为AABC三

边的长.

(1)如果x=-1是方程的根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(3)如果AABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

解：(1)AABC是等腰三角形；

理由：1是方程的根，

(a+c)x(-1)2-2b+(a-c)=0,

a+c-2b+a-c=0,

a-b=0,

a=b,

.•.△ABC是等腰三角形；

(2).••方程有两个相等的实数根，

/.(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,

;.4/-花+―。，

a2=b2+c2,

：.AABC是直角三角形；

（3）当AABC是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（a-c）=0,

可整理为：2°尤2+2说=0,

.,.x2+x=Q,

解得：尤1=0,X2=-1.

24.如图，在ABC中，。是AC上（异于点A,C）的一点，。恰好经过点A,B,

ADLCB于点，且AB平分NCAD.

（1）判断与。。的位置关系，并说明理由.

（2）若AC=10,DC=8,求。。的半径长.

解：（1）BC与i。相切，理由如下：

如图，连接02,

OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

AB平分NC4£),

:.ZDAB=ZCAB,

:.ZDAB=NOBA,

：.AD//OB,

AD±CB,

:.OBLCB,

QC出是「O的半径，

:.BC与:。相切；

(2)ZD=90°,AC=10,£>C=8,

:.AD=^AC--DC~=6-

AD//OB,

CBO^CDA,

OBPC

OB10-OA

~6~^10

OA=OB,

。的半径长为一.

4

25.如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成.在小正方形A3CD

中，点G,E,尸分别在CD,AD,AB上，且0G=lm,AE=AF=x,在△AM,

ADEG,五边形EEBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20

元、20元、10元.

<1）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；

（2）当*=2时，请写出小正方形A8CD种植花卉所需的费用

（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？

解：（1）设AEuA/=为米，则2）石=（4—x）米，

11,

S^AEF=~AExAF=—x,

SDEG=^DGxDE=|xlx（4-x）=2-1x,

,-lo_1In1

,•u五边形EFBCGS正方形A3CO—SAEF—SDEG—16—x—2H—x——x-\—x+14,

2222

11

故答案为：一7%9+--x+14；

22

（2）若x=2,则DE=2,

SAAEF=^AExAF=2,SD£G=|DGXDE=1X1X2=1,

,•S五边形EFBCG=S正方形_SAEF—SDEG—16—2—1=13,

•••所需费用为：20x2+20x1+10x13=190（元）,

故答案为：190元;

20j+20x-#++i4

（3）根据题意得4x=715,

整理得4%2—4x+l=0，解得占=尤2=），

答：当==1米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元.

26.阅读下列材料：

已知实数小、九满足（2疗+〃2+1）（2济+〃2-1）=80,试求2疗+/的值.

解：设2〃72+“2=y

则原方程可化为（y+l）（y—1）=80,即J?=81；

解得y=土9.

2m2+n2>0>

2m2+“2=9.

上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的

数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复

杂的问题简单化.根据以上阅读材料内容，解决下列问题：

（1）已知实数X、y满足（2/+2丁+3）（2/+2/_3）=27,求产+y的值.

（2）解方程X?-3国+2=。.

（3）若四个连续正整数的积为120,直接写出这四个连续的正整数为.

解：（1）设2/+2/=7〃，贝5）（7"+3）（〃2—3）=27,

.•.机2一9=27,即机2=36，

:.m=±6,

2%2+2/>0,

2x2+2y2=6,

x2+y2=3.

(2)设|x|=y,则原方程可化为：/_3y+2=0.

解得：%=1，%=2,

当y=l时，忖=1,

「.X二±1；

当y=2时，国=2,

/.x=±2.

原方程的解是：X]=1,X?=—1,Xj=2,,x4=-2.

(3)设最小数为x,则x(x+l)(x+2)(x+3)=120,

即：(d+3“+3x+2)=120,

设f+3x=y,则/+2y—120=0,

-1■%=-12,%=10，

1,x>0，

y=x?+3x=10,

二%=2,x2=-5<0(舍去),

,这四个整数为2,3,4,5.

27.阅读理解:

（1）【学习心得】

学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易.我

们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

ABC

外一点，且=求N5DC的度数.

解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆CA,（请你在图1上画圆）

则点C、。必在0A上，NB4c是1A的圆心角，而N3DC是圆周角，从而可容易得到

ZBDC=

②类型二,“定角+定弦”：如图，RtAABC中，AB_LBC,A3=12,3C=8,P是

ABC内部的一个动点，且满足=求线段PC长