内蒙古包头市东河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷

选择题

1.某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）

2.如果关于x的一元二次方程（加-3）/+3x+ff?-9=0有一个解是0,那么根的值是（）

A.3B.-3C.±3D.0或-3

3.在平面直角坐标系尤Oy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的工，得到△

-2

CDO,则点A（-4,2）的对应点C的坐标是（）

A.（-2,1）B.（-2,1）或（2,-1）

C.（-8,4）D.（-8,4）或（8,-4）

4.如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若尸。〃点。，点M在直尺上，

且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10,则点P表示的数是

（）

23

5.三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意

选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（)

A.AB.Ac.AD.2

4323

6.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个

人？设每轮传染中平均一个人传染无个人，可到方程为（）

A.1+2尤=81B.1+/=81C.l+x+/=81D.（1+x）2=81

7.如图，矩形ABCD的对角线AC,交于点O,AB=3,8c=4,过点。作OEL4C,

交AZ）于点E,过点E作斯，垂足为R则OE+EF的值为（）

5555

8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEE测量树的高度AB,他调整自己的位置，

设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点8在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE

=40C/TI,EF=20cm,测得边。尸离地面的高度AC=15”，CD=9m,则树高48为（）

A.4mB.4.5mC.5mD.6m

9.如图，在矩形A3C0中，A8=6,BC=9,E是AB的中点，P是A0边上一点（不与A、

。重合），连接尸C,PE,若/EPC=90°,则尸C的值是（）

B.6&或3&C.6a或3遥D.3或6

10.如图，在△ABC中，AB=AC,点。为线段BC上一动点（不与点8,C重合），连接

AD,作NADEn/BudO。，交线段AC于点E.

下面是某学习小组根据题意得到的结论:

甲同学：LABDsADCE；

乙同学：若AD=DE,则BD=CE；

丙同学：当DELAC时，。为BC的中点.

则下列说法正确的是()

A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确

C.甲和丙同学正确D.三个同学都正确

二.填空题

11.已知至上建』，b+d+f=9,贝ijq+c+e=.

bdf3

12.已知XI，X2是一元二次方程/-2x-3=0的两个根，则X1+X2-的值为.

13.已知反比例函数>=上四•的图象上两点A(-3,ji),B(-1,”).若yi<y2，则〃?

X

的取值范围是.

14.一个口袋中有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，

从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100

次球，发现有70次摸到红球.估计这个口袋中红球的个数为.

15.如图，在菱形ABCD中，AC交BO于点O,DELBC于点E,连接OE,若/BCD=40°,

则/。成>的度数是.

16.如图，将一副三角板按图叠放，则殁的值为

0C

17.如图，点A是反比例函数y=K(x>0)图象上的一点，过点A作无轴于点。，点

C为x轴负半轴上一点且满足。。=2OC,连接AC交y轴于点B,连接AO,若SMOA=

2,则上的值为.

18.如图，在正方形ABC。中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，过

点E作EFLA2于点凡EGLBC于点、G,连接。E,FG,下列结论：

①DE=FG；

②/BFG=/ADE；

®DE±FGi

@FG的最小值为2®

其中正确结论的有.(填序号)

三.解答题

19.(1)解方程：2x(x+1)=尤+1；

（2）已知关于x的方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根.

①求m的取值范围；

②若山为满足条件的最大整数，求方程的根.

20.甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别

为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域

的分界线上，则重转一次）.两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进

行猜测.若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘

的人获胜.猜测的方法从下面三种方案中选一种.

A.猜“颜色相同”；

B.猜“一定有黑色”；

C.猜“没有黑色”.

请利用所学的概率知识回答下列问题：

（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；

（2）如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什

么？

21.2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购

进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256

件，2023年7月份的销售量为400件.

（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每

降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400

元？

22.某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道机、〃之间的距离为

9米，△ABC表示这块空地，BC=36米.现要在空地内划出一个矩形。G8E区域建造花

坛，使它的一边在8c上，其余两个顶点分别在边AB、AC上.

（1）如果矩形花坛的边DG：DE=1：2,求出这时矩形花坛的两条邻边的长;

（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的反?请作出判断并说明理由.

9

23.如图所示的一张矩形纸片ABC。（AO>AB）,将纸片折叠一次，使点A与C重合，再

展开，折痕所交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接和CE.

