1.4.2一元二次不等式及其解法课件-高一上学期数学北师大版

1.4.2一元二次不等式及其解法新授课1.了解一元二次不等式的概念和一般形式；2.能理解三个二次的关系，并能够利用这种关系求解一元二次不等式.知识点1：一元二次不等式的概念问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？（列出不等式即可）设：这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为(12–x)m，由题意，得：(12–x)·x>

20，其中x∈{x|0<x<12}，整理得：x2–12x+20

<0，x∈{x|0

<x

<12}①，求得不等式①的解集，即得到了问题的答案．概念讲解通常我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的不等式，称为一元二次不等式；一元二次不等式的一般表达式ax2

+bx

+c>0(a≠0)或ax2

+bx

+c

<0，其中a，b，c均为常数，a≠0；

如：问题1中得到的x2–12x

+20

<0，x∈{x|0

<x

<12}就是一个一元二次不等式.思考：该如何求解不等式x2–12x

+20

<0，x∈{x|0

<x

<12}？知识点2：一元二次不等式的解法分别从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，可以发现它们的内在联系，利用这种联系我们可以更简便的解决问题：思考：对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，它们的联系又是怎样的呢？

y=x+1–11方程x+1=0的解为x=–1不等式x+1>0的解为x>

–1不等式x+1>1的解为x>0①画出函数y=x2–12x

+20的图象如图；问题2：利用一元二次函数图象求不等式

x2–12x

+20

<0的解集.②函数y=x2–12x

+20的图象与x

轴的交点的横坐标分别为2，10；

即当x1=2，x2=10时，方程x2–12x

+20=0.y=x2–12x

+20y<0y>0③如图，x轴将函数y=x2–12x

+20图象分成三段：当x<2或x>10时，图象在x轴上方，满足y>0；当x=2或x=10时，图象在x轴上，满足y=0；当2

<x

<10时，图象在x轴下方，满足y<0；综上，一元二次不等式x2–12x

+20

<0的解集{x|2

<x

<10}.y=0y=ax2

+bx

+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判别式∆=b2–4ac∆>0∆=0∆<0方程ax2+bx+c=0的实数根函数y=ax2+bx+c的图象不等式ax2

+bx

+c>0的解集不等式ax2

+bx

+c<0的解集问题3：思考交流，完成下列填空.有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}例1：求不等式x2–5x+6>0的解集.解：对于方程x2–5x

+6=0，因为∆

>0，所以它有两个实数根；解得x1=2，x2=3；画出二次函数

y=x2–5x

+6的图象；结合图像，可知不等式

x2–5x

+6>0

的解集为{x|x

<2或x>3}.26yx3练一练1.求不等式9x2–6x+1>0的解集.解：对于方程9x2–6x

+1=0，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得；结合图像得不等

9x2–6x

+1>0

的解集为.画出二次函数y=9x2–6x+1的图象；0.20.6yx0.4y=9x2–6x

+1练一练2.求不等式–x2+2x–3>0的解集.解：原不等式可化为：x2–2x+3<0，画出二次函数

y=x2–2x+3的图象，结合图象得不等式

x2–2x+3

<0

的解集为Ø，因此，原不等式的解集为Ø.因为

∆=–8

<0，所以方程x2–2x+3=0无实数根；26yx3归纳总结（1）检查a的符号：对于a<0的一元二次不等式，把a化为正数；（2）计算∆的值：如果∆≥0，求出方程ax2+bx+c=0的根；

如果∆<0，说明方程ax2+bx+c=0无实数根；（3）画出y=ax2+bx+c的函数图象，结合图象得出不等式的解集.解ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的一般步骤一元二次不等式的求解过程：将原不等式化为ax2

+bx

+c>0(a>0)的形式计算∆=b2

–4ac

的值方程ax2

+bx

+c=0有两个不相等实根x1，x2方程ax2

+bx

+c=0没有实数根原不等式的解集为(–∞，x1)∪(x1，+∞)原不等式的解集为R方程ax2

+bx

+c=0有两个相等实根x1=x2原不等式的解集为(–∞，x1)∪(x2，+∞)∆>0∆=0∆<0根据今天所学，回答下列问题：1.二次函数与一元二次方程、不等式之间有什么联系？2.求解一元二次不等式的步骤是什么？y=ax2

+bx

+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判别式∆=b2–4ac∆>0∆=0∆<0方程ax2+bx+c=0的实数根函数y=ax2+bx+c的图象不