平面解析几何 真题训练（解析版）-2023年高考数学考前提分复习（上海地区）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））

专题1.10平面解析几何三大考点与真题训练

考点一：直线与方程

一、单选题

1.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）已知直线的参数方程为

x=3-∕sin20

则该直线的倾斜角为（)

y=2+Zcos70

A.20B.45C.110D.135

【答案】D

【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.

【详解】由参数方程可知：直线斜率4=三=£吗=-1,•••直线倾斜角为135.

x-3-Sin20

故选：D.

2.（2022•上海虹口•统考一模）已知尸是椭圆C：.+q=l与抛物线C∕y2=2px（p>0）

的一个共同焦点，&与C2相交于力，6两点，则线段力徽长等于（）

A.*B.&巫C.ID∙W

3333

【答案】B

【分析】先求得4晒点的坐标，进而求得线段4酹3长

【详解】椭圆G：<+?=l的右焦点坐标为（1，0），

43

则抛物线C2：K=2px（p>0）的焦点坐标为（1,0）,

则］=1，则P=2,抛物线C2：/=4x

解得；或§2

y=­√6y=—√6

131-3

则=M

故选：B

二、填空题

3.(2023•上海静安•统考一模)若直线x+2y+3=0与直线2x+%，+IO=O平行，则这两

条直线间的距离是.

【答案】苧##|6

【分析】运用两直线平行求得R的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】由直线x+2y+3=0与直线2x+冲+10=0平行，

可知加一2x2=0,即m=4,

故直线2x+/沙+10=0为2x+4y+10=0,

直线x+2y+3=0变形得2x+4y+6=0,

故这两条直线间的距离为d=11=2f,

√22+425

故答案为：竽.

4.(2022•上海•统考模拟预测)已知直线/∕αx+(α-l)y+3=042x+ay-l=0,若/K

则实数a的值是.

【答案】q=0或α=T

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得。的值.

【详解】由题意可知4，*故2α+α(αT)=0,即〃+。=。

解得4=0或a=-l.

故答案为：。=0或”=-1

5.(2022•上海徐汇•统考一模)已知正实数满足3α+2b=6,则％+疝不⑤W的

取最小值___________.

【答案】W29

【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.

【详解】设直线3x+2y=6,点P(α∕)在直线3x+2y=6上，且在第一象限，

设点4(0,1),M(a,0),

所以/+Jt∕2+b2-2∕7+l=〃+Jq2+(b-])2=PM+PA,

如图所示,

y∣

3x+2y=6

4O,1)∣P(Q,b)

OΛ∕(α,0/x

点A关于直线3x+2y=6对称的点设为8(肛〃),

n-∖2

---=一24

m3m=一

13

则有网+〃+1=6解得'

29

2n=一

13

所以8w+∕%=nw+尸8,由图可知，当氏P,"在直线X=∙β■时，

29

PM+PB最小,最小值为〃=},

______OQ

即b+y]a2+Ix-2b+∖的最小值为—»

2Q

故答案为：—.

6.(2022•上海青浦•统考一模)在平面直角坐标系中，40,0),B(l,2)两点绕定点P按顺

时针方向旋转。角后，分别到A'(4,4),B'(5,2)两点位置，则CoSe的值为.

3

【答案】--##-0.6

【分析】根据给定条件，求出点用)坐标，再借助几何图形结合二倍角的余弦计算作答.

【详解】依题意，点/在线段A4'的中垂线4上，点他在线段BB'的中垂线4上，

连AB,AB',而A(0,0),3(1,2),A,(4,4),9(5,2),因此IAEI=IABl=百，

而IPΛ,HPA∖,∖PB'∖^PB∖,即—=APB,有ZA'PB1=ZAPB,于是得ABPB,=ZAPA'θ,

直线4过AA中点(2,2),而直线A4,斜率为1,则直线4的斜率为-1,方程为x+y=4,直线

4的方程为x=3,

于是得点P(3,D,令直线4交8B'于点Q(3,2),∣PB∣=7(3-l)2+(l-2)2=√5,PQI=I,

cosZ.BPQ=

忑'

所以COS。=cos2ZBPQ=2cos2ZBPQ-1=2(-^r)2-1=3

5

3

故答案为：∙~

7.(2022•上海奉贤•统考二模)若关于X,N的方程组I；+2}'=：有唯一解，则实数a

[3x+ay=6

满足的条件是.