（1）求证：四边形AFCE是菱形（用两种方法证明）；

（2）过£点作£尸〃CD交AC于点P,试探究ARAP,AC的关系并说明理由（请同学

们将图补充完整之后再答题）；

（3）在（2）的条件下，若BC=3,连接尸尸，求尸尸的长.

---------------&----------，D

BC

F

2023-2024学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题

1.某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）

主箱方向

A._____________________

B.1.............

I

C_________________I

D.

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

________|

［解答］解：从正面看।-----1----------I,

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

2.如果关于x的一元二次方程（加-3）/+3x+ff?-9=0有一个解是0,那么根的值是（）

A.3B.-3C.±3D.0或-3

【分析】把x=0代入方程（"?-3）/+3*+川-9=0中，解关于的一元二次方程，注

意m的取值不能使原方程对二次项系数为0.

【解答】解：把x=0代入方程（m-3）/^左+川-9=0中，得

m*I2-9=0,

解得m=-3或3,

当机=3时，原方程二次项系数加-3=0,舍去，

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成立的未知数的值，就是方程

的解，同时，考查了一元二次方程的概念.

3.在平面直角坐标系xOy中，以原点0为位似中心，把△ABO缩小为原来的』，得到△

2

CDO,则点A（-4,2）的对应点C的坐标是（）

A.(-2,1)B.(-2,1)或(2,-1)

C.（-8,4）D.（-8,4）或（8,-4）

【分析】根据位似变换的性质计算，即可解答.

【解答】解：以原点0为位似中心，把这个三角形缩小为原来的工得到△CD。，点A的

2

坐标为（-4,2）,

则点A的对应点C的坐标为（-4X」，2XJL）或（4义工，-2X1）,即（-2,1）或

2222

（2,-1）,

故选：B.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果

位似变换是以原点为位似中心，相似比为左，那么位似图形对应点的坐标的比等于人或-

k.

4.如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若点Q,点M在直尺上，

且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10,则点P表示的数是

（）

23

【分析】利用平行线分线段成比例定理求解.

【解答】解：：尸。〃跖V,

.0P=0Q=l

"ON0M3"

\'ON=10,

:.OP=^L.

3

故选：c.

【点评】本题考查作图-复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平

行线分线段成比例定理.

5.三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意

选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是()

A.AB.Ac.AD.2

4323

【分析】设三根电线分别为a,b,c,当接上a,b时，小灯泡正常发光，根据题意列出

所有的可能，然后利用概率公式求解即可.

【解答】解：设三根电线分别为a,b,c,当接上a,6时，小灯泡正常发光，

从三根电线中，随意选择两根电线，共有a,b；a,c；b,c三种可能，

其中满足题意的只有一种，

•••能发光的概率是」，

3

故选：B.

【点评】题目主要考查利用列举法求概率，理解题意是解题关键.

6.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个

人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为()

A.l+2x=81B.1+7=81C.1+尤+/=81D.(1+x)2=81

【分析】平均一人传染了无人，根据有一人患了流感，第一轮共有(龙+1)人患流感，第

二轮共有X+1+(x+1)x人，即81人患了流感，由此列方程求解.

【解答】解：x+l+(x+1)x=81,

整理得(1+X)2=81.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方

程求解.

7.如图，矩形ABCD的对角线AC,交于点O,AB=3,BC=4,过点。作

交AO于点E,过点E作垂足为尸，则OE+EF的值为()

A.丝B.建C.卫D.A

5555

【分析】依据矩形的性质即可得到△A。。的面积为3,再根据SAAOD=SAAOE+SAOOE，即

可得到OE+EF的值.

【解答】解：；AB=3,BC=4,

矩形ABCD的面积为12,AC='AB2+BC2=«32+42=5，

.•.AO=OO=AAC=9,

22

•.•对角线AC,BD交于点O,

.♦.△AO。的面积为3,

'：EO±AO,EF±DO,

：.S^AOD=S^AOE+S^DOE，即3=IAOXEO+l-DOXEF,

22

.*.3=AXAXEO+J^X—XEF,

2222

.*.5(EO+EF)=12,

：.EO+EF=1^,

5

故选：C.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对

角线相等且互相平分.

8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，

设法使斜边DF保持水平，并且边。£与点8在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE

=40cm,EF=20cm,测得边DP离地面的高度AC=15，z,CD=9m,则树高42为()

B

卢二*

A

A.4mB.4.5mC.5mD.6m

【分析】先判定△£＞斯和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出3c

的长，再加上AC即可得解.

