四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (二)

普通高等学校招生全国统一考试

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合/={-1，°，1},N={x|x=a・6,4,65瓦明，则集合M与集合N的关系是

（）.

A.M=NB.MsNC.M呈ND.MAN-0

x

（2e~',x<2,必出、L

〃x）=:财（/⑵）的值为

2.设[bg3（xT），%之2.（）.

A.0B.1C.2D.3

3,已知命题使sm、=；命题都有，+》+1〉0.给出下列结论：①

命题“PM”是真命题②命题“P5”是假命题③命题'"PF"是真命题；

④命题是假命题,其中正确的是（）

A.②④B.②③C.③④D.①②③

71371

——a—

4.已知。2,%），sina=5,则tan（4）等于（）.

]_,

A.7B.7C.-7D.-7

]_

5.下面是一个算法的程序框图，当输入的工值为3时，输出j的结果恰好是

则？处的关系式是（）.

A.夕=/B.夕=3一'C.歹=3'D.歹=/

6.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，

并且总是保持APLBD1,则动点P的轨迹是（）

A.线段BIC

B.线段BC1

C.BB1中点与CC1中点连成的线段

D.BC中点与B1C1中点连成的线段

7.若函数〃、）=/+*2+云-7在R上单调递增，则实数a,b一定满足的条件是

（）

A.a2-3b<0B.a2-3b>0C.a2-3b=0£）.a2-3b<1

8.已知函数图象,与C：y（x+a+D=ax+a2+1关于直线y=x对称，且图象U关于点⑵

-3）对称，则a的值为（）

A.3B.-2C.2D.-3

9.在数列4｝中必=1，%=%2T则此数列的前4项之和为（）

A.0B.1C.2D.-2

10.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）

_L_L1_1

A.6B.4C.3D.2

11.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中

国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100

学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的

学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅

读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

12.函数/。）=25加一而2》在［0,2五］的零点个数为（）

A.2B.3c.4D.5

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1、已知集合'=件＜》＜4},B=3a-l）（x-3）＜0},则4n8=.（用区间表示）

2、已知集合P={x|Y-2x23},。=32＜》＜4},则尸口。=.（用区间表示）

tana__2

tan（a+火］sinjza+P］

3.已知I,则I4J的值是.

4.设〃x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，/（X）的周期为4,g（x）的周期为2,且/（X）

A:（x+2）,0＜x＜1

________g（x）=」］＜Y＜2

是奇函数.当xe（°，2］时，/（X）=J1-（xT）2,I25＜、一，其中k＞0.若在区间（0,

9］上，关于X的方程/（＞）=8（刈有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

三、大题：（满分70分）

.’4

,“asin4=一

1、在AABC中，已知°=4,C=5,人为钝角，且5,求a.

2、判断函数/（》）=-2》+3在（-00,+00）上是减函数.

3.在四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,平面PAC_L平面ABCD,AB=AD=DC=1,

NABC=NDCB=60°,E是PC上一点.

（I）证明：平面EAB_L平面PAC；

（II）若aPAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A-EBC的体积.

4.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6

组观测数据如表：

£(y.-y)2=3930£(y,-y,)2=236.64

1,线性回归模型的残差平方和£111,e8.0605^3167,

其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=l,2,3,4,5,6.

(I)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程尸bx+a(精确到0.1)；

(II)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为尸0.06e0.2303x,且相关指数

R2=0.9522.

(i)试与(I)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.

(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).

附：一组数据(xl,yl),(x2,y2),•••,(xn,yn),其回归直线尸bx+a的斜率

n__n-

-£(xi-x)(y--y)£仇-%)

1-..........

n_---------------------------------n_

V(x.-x)2*_*_£(y.-y)

和截距的最小二乘估计为1=11,3=y-bK；相关指数R2=i=l

5.已知函数/(x)=sinX-ln(l+x),f\x)为/(x)的导数.

(-1二)

证明：(1)/'(X)在区间’2存在唯一极大值点；

(2)〃x)有且仅有2个零点.

B------------

6.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动

物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，

随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试

验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为

治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白

鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得T分；若施以乙药的白鼠治愈

且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得T分；若都治愈或都未治愈则两种药

均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和B,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，2("°，1，“、8)表示“甲药的累计得分为

，时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则?。=°,P8=L

P：=aPi+bpj+CPM(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=1).假设a=0.5,

夕=0.8.

⑴证明：｛九一P，｝(i=°1，2,…，7)为等比数列；

(ii)求%并根据Pa的值解释这种试验方案的合理性.

参考答案:

一、选择题：

1-5题答案:CCBAC

6-10题答案:AACAD

11-12题答案:CB

二、填空题：

1、(2,3)；

2、［3,4)；

V2

3.而

」有

三、大题：

cosA-—A/I—sin-A——-,-

1、【解】A为钝角，cos/<0,5,由余弦定理a-="+c-2bccos/,

可得a=病.

2、解*/(x)=-2x+3,xe(-oo,+co)

x

任且可、ze(-oo,+oo),有9-x,>0/(xj-/(x2)—(-2x1+3)—(-2x2+3)=2(x2-x,)>0

/(占)>/区),即在区间(-co,+co)内f(x)是减函数

3.在四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,平面PAC_L平面ABCD,AB=AD=DC=1,

NABC=NDCB=60°,E是PC上一点.

(I)证明：平面EABJ_平面PAC；

(II)若APAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A-EBC的体积.