【答案】a≠6ttftα-6≠0

【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程("-6)y+6=0有唯一解，进而得到实数a满足的

条件

【详解】由]二可得(α-6)y+6=0,

由关于X,y的方程组2)'=：有唯一解，

[3x+αy=6

可得方程(α-6)y+6=0有唯一解，则α≠6

故答案为：a≠6

x12v

8.(2022•上海奉贤•统考模拟预测)直线/的方程为^1=0,则直线/的一个法向

量为

【答案】(L-2)

【分析】根据已知条件，结合行列式的公式，以及法向量的定义，即可求解.

【详解】解：：Λ12V

^1∙=O,

Λ%-l-2y=0,即乂_2)，7=0,则直线的斜率α=；

故直线1的一个法向量为(1,-2).

故答案为：(L-2).

9.(2022•上海虹口•统考二模)设“eR,履R,三条直线4：依-y-2α+5=O,

∕2rΛ+<zy-3a-4=0,l3:y=kx,则4与的交点1倒%的距离的最大值为一.

【答案】5+√2tt⅛√2+5.

【分析】根据直线4与4的的方程易知4山2,而《过定点A(2,5),4过定点3(4,3),得到4

与4的交点，M在以48为直径的圆上，求出圆心和半径，结合％：，=履恒过原点，

即可利用圆心到原点的距离加半径解出.

【详解】因为“xl+(T)xα=0,所以人儿.

而直线43-y-2α+5=O,整理为α(x-2)-y+5=0,

ʌ(X-2=0,fx=2

令<八，解得：<,

[-γ÷5=0[y=5

故《过定点A(2,5),

l2-.x+ay-3a-4=0,变形为x-4+α(y-3)=0,过定点8(4,3),

所以4与4的交点,祉以48为直径的圆上，圆心为(等,早｝即N(3,4),

直径为J(4-2j+(3-5y=2√Σ,故半径为

所以圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=2,

因为小丫=依恒过原点。(0,0),

所以J倒h的距离的最大值为ON的长加上半径，即√(3-O)2+(4-O)2+√2=5+√2.

故答案为：5+∖∣2-

三、解答题

10.(2022•上海•统考模拟预测)如图，OM,QN是某景区的两条道路(宽度忽略不计，

QN为东西方向)，。为景区内一景点，4为道路QN上一游客休息区，已知tanNMON=-3,

OA=6(百米)，值IJ直线O",QN的距离分别为3(百米)，迎(百米)，现新修一条

5

自力经过帮I有轨观光直路并延伸至道路QN于点6,并在8处修建一游客休息区.

(1)求有轨观光直路A8的长；

(2)已知在景点亦正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分

钟，表演时，喷泉喷洒区域以7%圆心，r为半径变化，且力分钟时，r=2JZ(百米)(O≤f≤9,

O<α<l).当喷泉表演开始时，一观光车S(大小忽略不计)正从休息区相(1)中的轨道S4

以正(百米/分钟)的速度开往休息区4问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并

说明理由.

【答案】(1)9√2;(2)喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析

【分析】(1)建立如图平面直角坐标系，易得A(6,0),直线QN的方程为y=-3x,Q(x0,3)

(⅞>0),由点到直线距离，求出。(3,3),从而直线AQ的方程为y=-(x-6),联产方程组

求出8的坐标，由此能求出轨道的长；

(2)将喷泉记为圆P,由题意得P(3,9),生成f分钟时，观光车在线段48上的点逸，则

BC="，O≤f≤9,从而C(-3+f,9τ),若喷泉不会洒到观光车上，则∕V>/对fe[0,9]恒

成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.

【详解】(1)以点妫坐标原点，直线(W为谢，建立平面直角坐标系，如图所示.

则由题设得：A(6,0),直线QV的方程为y=-3x,β(¾,3)(xo>O).

∣3⅞+3∣6√iθ

解得X=3,所以Q(3,3).

√10-5(I

故直线AQ的方程为y=-(x-6),

fy=fx=-3,

由［x+y-3-Λ6=0得|y=9,

即8(-3,9),½AB=7(-3-6)2+92=9√2,

答：水上旅游线A8的长为9√5km.

(2)将喷泉记为圆R由题意可得P(3,9),

生成/分钟时，观光车在线段A8上的点。处，

则BC=石，0≤r≤9,所以C(-3+f,9-r).

