2023-2024学年天津市宝坻区高二年级下册第一次质量检测数学试题（含答案）

2023-2024学年天津市宝城区高二下册第一次质量检测数学试题

一、单选题

1.下列求导运算正确的()

f

A.(x+3'=l+-VB.(Iog2x)=­5—

XXxln2

C.(cos2x),=—sin2xD.(XInXy=Inx—1

【正确答案】B

【分析】根据基本函数求导公式和导数的运算法则进行判断.

【详解】(x+3'=I--UA错误；

XX

(log,x)'ɪ-ɪ-,B正确；

XIn2

(COS2x)'=-2sin2x,C错误；

(XInX)'=lnx+l,D错误.

故选：B

2.(4+生+生乂4+伪+伪+2)展开后，共有多少项？()

A.3B.4C.7D.12

【正确答案】D

【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.

【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，

第一步，在第一个因式中选一项，有C；=3种方法；

第二步，在第二个因式中选一项，有C；=4种方法；

根据乘法分步原理可得，展开后共有3X4=12项，

故选.D

3.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式

有()

A.3∙种B.4,种C.3x2x1种D.4x3x2种

【正确答案】A

【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.

【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有3χ3x3x3=3"种方

法.

故选：A.

4.如图是函数y=∕(χ)的导函数y=∕'(χ)的图象，则下面判断正确的有()

B.在(3,4)上f(x)是减函数

C.在x=3处取得极小值D.在X=I处取得极大值

【正确答案】B

根据导数与函数的单调性、极值之间的关系即可求解.

【详解】由图可知，

函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误;

在(3,4)上f(x)是减函数，故B正确;

因为在(2,4)上单调递减，故在x=3处不能取得极值，故C错误；

在(0,2)上单调递增，故在x=l处不能取得极值，故D错误.

故选：B

本题考查了由函数得导函数图像研究函数得性质，考查了基本知识得掌握情况，属于基础题.

5.已知A：=20,则"的值为()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】B

【分析】根据排列数的计算公式即可求解.

【详解】A：=〃(〃-l)=20n5

故选：B

6.若函数/(x)=In(X+l)τnr在区间(0,+8)上单调递减，则实数机的取值范围是()

A.(-∞,-l]B.(-∞,-l)C.(1,-K»)D.[l,+∞)

【正确答案】D

【分析】函数/(X)在区间(0,+∞)上单调递减，则导函数f(x)≤O在区间(O,+8)上恒成立,分

离参数，即可求解.

【详解】解：f(x)=ln(ʃ+1)-Wix,f'(x)=-ɪ--m,则f'(x)=」二-w≤O在(0,+8)上恒成

Λ+1x+1

立，即〃?2」二恒成立，又丫=」二在(°，+8)上单调递减，故」一＜1，

x+∖x+lx+1

所以加≥1,当MI=I时，导数不恒为0,

故选：D.

7.五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，

角，徵，羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排

成不同的音序的种数为()

A.12种B.48种C.72种D.120种

【正确答案】C

【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得.

【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为A；A；=72.

故选：C.

8.从04,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有

A.27个B.30个C.36个D.60个

【正确答案】B

【分析】分。在末位与2或4在末位两种情况讨论，利用分类计数原理与分步计数原理以及

排列、组合知识，即可得出结论.

【详解】0在末位组成三位偶数有&=12个；

0不在末位时，2或4在末位，组成三位偶数有CX3X3=18个，

.∙.从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有12+18=30个，故选B.

本题考查分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，属于中档题.有关排列组合的

综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意

很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清”是分类还是分步“、”是排

列还是组合“，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才

能提高准确率.

2

9.关于函数/(x)=∖+lnr,下列判断正确的是()

①x=2是/(X)的极大值点，

②函数y=∕(χ)-χ有且只有1个零点，

③存在正实数3使得/(χ)>履恒成立.

A.①BSC.①③D.②③

【正确答案】B

【分析】求导可得/'(X)解析式，利用导数求得Ax)的单调区间和极值点，即可判断①正误;

对y=*+lnχ-χ求导，可判断其单调性，代入特殊值检验，根据零点存在性定理，可判断

X

②正误；由题意得々<2+处，设g(x)=2+"(x>°),利用导数判断g。)的单调性，

XXXX

综合分析，即可得答案.