【解答】解：VZD=ZD,ZDEF=ZDCB,

:.丛DEFs丛DBC,

•DE=CD

"EFBC'

即丝=_L,

20BC

解得：BC=4.5,

VAC=1.5/TI,

AAB=AC+BC=1.5+4.5=6(m),

即树高6m.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质,

比较简单，判定出ADEF和相似是解题的关键.

9.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=9,E是AB的中点，P是AD边上一点（不与A、

。重合），连接尸C,PE,若NEPC=90°,则PC的值是（）

A.3B.6&或3&C.6&或3泥D.3或6

【分析】设PD=x，先根据矩形的性质得到CD=AB=6,AO=8C=9,ZA=ZD=9O°,

再证明NAEP=NCPD,则可证明Rt^APEs^DCP,利用相似三角形的性质得到空=

CD

胆，即业=之，解方程求出X得到，然后利用勾股定理分别计算对应的尸。的长即可.

PD6x

【解答】解：设PD=x,

:四边形A3C。为矩形,

：.CD=AB=6,AD=BC=9,ZA=ZD=9O°,

是AB的中点,

：.AE=3,

'：Z£PC=90°,

ZAPE+ZCPD^9Q°,

VZAEP+ZAPE=9Q°,

：.ZAEP=ZCPD,

LRtAAPEsADCP,

•AP—AEpn9-x—3

CDPD6x

整理得f-9X+18=0,

解得xi=3,无2=6,

经检验，羽=3,&=6都是原方程的解，

即PD的长为3或6,

当PO=3时，PC=^32+62=3V5>

当PO=6时，PC=^/62+62=672.

综上所述，尸。的长为6加或3泥.

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用

图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三

角形的性质时利用相似比进行几何计算.也考查了矩形的性质.

10.如图，在△A2C中，AB=AC,点D为线段3C上一动点（不与点3,C重合），连接

AD,作/AOE=/B=40°,DE交线段AC于点E.

下面是某学习小组根据题意得到的结论：

甲同学：LABDsADCE；

乙同学：若AD=OE,则BO=CE；

丙同学：当。ELAC时，。为BC的中点.

则下列说法正确的是（）

A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确

C.甲和丙同学正确D.三个同学都正确

【分析】在AABC中，依据三角形外角及已知可得/54£>=/。£出，结合等腰三角形易

证△ABOsZ\ocE；结合AD=DE,易证△AB。g△OCE,得到BD=CE；当DELAC

时，结合已知求得/EDC=50°,易证AOLBC,依据等腰三角形“三线合一”得80=

CD.

【解答】解：在△ABC中，

\"AB=AC,

：.ZC=ZB=40°,

VZB+ZBAD=ZCDE+ZADE,NADE=NB=40°,

，ZBAD=ZCDE,

：.AABDs^DCE,

甲同学正确；

:/C=NB,/BAD=NCDE,AD=DE,

：.AABD咨ADCE,

：.BD=CE,

乙同学正确；

当DEL4c时，

：.NDEC=90°,

AZEDC=90°-/C=50°,

/.ZADC=ZADE+ZEDC=90°,

：.AD1BC,

'：AB=AC,

：.BD=CD,

。为BC的中点，

丙同学正确；

综上所述：三个同学都正确.

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相应的判定和性

质是解题关键.

二.填空题

11.已知至/襄］，^b+d+f=9,则a+c+e=12.

bdf3

【分析】根据等比性质计算.

【解答】解：•.•包券屋=1,

bdf3

•a+c+e_4

"b+d+f丁

'：b+d+f=9,

a+c+e=Ax9=12.

3

故答案为：12.

【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比

性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键.

12.已知xi,X2是1元二次方程W-2尤-3=0的两个根，则xi+尤2-尤1。工2的值为5.

【分析】根据根与系数的关系得到处+m=2,XI&=-3,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：X2是一元二次方程f-2x-3=0的两个根，

.•.Xl+X2=2,XIX2=-3,

.*.xi+x2-xi*X2—2+3=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程"2+bx+c=oQW0)的

两根时，Xl+X2=~,X1X2=--

aa

13.已知反比例函数y=上迎的图象上两点A(-3,yi),B(-1,”).若yi〈y2,则加

x

的取值范围是_m>A_.

3-

【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于他的不等式，从而可以求得机的取值范

围.

【解答】解：•・•反比例函数尸上至的图象上两点A(-3,yi),B(-1,>2),yi〈y2,

x

・••反比例函数图象在第二、四象限，

1-3m<0,

解得，m>A,

3

故答案为：

3

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用

反比例函数的性质解答.