若喷泉不会洒到观光车上，则PC?>产对桂［0⑼恒成立，

BPPC2=(6-/)2+r2=2r2-12/+36>Aat,

当f=0时，上式成立，

当r∈(0,9］时，2a<t+--β,f^+γ-6λ∣=6上-6,当且仅当/=3夜时取等号，

tV*Zmin

因为“e(0,l),所以r<PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.

答：喷泉的水流不会洒到观光车上.

【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性

质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.

考点二：圆与方程

一、单选题

1.(2022•上海徐汇•统考一模)已知圆G的半径为3,圆C2的半径为7,若两圆相交，

则两圆的圆心距可能是()

Λ.0B.4C.8D.12

【答案】C

【分析】根据两圆相交圆心距R-r<d<R+r验证各选项即可.

【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距R-r<d<R+/■即4<d<10,仅有C满足，

故选：C

2.(2022•上海黄浦•统考模拟预测)已知圆U一……为参数)，与圆浅

［y=3+5sιn9

于直线x+y=0对称的圆的普通方程是()

A.(x+3)2+(y-2)2=25B.(x-2)2+(γ+3)2=25

C.(x+3)2+(γ-2)2=5D.(x-2)2+(γ+3)2=5

【答案】A

【分析】根据题意得圆C的普通方程为（x+2）2+（y-3）2=25,根据两圆的圆心关于直线产y

=O对称，半径相同，即可解出.

【详解】圆Cf=;??Co："（，为参数）转化为普通方程为（χ+2）2+（—）2=25,

圆心为（-2,3）,半径为5,所以对称的圆的圆心为（-3,2）,半径为5,

故对称的圆的普通方程是（x+3）2+（y-2>=25.

故选：A.

3.（2021•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）已知抛物线C：V=16x的焦点尺材

是抛物线C上位于第一象限内的一点，妫坐标原点，若△。根的外接圆〃与抛物线C的准

线相切，则圆〃与直线χ-√5y-2=O相交得到的弦长为（）

A.2√3B.4C.2√6D.46

【答案】D

【分析】先求出圆。的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆。与直线相交

得到的弦长，得到答案.

【详解】因为△。根的外接圆与抛物线C：V=16x的准线X=Y相切，

所以aOQW的外接圆的圆心到准线/的距离等于圆的半径，

又因为圆心在OF的垂直平分线上，∣0F∣=^=4,

所以圆的半径为6,圆心的横坐标为2,所以圆心的纵坐标为士历7=±4夜,

所以圆心到直线的距离d=I'/=2瓜,

2

所以圆。与直线X-6y-2=0相交得至U的弦长为2√^^=4√^

故选：D.

二、填空题

4.（2023•上海•统考模拟预测）已知双曲线J-y2=ι（α>o）的渐近线与圆

/+/_4>+3=0相切，则。=.

【答案】争#口

【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径可求得。的值.

【详解】由f+y2-4y+3=0得f+（y-2）2=l,所以圆心为（0,2）,半径为1,

双曲线提-丁=1（"0）的渐近线方程为y=±?,即χ±αy=o,

2

因为双曲线*∙-y2=］（">o）的渐近线与圆χ2+y2-4y+3=0相切，

所以/^7=1,化简得3/=1,解得α=且或…喙（舍去）.

√l+α233

故答案为：—.

3

5.（2023•上海•统考模拟预测）已知圆面一般方程为χ2+2x+V=o,则圆面半径为

【答案】1

【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.

【详解】圆Y+2x+y2=0即（x+l）-+y2=1,

所以圆的半径为1∙

故答案为：1

6.(2022•上海普陀•统考一模)设〃zeR.若直线Lx=-I与曲线C“：［X-WL)+(y-机『=1

仅有一个公共点，则机=

【答案】0

【分析】利用圆心到直线/的距离等于圆C”的半径可得出关于实数，"的等式，即可解得实

数机的值.

【详解】圆C,,的圆心坐标为1•,〃？，半径为1,由题意可得勺+1=1,解得〃i=O.

44

故答案为：0.