【详解】对于①：由题意得/'(x)=W+j∙==,。>0)，

X~Xx~

令/'(X)=O,解得X=2,

当x∈(0,2)时，∕r(x)<0,/(x)为单调递减函数，

当xe(2,”)时，Γ(x)>O,为单调递增函数，

所以x=2是“X)的极小值点，故①错误

2

又寸于②：y=—+InX-X,(x>0),

X

2

所以y=—+Inx-工在(O,+oo)上为单调递减函数，

X

又当x=l时，y=2+0-l=l>0,

2

当X=e时，y=-+l-e<O,

e

2

根据零点存在的定理可得y=*+lnx-X有且仅有1个零点，故②正确;

X

对于③：由/(χ)>",可得1+?,

kxlnx

4^(x)=⅛+-U>0),则f-4V~_-4-^-x-x\nx,

XXg⑺=F+------2=-----------------

令h(x)=-4+x-xlnx(x>0),则h'(x)=l-[lnx+x∙-J=-InX

当Xe(0,1)时,∕f(x)>0,则∕ι(x)为单调递增函数，

当x∈(l,+8)时，⅛,(x)<0,则〃(X)为单调递减函数，

4

所以〃(x)maχ=∕7(l)=-+l-°=-3<°,

4

所以g'(x)=~=皿.<O恒成立，

X

所以g(x)在(0,+8)上为单调递减函数，无最小值，

所以不存在正实数%,使得Fa)>云恒成立，故③错误.

故选：B

二、填空题

10.函数/(X)=InX-X的单调递增区间为.

【正确答案】'0,11

【详解】函数有意义，贝II：x>0,且：∕,(Λ)=∣-1>由∙Γ(x)>O结合函数的定义域可

得函数的单调递增区间为(0,1),故答案为(0,1).

II.曲线"x)=e"∣+l在尸-1处的切线方程为一.

【正确答案】χ-y+3=0

【分析】求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可得解.

【详解】解：∕,(x)=et+',

则/'(-1)=1,即切线斜率为1,

又/(T)=2,

所以曲线/(x)=e"∣+l在％=-1处的切线方程为y-2=x+l,

即x-y+3=0.

故答案为.χ-y+3=o

12.计算：C；+C；+C；+C；=.

【正确答案】128

【分析】直接利用组合数的性质和公式求解即可

【详解】解：G+C；+C；+C；=2(C；+C：)

8!

=2x(8+)

3!×5!

8×7×6

=2×(8+3×2'

=2×(8+56)=128

故128

39

13.若函数V=X5+,/+,”在［—2,1］上的最大值为5,则机=,

【正确答案】2

【详解】解：∖∙y'=3χ2+3x,由y'=0得x=0,或x=-l.-l<x<0,y'<0,函数单调递减，x>0或

x<-l,y'>0,函数单调递增

,.*f(0)=m,f(-l)=m+ɪ,f(l)=m+ɪm+ɪ,f(-2)=m-2,

19

Λm+y=-,得m=2.

14.航天员在空间站进行科学实验，要先后实施A,B,C,2E,尸共6个步骤，其中步骤A只

能在第一步或最后一步进行，步骤&C要求相邻，则不同的实验顺序安排方案有

种.(用数字作答)

【正确答案】96

【分析】相邻问题用捆绑，特殊元素特殊安排，根据分步计数原理可得.

【详解】解：首先将步骤B和C捆绑在一起，再和除步骤A之外的3个步骤进行全排列，最

后将步骤A排在第一步或最后一步，

根据分步计数原理可得A；A：A；=96种.

故96.

三、双空题

15.己知函数/(χ)的定义域为R,/(χ)的导函数/'(x)=(x-α)(x-2),若函数/(χ)无极值,

则a=；若42是/(X)的极小值点，则a的取值范围是.

【正确答案】2a<2

【分析】对。进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.

【详解】当"2时，/(x)在区间(-∞,a),(2,÷x>)上/(x)>0j(x)递增，在区间(0,2)上

/(x)<OJ(X)递减./(x)的极大值点为a,极小值点为2.

当α=2时,/(X)=(X-2)2≥0,“X)在R上递增，无极值.

当α>2时，在区间(F,2),(O,M)上/(x)>0j(x)递增，在区间(2M)上

f(x)<O"(x)递减./(力的极大值点为2,极小值点为

故2；a<2

四、解答题

16.在12件产品中，有IO件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件.(写出必要的

数学式，结果用数字作答)

(1)共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？

【正确答案】(1)220

(2)90

(3)100

【分析】(1)由组合数求解

(2)由组合数求解

(3)可先从反面考虑

【详解】(1)从这12件产品中任意抽取3件，共有C：,」=220种

W3×2×I1°

(2)从这12件产品中任意抽取3件，恰有1件次品，

则相当于在10件正品中抽取2件，在2件次品中抽取1件

有G"C=45x2=90种

(3)若抽出的3件中无次品，则有Ci=I20种

故至少有1件次品的抽法有220-120=100种

17.已知函数/(x)=χ3+0χ2+6χ+2在x=—1处取得极值3.

⑴求”，b的值；

⑵求函数〃x)在区间卜2,2］上的最值.