【解答】证明：（I）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）

AZBAD=ZADC=120°（2分）

VAD=DC,，NDAC=NDCA=30°.…（3分）

.•.NBAC=NBAD-NDAC=120°-30°=90°,即ABJ_AC.…（4分）

•.•平面PACJ_平面ABCD,平面PACA平面ABCD=AC,

.,.AB_L平面PAC,…（5分）

又平面ABU平面EAB,

，平面EABJ_平面PAC.…（6分）

解：（II）解法一：由（I）及已知得，在RtaABC中，ZABC=6O0,AB=1,

.,.AC-ABtan60°=M,BC=2AB=2,且ABJ_平面PAC,…（7分）

；.AB是三棱锥B-EAC的高，正APAC的边长为会…（8分）

是PC的中点，.,.SaEAC=i'SZ\PAC亭C"Psin60°得义（《，＞＜孚二...（10

分）

.•・三棱锥A-EBC的体积为VA-EBC/回李国^物界萼xi岑…（］2分）

（II）解法二：过P作POJ_AC于点O,

\•平面PAC_L平面ABCD,平面PACG平面ABCD=AC,

；.POJ_平面ABC,

过E作EFJ_AC于点F,同理得EFJ_平面ABC,

，EF是三棱锥E-ABC的高，且PO〃EF,…（7分）

又E是PC中点，...EF是△POC的中位线，故即至「°

由（I）及已知得，在RtaABC中，ZABC=60°,AB=1,

，BC=2AB=2,AC=AB-tan60°=V3,即正APAC的边长为遥，•••（8分）

3__3

.,.PO=T,故EF=M…（9分）

在RtZiABC中，...a。分）

...三棱锥A-EBC的体积为立谢飞-瓯孝21函也＜＞＜亨x!■乎...（12分）

4.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6

组观测数据如表:

温度x/°C212324272932

产卵数y/y61120275777

_16一]66-6_2

曰Xi=26yj=33£(xj-x)(y--y)=557£(x「x)=84

661

经计算得：x=i,i=i,1=1，i=l，

6_6

£(y-y)2=3930£(y--y.)2=236.64

匕1,线性回归模型的残差平方和匕11,e8.0605^3167,

其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=l,2,3,4,5,6.

（I）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程尸bx+a（精确到0.1）；

（II）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为k0.06e0.2303x,且相关指数

R2=0.9522.

（i）试与（I）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.

（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

附：一组数据（xl,yl）,（x2,y2）,…，（xn,yn）,其回归直线尸bx+a的斜率

n__n

-£（xi-x）（y--y）£仇-%）

1-.........

n_---------------------------------------------------------------n_

Y（x-x）2*-*_£（y.-y）2

和截距的最小二乘估计为1,*v-后；相关指数R2=i=i1

£（X--X）

【解答】解：（I）依题意，n=6,i=i1,….…（2分）

^33-6.6X26=-138.6,…（3分）

.*.y关于x的线性回归方程为y=6.6x-138.6---（4分）

66_

£（y-y；）2=236.64£（y--y）2=3930

（II）（i）利用所给数据，i=l11,i=l1得,

线性回归方程y=6.6x-138.6

6*

£仇』）

i=l

1_=12&4-1-0.0602=0.939E

6_239

£（vj-y）

的相关指数R2=i=l.…（6分）

；0.9398V0.9522,…（7分）

因此，回归方程尸0.06e0.2303x比线性回归方程尸6.6x-138.6拟合效果更好…..…（8

分）

（ii）由（i）得温度x=35°C时,y=0.06e0.2303X35=0.06Xe8.0605-..-..-（9

分）

XVe8.0605^3167,…（10分）

"=0.06X3167590（个）…（11分）

5.所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…5.解：（1）设

1”、1

g（x）=/'（x）,贝产）=5-吠g（x）…nx+而彳

当"4一1'5〕时，g'（x）单调递减，而g'（°）＞°，g'（5）＜°,可得g«）在卜1%）有唯一零点，

设为则当xw（-l,a）时，g，（x）〉0；当I2）时，g，（x）＜0.

mf-i

所以g（x）在（-1"）单调递增，在I'2）单调递减，故g（x）在I'2）存在唯一极大值点，

即/'（X）在卜'3存在唯一极大值点.

（2）/（X）的定义域为（T+8）.

（i）当xe（-L0]时，由（1）知，尸⑴在（T，。）单调递增,而/（°）=°,所以当xe（TO）

时，/（x）＜°,故/（X）在（T，°）单调递减，又〃0）=°,从而％=0是“X）在（TO1的唯一零

点.

xefo,-l

（ii）当I2」时，由（1）知，/'（x）在（0,。）单调递增，在I2）单调递减，而尸（0）=0,

⑶,所以存在I2人使得尸（0=0,且当x€（01）时,fXx）＞0.当r2）

时，/a）＜°.故〃%）在（°，夕）单调递增,在I2）单调递减.

/任）=1—山（1+0＞0xefo,-fo,-

又/（0尸0,.⑶I2）,所以当I2」时，/（幻＞0.从而，/⑴在I2」没

有零点.

（iii）当12」时,/（x）＜0,所以/（x）在12J单调递减而⑶,/（兀）＜0,所

%]

以/3）在12」有唯一零点.

(iv)当、€(兀,+8)时，ln(x+l)〉l,所以/(x)<