7.(2022•上海奉贤•统考二模)构造一个二元二次方程组使得它的解恰好

为,I,要求"X,y)=0与g(X,y)=0的每个方程均要出现X,y两个未知数.答:

3x+y-5=0

【答案】2Z1\2

(x-2)λ+(y+l)-10=0

【分析】不妨令F(XM=O为过(1,2)、(3,T)两点的直线，g(x,y)=0为以(1,2)、(3,Y)两

点为直径的圆，即可满足题意.

【详解】过(1,2)、(3T)两点的直线为三二2=手；整理得3x+y-5=0

0,2)、(3,-4)两点间距离为J(3-I)2+(-4-2)2=2√10

(1,2)、(3,T)两点的中点坐标为(2,-1)

则以(1,2)、(3,T)两点为直径的圆为(χ-2)2+(y+l>=10

则可令/(x,y)=0为3x+y-5=0,g(x,y)=0为(X-2)2+(y+l)2=10

3x+y-5=0

故答案为：2(2

(X-2)λ+(y+l)λ-10n=0λ

8.(2022•上海黄浦•上海市光明中学校考模拟预测)设有直线/：辰+y-3=0,/的倾斜

角为α.若在直线/上存在点A满足IoAI=2,且tana<0,则上的取值范围是.

【答案】y)+∞

.7

【分析】设4(x,y),易得f+V=4,再根据在直线/上存在点A满足∣Q4∣=2,圆心到直线

的距离不大于半径求解.

【详解】解：设A(χ,y),因为网=2,

所以一+丁=4,

因为在直线/上存在点A满足|。4卜2,

所以圆心到直线的距离不大于半径，

3C

即dj=≤2,

√1+k2

解得k≥且或£4-正，

22

又因为％=-tana>O,

所以人的取值范围是~,+∞.

,>

­故答案为：Γ一√15，+001

9.(2022•上海静安•统考模拟预测)已知双曲线J-g∙=l(α>O,b>O)的两条渐近线均

与圆C:(x-3『+y2=4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为一.

【答案】y-⅛=1

【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦

点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线

中”,仇C三者之间的关系即可求解.

【详解】由题意可知，双曲线U=I(">0,b>0)的渐近线方程为y=±"即bχ±ay=0.

由圆C的方程为(x-3f+y2=4,得圆心为C(3,0),半径为r=2.

因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为(3,0).c=3

又因为双曲线「•多=1（“>°力>°）的两条渐近线均与圆。：（1）2+丁=4相切,

∖3×b±0×a∖即关解得力=.所以。?—

所以=2,1=2,2a?=6=9_4=5,

∖∣a2+b2

所以该双曲线的标准方程为

故答案为：⅜-⅜=ι∙

10.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）若圆。：炉+/=/上有且只有两

点到直线/：3x+4），-15=0的距离为2,则圆的半径，的取值范围是

【答案】l<r<5

【分析】根据题意画出简图，根据图像即可分析出半径，•的取值范围.

卜15|

【详解】圆心0到直线/的距离为=3,

√3M7

如图：与直线/距离为2的点的轨迹是与/平行且与/距离为2的两平行直线（图中虚线44）.

由题意知直线4与圆0有两不同交点，而〃与圆0没有公共点.因此圆0半径，•的取值范围是

l<r<5.

故答案为：1<"5.

11.（2022♦上海•统考模拟预测）设直线系W:（X-I）Cos0+（y-2）sin0=l（O≤g≤2%）,

对于下列四个命题：

①J件所有直线均经过一个定点；

②存在定点P不在，肿的任一条直线上；

③对于任意整数〃（，*3）,存在正A边形，使其所有边均在,冲的直线上；

④,师的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

【答案】②③

【分析】令H一消去凡即可得到直线系M表示圆(X-I)2+(y-2)2=l的切线的

集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④；

【详解】解：由直线系M:(X-I)CoSe+(y-2)sine=l(0≤e≤2τr),

可令［-2=sin∕消去°可得(Al)-+(>-2)-=L

故直线系M表示圆(x-l)2+(y-2)2=l的切线的集合，故①不正确；

因为对任意。，存在定点(1,2)不在直线系〃中的任意一条上，故②正确；

由于圆(X-I)2+(y-2)2=l的外切正"边形，所有的边都在直线系M中，故③正确；

M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等

边三角形ABC和AAE面积不相等，故④不正确.

综上，正确的命题是②③.

故答案为：②③.