14.一个口袋中有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀,

从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100

次球，发现有70次摸到红球.估计这个口袋中红球的个数为14.

【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可.

【解答】解：估计这个口袋中球的数量为6+也=20(个)，

100

20-6=14(个)，

故答案为：14.

【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有

代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

15.如图，在菱形ABC。中，AC交于点O,DE_LBC于点E,连接OE,若/BCD=40°,

则NOED的度数是20°.

【分析】由菱形的性质得OB=O。，CD=BC,再由等腰三角形的性质和三角形内角和定

理得/。3。=/。8=70°,进而由直角三角形斜边上的中线性质得OE=.BD=OB,

2

然后由等腰三角形的性质得/。£2=/。3£=70°,即可得出结论.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，

：.OB=OD,CD=BC,

：.ZCBD=ZCDB=1.(180°-/BCD)=Ax(180°-40°)=70°,

22

'JDELBC,

：.ZBED=90°,

：.OE=^BD=OB,

2

：.ZOEB=ZOBE=10°,

AZOED=9Q°-NOEB=90°-70°=20°,

故答案为：20。.

【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以

及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

16.如图，将一副三角板按图叠放，则世的值为运

0C-3'

【分析】根据三角板的角度可得AABC是等腰直角三角形，设A3=m则BC=m根据

含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得CZ）,进而根据AB〃CD,得出△ABOs

△CDO,根据相似三角形的性质，即可求解.

【解答】解：由于将一副三角板按图叠放，

J.AB//CD,

•AO=AB

"COCD，

•..△ABC是等腰直角三角形，依据题意，设则BC=a,

:・CD=，^a,

.AO-AB-1_V3

••一---■——._.，

COCDV33

故答案为：返.

3

【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

17.如图，点A是反比例函数y=&（x〉o）图象上的一点，过点A作轴于点。，点

x

C为x轴负半轴上一点且满足。。=2OC,连接AC交y轴于点8,连接AO,若&BOA=

2,则上的值为12.

【分析】先求得AD=30B,即可求得SAAOD=3SAAOB=6,然后利用反比例函数系数k

的几何意义即可求得上的值.

【解答】解：轴于点。，

轴，

:.△COB—XCDA,

■OBC0=1

"AD"CD3"

.\3OB=AD,

•'•5AAOD=3SAAOB=6,

S^AOD=—kr

2

：.k=U,

故答案为：12.

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标

特征，得到关于k的方程是解题的关键.

18.如图，在正方形ABC。中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，过

点E作所，A2于点REGL2C于点G,连接DE,FG,下列结论：

®DE=FG-,

@ZBFG=ZADE；

®DE±FG；

④尸G的最小值为2近.

其中正确结论的有①②③④.（填序号）

AD

【分析】连接BE，交PG于点0,由题意得NEEB=NEG3=90°,即可得四边形EEBG

为矩形，得FG=BE,OB=OF=OE=OG,用SAS即可得aABE四△ADE,即可判断①；

根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得/BFG=/AZ)E,即可判断②，延长。E,

交FG于M,交FB于点H,由①得，/ABE=/AOE,根据题意和角之间的关系得OE

±FG,即可判断③，根据垂线段最短得当。ELAC时，DE最小,根据勾股定理得AC=

4V2，即可得FG的最小值为2近，即可判断④.

【解答】解：如图所示，连接8E,交EG于点O,

'JEFLAB,EGLBC,

：.ZEFB=ZEGB=90°,

VZABC=90°,

四边形EFBG为矩形，

：.FG=BE,OB=OF=OE=OG,

:四边形ABCD为正方形，

：.AB^AD,ZBAC=ZDAC=45°,

在△ABE和△AOE中，

rAE=AE

<ZBAC=ZDAC-

AB=AD

.'.△ABE当LADE(SAS),

:.BE=DE,

：.DE=FG,

即①正确；

AABE^AADE,

ZABE=/ADE,

'：OB=OF,

：.ZOFB=ZABE,

：.ZBFG=ZADE,

即②正确，

延长。E,交PG于M,交FB于点、H,

由①得，ZABE=ZADE,

•：OB=OF,

：.ZOFB=ZABE,

：.ZOFB=ZADE,

VZBAD=90°,

：.ZADE+ZAHD=90°,

/.ZOFB+ZAHD=90°,

即/FWH=90°,

：.DE±FG,

即③正确；

：E为对角线AC上的一个动点，

.•.当OE_LAC时，DE最小,

'：AB=AD=CD=4,ZADC=90°,

,4C=VAD2-K；D2=4&，

.*.DE=AAC=2V2>

2

由①知，FG=DE,

...FG的最小值为2加，

即④正确，

综上，①②③④正确，

故答案为：①②③④.