【正确答案】⑴α=l,b=-l

(2)/(χ)的最小值为0,最大值为12

【分析】(1)求出函数/O)的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解“，b的值；

(2)由(1)可得函数/(x)及其导函数，利用导数求出/(x)的单调区间，从而求出极值与端

点处的函数值，从而可得最值.

【详解】(1)依题意，.f'(x)=3χ2+20r+6,因为/⑴在X=T处取得极值3,

仁?[I；+：=。，解得。“

所以b=-∖.

j(-l)=ι+a-b=3

此时f'(x)=3χ2+2x-l=(3x7)(x+l),显然当x<T和无时，∕<x)>0,

当-l<x<g时，∕,(x)<0,故"x)在(-∞-l),(g,+8∣单调递增，在5单调递减,

所以/(x)在X=-1处取得极大值/(-D=3,

所以a=l,b=-∖.

32,

(2)由(1)知，f(x)=x+x-x+2f∕(x)=(3x-l)(x+l),

当—2<r<—1或;<x<2时，用x)>0,当-l<x<;时，∕,(x)<0,

所以f(χ)在12,-1),(12]上单调递增，在(-1,；)上单调递减，

ɔɔ

/(-2)=0,/(-1)=3,="2)=12,

所以f(x)的最小值为0,最大值为12.

18.设函数/(x)=OdnX,其中αwR,曲线卜=”力在点(11。))处的切线经过点(3,2).

⑴求。的值；

⑵求函数f(x)的极值.

【正确答案】(1)4=1

⑵极小值-L没有极大值

e

【分析】(1)由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知

点的坐标可求";

(2)先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解.

【详解】(1)因为/'(x)="lnx+”,贝I」/⑴=OJ'⑴=〃，

故y=∕(χ)在(IJ(I))处的切线方程y=α(χ-l),

把点(3,2)代入切线方程可得“=1；

(2)函数/(X)的定义域为(0,+∞)

由(1)可得r(x)=lnx+l,令r(χ)=lnx+l=O得x=g,

当0<x<∕时，/'(x)<0,函数单调递减，

当x>g时，/^x)>0,函数单调递增，

故当χ=1时，函数取得极小值没有极大值.

e^e√e

19.己知函数/(x)=lnx+or(a∈R).

(1)若曲线y=∕(6在X=I处的切线与直线2χ-y+3=0平行，求α的值；

⑵求函数/(X)的单调区间；

(3)若存在%,使得/(ΛO)>O,求α的取值范围.

【正确答案】(l)α=l

(2)见解析

⑶L

【分析】(1)由导数的几何意义结合题意知，/<1)=2,解方程即可得出答案；

(2)对/(x)求导，讨论αNO和α<0时，即可得出函数"x)的单调区间；

(3)由(2)知，当α≥()时，/(l)=a>O,则存在％,使得f(%)>0,当α<0时,

/(x)∏≡=∕(-1)=ln(-})-l>O,解不等式即可求出α的取值范围.

【详解】(1)直线2》一升3=0的斜率为女=2,

因为/lx)=—+。，所以由导数的几何意义知，Γ(l)=2,

所以l+α=2,解得.々=1

(2)f(x)=lnx+"(α∈R)的定义域为(O,÷oo),

XX

当时，∕gx)>°,则/(X)在(0,+8)上单调递增，

当“<0时，令/'(x)=0,解得：x=-→0,

令照X)>O,得0<x<—,令r(χ)<0,得x>-：,

所以/(χ)在匕单调递增，在(-1,+8)上单调递减.

综上所述，当时，则/(X)单调递增区间为(0,+8);

当“<0时，∕∙(x)单调递增区间为(0,-£),单调递减区间为,：+/}

(3)若存在吃,使得〃为)>0,转化为证明"x)max>0,

由(2)知，当“≥0时，则”x)在(0,+8)上单调递增，rf∏∕(l)=β>O,

则存在％,使得"与)>o,

当“<0时，f(x)在］θ,-［上单调递增，在(-5+/］上单调递减.

所以70‰=U∣n(Tτ>0,

解得：a>--,因为*0,所以-J<α<O∙

ee

a的取值范围为(-，，+00).

20.已知函数F(X)=XV/.

⑴求曲线y=∕(x)在点(IJ(I))处的切线方程;

⑵求〃x)的单调区间和极值.

(3)若关于X的方程/(X)=左有唯一的实数根，直接写出实数Z的取值范围.

【正确答案】⑴y=L;

e

4

(2)递减区间为(-8,0),(2,+oo)；递增区间为(0,2)；极小值/(0)=0,极大值/(2)=丁；

e

4

⑶Z=O或左>-.

e7

【分析】(1)根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程作答.

(2)利用导数求出函数/(x)的单调区间及极值作答.

(3)利用导数探讨函数/(£)的性质，再结合图形求出％的范围作答.

【详解】⑴函数"x)=x%τ,求导得：/