三、解答题

12.(2022•上海嘉定•统考一模)如图所示，由半椭圆64+媪=1(”0)和两个半圆

c√(x+ι)2+/=ι(γ>o),C3：(XT)2+y2=ι(y2o)组成曲线c：Fay)=0，其中点A、4依

次为G的左、右顶点，点5为G的下顶点，点耳、鸟依次为G的左、右焦点.若点耳FJ分

别为曲线C2、G的圆心.

(1)求Cl的方程;

(2)若点P、Q分别在G、C?上运动，求|/川+忸QI的最大值，并求出此时点P、Q的坐标;

⑶若点M在曲线c：F(x,y)=o上运动，点N(O,T),求INM的取值范围.

【答案】⑴[+f=l(y≤0)

(2)最大值为6,P

(3)[G-1,夜+1]

【分析】(1)由圆心的横坐标确定C的值，再用C?可得方程；

(2)将忸H,∣8Q∣运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再根据特殊三角形的角度计

算出点尸、。的坐标；

(3)需要分情况讨论，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值

问题可以用参数方程计算.

【详解】⑴依题意，耳(To)、玛(1,0),所以从=4-1=3,

(2)由对称性，不妨设PeC?,QeC3,

网+∣Bβ∣≤(跖∣+∣耳H)+(∣B闾+∣取2∣)=(2+l)+(2+l)=6,

当B、耳、P三点共线，同时B、F2、。三点共线，(怛P∣+忸QlL=6,

此时qP=/OF2Q=煞{|,抖β[∣4}

(3)曲线UF(x,y)=0关于y轴对称，不妨设点〃在曲线C?:(X-I)2+y2=l(y≥0)

或曲线Cl的右半部分9+1=l(xzθ,yVO)上运动.

①当点M在曲线(X-I)2+V=I(y≥0)上运动，

设M(COS6+1，Sine),O<θ<π,

|NM「=(CoSe+I)?+(sinJ+。？=3+2√Σsin,+(),Q<θ≤π

=≠>∣∕VM∣2∈[l,3+2√2]=≠>∣∕VM∣∈[1,√2+∣];

②当点M在曲线[+[=1(；^0,^^0)上运动，

设M(2cosO,Ksin。)，-^≤Θ≤0.

∣NΛ∕∣2=(2cos(9)2+(bSine+I)。=-sin20+2√3sin(9+5,-^≤θ≤0

=>∣ΛΓM∣2∈[4-2√3,5]=>∣7vM∣∈[√3-1,√5],

综合①②，WMe[6τ,3+l].

【点睛】圆锥曲线的组合曲线的问题，一般都需要采用分类讨论的方法，与圆有关系的问

题一般都考虑几何法优先.

22

13.(2022•上海徐汇•上海中学校考模拟预测)椭圆C：*■+方=l(α>8>0)的离心率为

乎，以椭圆冰上顶点7为圆心作圆Ax2+(ʃ-l)2=r2(r>0),圆7与椭圆疏第一象限交于

点/,在第二象限交于点8.

(1)求椭圆C的方程；

⑵求7⅛∙T8的最小值，并求出此时圆的方程；

⑶设点尸是椭圆注异于4砒一点，且直线为，外分别与谕交于点肌N,妫坐标原点,

求证：QMHoM为定值.

【答案】(D^+y2=l

4

∕c∖162(1∖2112

⑵一W，X+(y-l)=—

(3)证明见解析

【分析】(1)求出力的值，根据e=£,从而求出椭圆的方程即可；

a

(2)A(χ,χ),8(f,y),求出TA∙TB的表达式，根据二次函数的性质求出其最小值，从

而求出A点坐标；

(3)设P(X。,%),则用的方程为y-%=止&∙(χ-%),分别求出W,%的值，从而证

xo~x∖

明IOM∙∣oM为定值.

【详解】⑴解：由题意知，b=i,e=3=B,所o2-c2=ι,£=3,

a2a-4

得/=4,¢2=3,⅛2=1,故椭圆曲方程为£+丁=1.

4

(2)点/与点狭于斓3对称，设A(Aχ),B(-xl,y,),由点/在圆6±,则#=4-4犬，因为

T(O,1),得7½=(x∣,y-l),ra=(-Λ1,y,-l)

所以7)Vr6=-x；+(X-I)2=5,4)-£，由题意得°<X<∣

当)i=(时，7¾∙TB取最小值此时入：=4-合，XI=怨'

，又点力在圆7±,代入圆的方程，得尸=也

ʌ1IO

故圆质方程是Y+(y-l)'=罢.