【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理,

解题的关键是掌握这些知识点.

三.解答题

19.(1)解方程：2x(x+1)=x+l；

(2)已知关于尤的方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根.

①求m的取值范围；

②若根为满足条件的最大整数，求方程的根.

【分析】(1)先移项得到2x(x+1)-G+1)=0,然后利用因式分解法解方程；

(2)①直接利用廿一4碇=16-4(m+2)>0,进而得出租的取值范围；

②利用①中所求得出机的值，再代入解方程即可.

【解答】解：(1)2x(x+1)-(x+1)=0,

(x+1)⑵-1)=0,

x+l=0或2x-1=0,

解得：Xl=-1,X2=-；

2

(2)①,・,关于x的方程f-4X+M+2=0有两个不相等的实数根，

・，・廿-4〃。=16-4(m+2)>0,

解得：m<2；

②•：m<2,

・•・加的最大整数值为：1,

当m—\时，

x2-4x+3=0,

(x-1)(x-3)=0,

解得：％1=1，12=3.

【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出机的取值范围

是解答(2)题的关键.

20.甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别

为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域

的分界线上，则重转一次）.两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进

行猜测.若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘

的人获胜.猜测的方法从下面三种方案中选一种.

A.猜“颜色相同”；

B.猜“一定有黑色”；

C.猜“没有黑色”.

请利用所学的概率知识回答下列问题：

（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；

（2）如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什

【分析】（1）利用列表法展示所有9种等可能得结果数；

（2）在表中分别找出“颜色相同”、“一定有黑色”、“没有黑色”的结果数，然后根据概

率分别计算出三个方案的概率，再比较概率大小即可进行判断.

【解答】解：（1）列表如下：

黑白红

黑（里，里）（黑，白）（黑，红）

白（白，黑）（白，白）（白，红）

红（红，黑）（红，白）（红，红）

共有9种等可能的结果：（黑，黑），（黑，白），（黑，红），（白，黑），（白，白），（白,

红），（红，黑），（红，白），（红，红）；

（2）选方案3理由如下：

■:PG4方案）=3=」，P（B方案）=A,p（C方案）=1,

9399

：.P(B)>P(C)>P(A).

；•选方案8,才能使自己获胜的可能性最大.

【点评】本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求

出〃，再从中选出符合事件A的结果数目如然后根据概率公式求出事件A的概率.

21.2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购

进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256

件，2023年7月份的销售量为400件.

(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每

降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400

元？

【分析】(1)设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为尤,根据2023

年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件.列出一元二次方程，解

之取其符合题意的值即可；

(2)设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为(68-45-m)元，月销售量为(400+20m)

件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可.

【解答】解：(1)设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256(1+x)2=400,

解得：xi=0.25=25%,X2=-2.25(不符合题意，舍去)，

答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；

(2)设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为(68-45-/71)元，月销售量为(400+20%)

件，

根据题意得：(68-45-m)(400+20/n)=8400,

整理得：m2-3m-40=0,

解得：力“=8,7〃2=-5(不符合题意，舍去)，

答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

22.某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道相、”之间的距离为

9米，△ABC表示这块空地，3C=36米.现要在空地内划出一个矩形DG8E区域建造花

坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上.

(1)如果矩形花坛的边。G：DE=1：2,求出这时矩形花坛的两条邻边的长;

(2)矩形花坛的面积能否占空地面积的互？请作出判断并说明理由.

9

延长AM交3c于点N,根据题意可得:

AN=9米，DG=MN,AN±BC,再根据矩形的性质可得。从而可得

ABC,NAED=NACB,然后证明A字模型相似△ADES^ABC,从而利用相似三角形的

性质进行计算，即可解答;

(2)设DG=x米，利用(1)的结论可得：AADEsAABC,从而利用相似三角形的性

质可得OE=(36-4x)米，然后根据题目的已知可得36x-47=旦XJLBUAN,进行计

92

算即可解答.

【解答】解：(1)过点A作垂足为延长AM交BC于点M

ANBC

•••9-DG_----2--DfG

936

解得：DG=6,

：.DE=2DG=12,

，这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；

(2)矩形花坛的面积不能占空地面积的互，