(3)证明：设P(χ°,%),则为的方程为y-χ>=&z21∙(χ-%)

r~—1.

令χ=0,得加=%-S压=辽生，同理W=XOY+M)'o

⅞+∙^ι

故%，①因为R/都在椭圆。上

所以"4,"4，代入①可得:

U即得IOMHOM=M∙%∣=ι.

IyM/1=

考点三：圆锥曲线

一、单选题

22

1.(2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)已知椭圆与+与=1(°>6>0)的左

右焦点分别为6,后，椭圆存在一点P,若NKPB=I20,则椭圆的离心率取值范围为

/"

C∙亭）D∙［界］

【答案】C

【分析】设IPKl=4,IPF21=4,根据椭圆的定义和余弦定理得4Y-4c2=化，再根据基本

不等式和离心率公式可得结果.

【详解】设∣P-l=q,∖PF2∖=r2,则〃+与=24,

r2+r2-4f∙2

在△耳PB中，COS120

2在

所以42+∕f-4c'2=F4,

22

所以（4+r2）-2rlr1-4c=-rlr2,

所以荷-松=穆,

因为24=q+4≥2/1,当且仅当4=4=。时•，取等号，

所以.，

所以4/-4M≤/,所以3∕≤4∕,

所以∙⅛≥2,所以e=f≥虫，又0<e<l,

a24a2

所以且≤e<l.

2

故选：C

2.（2022•上海浦东新•统考一模）已知平面直角坐标系中的直线4：y=3x、3y=-3χ.

设到4、4距离之和为2p，的点的轨迹是曲线G,八4距离平方和为2P2的点的轨迹是曲线

C2,其中Pi、。2>。.则G、g公共点的个数不可能为（）

Λ.0个B.4个C.8个D.12个

【答案】D

【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线G为矩形，曲线G为椭圆，

通过联立方程组求曲线C∣、g公共点的个数.

【详解】由题意，直线《与直线4相互垂直，设曲线G上的点为（x,y）,满足

-+

I+∣7Γδ"=2P∣，BPlɜɪʃl+lɜɪʃl=2>∕i0pl,

则当3x-y>O,3x+y>0时，X=巫网;

当3x-y>O,3x+yv0时，y=-^∕↑Opι；

当3x-y<O,3x+y>O时，ʃ=7∣(jpl；

当3x-"0,3x+y<0时，X=-巫P

31

所以曲线G是以半R、-半R，J记R］、-MpJ为顶点

的矩形,

22

设曲线G上的点为(Ey),满足=2p2,BPy'+9x<=↑0p2,所以C?的

22

轨迹为椭圆y+9x=IOp2,

'=叵r-

当P；>P?时.，联立“一亍Pl可得y2=l0%-10rt=<0,方程组无解，即直线犬=亚月与

223

y+9x=∖0p2

2

椭圆/+9/=10八没有交点，同理可得X=-半pl与椭圆y+9/=10%没有交点，

联立卜2=可"，八可得9/=102-IO4<0,方程组无解，即直线y=J16p∣与椭圆

y+9x=IOp2

『2+9/=K)也没有交点，同理直线y=-√i5p∣与椭圆步+9/=10生没有交点，所以曲线G、C2

公共点的个数0,

√io_√io

当P；=P,时，联立X=亍"可得y?=10%τo∕=o，所以「=亍"，即直线

22

y+9X=IOp2y=0

X=萼Pl与椭圆>2+9/=10八有一个交点，同理可得X=-半Pl与椭圆/+9√=102有一个

交点，

联立卜：可"，八可得9/=100-104=0,解得［=°,即直线y=Ji6p∣与椭圆

y+9x=IOp2［y=√10p1

丁+9-=10也有一个交点，同理直线产一版用与椭圆/+9/=10八有一个交点，所以曲线G、

α公共点的个数4,

CY=-√-w-Γ)LX-ViθJJ„i

当P；<P2时.，联立3p'可得y2=ιθ0-∣θ/>o,所以3JJ________,即直线

22

r+9x=IOp2[y=±λ∕10p2-IOpl

X=乎Pl与椭圆丁+9d=100有两个交点，同理可得X=_半P1与椭圆/+9√=102有两个

交点，

联立上2=严Ws可得9χ2=ιo?-Io4>0,解得，即直线「IN"1。"与椭圆

U+9x=1°%[y=^Pl

/+9χ2=10%有两个交点，同理直线y=-Mp∣与椭圆V+9-=10八有两个交点，所以曲线C1、

G公共点的个数8,

故选：D

二、填空题

3.（2023•上海•统考模拟预测）双曲线V-1=1的焦点为.

[答案】（土括,（））

【分析】根据双曲线的方程求“，Ac,进而可得焦点坐标，注意焦点所在的位置.

【详解】由题意可得：α=l∕=2,c=√TT*^=石，且双曲线的焦点在对⅛上，

故双曲线χj:=l的焦点为卜石,0）.

故答案为：（±√5,θ）.

4.（2022•上海•上海中学校考模拟预测）在平面直角坐标系χ6>y中，动点尸在椭圆

三+匕=1上，点M是OP的中点，过点M作直线/（和直线OP不重合）与椭圆相交于Q,

43

R两点，若直线OP,。。的斜率分别为占、J且MR=IQM,则匕心的值是.

3

【答案】一##-0.75

4

【分析】分别设。（占,χ）,R（X2，必），M（x0,y0）,则P（2x°,2%）.将P,Q,R点的坐标分别代

入椭圆方程，结合已知MR=gQM,即可推得64（3x：+4y；）+9（3x：+4y：）-48（3x/+4yM=300,

4

整理可得不用=-§%%,即可求出答案.

【详解】设点Q（X，%）,R（X2,%），M的坐标为（xo,%）,则点P（2∙⅞,2%）.

则:%⅞=^'∙

因为点尸在椭圆上,所以管+母=1,即α+*3.

33

所以％一%=二6-占），%-%=］（%-%），

serl8383

所以Z=WXo-Wx,,y2=-y0--y].

又Q，R在椭圆上，

所以有3x：+4y；=12,34+4y；=12,

代人有38TJ+z⅜L∣yJ=12,

22

展开得64(3X：+4yθ)÷9(3x1+4γl)-48(3"+4y0yl)=3∞,

即64x3+9x12-48(3AOX+4%y∣)=300,所以3x0x∣+4为χ=。,

4

所以玉Λ=-1%X∙

所以也=及住=g=廿=£.

⅞%%玉-ʌʃoʃi

故答案为：1

222

5.(2023•上海•统考模拟预测)已知椭圆?+表∙=l(8>0)与双曲线3∙-y2=ι(α>o)有公

共的焦点，尸为右焦点，。为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于P点，且点P在第一

象限，若OPLFP,则椭圆的离心率等于.

【答案】B

2

【分析】(1)联立直线方程OP和O,求得点P的坐标，然后将点P代入椭圆方程

—+⅛=l(⅛>0),化简整理，即可求得本题答案.

4b/

【详解】设椭圆的右焦点为尸(G0),依题意可得C?=”从=/+],

双曲线，•-V=l(α>O)的一条渐近线为y吟

因为。P"L∕rP,所以"∖y=-4(∕-c),

YCl2C

,_XX-ɔZ2、

由)'=£,解得“一+1,即PW7，$,又点尸在椭圆上,

/∖ac(α"+l矿+1J

[y=-α(x-c)ʃ=—-1J

≡<÷⅛=1'即条+金”即WL竿=43

即加一涉4_]]从+12=0,ap⅛6-⅛4-(⅛4+ll⅛2-12)=0,

即bi(⅛2-l)-(⅛2-l)(⅛2+12)=0,BP(⅛2-l)(⅛4-⅛2-12)=0,

BP(⅛2-1)(⅛2+3)(⅛2-4)=O,解得〃=]或加=4(舍去)，

所以椭圆方程为E→y2=l,则c=G,所以椭圆的离心率e=电.

42

故答案为：2

2

6.(2022•上海•统考模拟预测)已知》为双曲线CJ-B=I3>0")的右焦点，A为双

曲线Ut一点，直线AFLX轴，与双曲线烟一条渐近线交于8,若IABI=IAFI,则。的离心率

【答案】—tttt∣√3

33

【分析】将X=C分别代入双曲线方程和渐近线方程求得IA尸|，忸打，由题意∣8F∣=2∣AF∣,

由此求得c=2"α=√3⅛,从而得离心率.

【详解】由题意得尸(c,0),双曲线的渐近线方程为y=±2χ,

a

由双曲线的对称性，不妨设小加匀为第一象限点，

将X=C•代入双曲线方程L=1,得5爷=1,得y=±q,所以M=

将X=C代入渐近线方程y=gx,得>=个，所以∣/∣=q,

因为IABI=IA尸所以IBFl=2∣AF∣,

所以得c=2b,所以α=√?万=回，

aa

所以双曲线的离心率为e=£=半=挛.

a6b3

故答案为：—.

3

7.(2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)

正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系χC>y中，把到定点耳(-〃,0),6(a,0)距离之

积等于/(α>0)的点的轨迹称为双纽线C.已知点尸(/,八)是双纽线一点.下列说法中

正确的有________.①双纽线C关于原点。中心对称；(2)-^≤y0≤p③双纽线C上满足

IP国=IPKl的点P有两个；④∙IPOI的最大值为缶.

【答案】①②④

【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将(-苍-丫)替换方程中的(χ,y)进行

判断，对于②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得IP耳I=IpEI,从而可得

点尸在y轴上，进行可判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.

【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系Xoy中，把到定点耳(-a,O),尸式〃,0)距离之积

等于"2(α>0)的点的轨迹称为双纽线C,

22222

所以y∣(x+a)+yy∣(x-a)+y=a,

用(-x,-y)替换方程中的(x,y),原方程不变，所以双纽线C关于原点。中心对称，所以①正

确，

对于②，根据三角形的等面积法可知JP用IP用SinNKP^=gx2ɑx∣%∣,

即1%I=ISinN耳桃W,所以q≤%≤∙^,所以②正确，

对于③，若双纽线C上的点P满足I=IP用，则点尸在y轴上，即X=0,

所以产"曲号=后,得尸。，所以这样的点P只有一个，所以③错误，

对于④，因为PO=；(P"+P6)，

所以IPor=：(PZ+2PK∙P巴+卜司)=；(IPE(+2卜H∙IP勾CoSNEP鸟+卜W2),

由余弦定理得4/=忖6『-2|PKHPHCOSN-/^+卜尼『，

所以Poj=a2+1PKHPqCOSNGPK=“2+/cosNGPg≤2/,

所以IPol的最大值为亿，所以④正确，

故答案为：①②④

8.(2022•上海金山•统考一模)已知抛物线yJ2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则P的

值为.

【答案】4

【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得P值.

【详解】因为抛物线∕=2px(p>0),

所以抛物线的焦点坐标为(5，o),

又因为抛物线√=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),

所以勺2,则p=4.

故答案为：4.

9.（2022•上海浦东新•统考一模）已知抛物线C：V=16x的焦点为尸，在C上有一点尸满

足IP尸∣=∣3,则点尸到X轴的距离为一

【答案】12

【分析】由条件结合抛物线的定义求出点P横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可

求点尸到刷的距离.

【详解】因为抛物线C的方程为>∙2=16Λ-,所以其焦点F的坐标为（4,0）,其准线方程为X=Y,

设点P的坐标为（为,%）,因为IPFl=I3,所以点P到准线X=Y的距离为12,即玉,+4=13,

所以%=9,因为点P（七,几）在抛物线J2=16X上，

所以yj=16χ9=144,所以%=±12,

所以点P的坐标为（9,12）或（9,T2）,故点P到X轴的距离为12.

故答案为：12.

10.（2022•上海奉贤•统考一模）已知双曲线的中心在原点，焦点在X轴上，它的渐近

线方程为y=±2χ,则它的离心率等于.

【答案】√5

【分析】利用双曲线的性质和。，Ac之间的关系即可求得离心率.

【详解】由已知双曲线的渐近线方程为y=±^x=±2x

a

所以b=24,故6=4CJ=c2-a2

所以¢2=5/,故e2=<=5

a

所以离心率e=√5

故答案为：√5

三、解答题

11.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）有一正方形景区EFG”,EH所

在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F点的垃圾回收站或公路EH上的流动垃圾

回收车，于是，景区分为两个区域Sl和邑，其中Sl中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，邑中

的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内》和邑的分界线为曲线C,现如图所示建立平面直角

坐标系，其中原点。为EF的中点，点F的坐标为