福建省部分学校2024届高三年级上册12月月考数学试题（含答案）

福建省部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={冗|兀2一工一6<0},3={-3,-2,0,2,3},则Ac3=()

A.{-3,—2,0,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2,3}D.{0,2}

2.复数z=*在复平面内对应的点位于()

4+31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知a=0.9",6=logi.,c=k)g[2,则()

533

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

4.若某等差数列的前3项和为27,且第3项为5,则该等差数列的公差为()

A.-3B.-4C.3D.4

5.在AABC中，角AB,C的对边分别是a,b,c,若3a=46,A=2B,则cos3=()

A.-B.-C.-D.-

3384

6.已知/'(X)是奇函数，且在[。,+8)上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在(-8,0)

上单调递增的是()

A.g(x)=/(%)-/(-%)B.g(x)=〃x)+/(-x)

C.g(^)=/(2-r-2^)D.g(%)=/(-%)-/(%)

7.己知抛物线C:V=6x,过点A(4,2)的直线/与抛物线C交于M,N两点，若MA=AN，

则直线/的斜率是()

A.-B.-C.-D.-

3432

8.已知函数〃x)=2(x-l)e-f一般在R上单调递增，则。的最大值是()

A.0B.-C.eD.3

e

二、多选题

9.若函数〃x）=2sin]£x_?J则（）

B.〃x）的图象关于点弓,。]对称

A.的最小正周期为10

C./（x）在/，工）上有最小值

D.的图象关于直线对称

10.设a,6eR,若4/+匕2=1,则（）

A.ab>—B.2a+bW应

4

11、3

C.4。+廿W2D.-；-----1—；N—

a~+lb2+l2

11.己知直线/：2+（加一2）>+2=0与圆x2+/—4x+6y—23=0,点尸在圆C上,

则（）

A.直线/过定点（1,1）

B.圆C的半径是6

C.直线/与圆C一定相交

D.点尸到直线/的距离的最大值是6+百

12.已知函数f(x)=|log2同尤e（-1,0）1（0,4],若关于X的方程〃力=。有3个实数

解玉，巧，x3-且玉<%<W,贝!I（

B.%%工3的取值范围是（-1,

A.%+4xj的最小值为4

」一+」一的最小值是

C.%+%+%的取值范围是0,4]D.+313

三、填空题

13.若向量〃、b为单位向量，且卜+26卜近，则向量々与。的夹角为.

14.的展开式中，含产项的系数是.（用数字作答）

15.已知5由（0+：）=3$111（0—兀），则tan2a=.

22

16.过双曲线0.-2=1（〃>0,6>0）的右焦点工作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,

八।一।乙au

且c的左顶点为B,\AB\=^――,则c的离心率为

四、解答题

试卷第2页，共4页

17.在锐角ASC中，内角A,B,C的对边分别为a,4c,已知缶sinC-c=O.

⑴求A；

(2)求2j5sinB-2sinC的取值范围.

18.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰

富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重(单位：克)，将得到的数据

按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分成五组,绘制的频率分布直方

图如图所示.

OjO18**•••**

0.012

O.OOH

口』」!』力.贩卜成./Ji

(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数;

(2)现采用分层抽样的方法从质量在［40,50)和［70,80］内的板栗中抽取10颗，再从这10

颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗(质量N70克)的个数为X,求X的分

布列与数学期望.

19.如图，在三棱柱ABC-A用G中，44jJ■平面ABC,ABC是等边三角形，且Z)为

棱的中点.

(1)证明：平面CGD.

(2)若244,=3AB,求平面4(。与平面夹角的余弦值.

20.已知点月(-1,0),月(1,0),动点M满足用+|“用=4,动点M的轨迹记为£

⑴求E的方程；

⑵过点尸?的直线/与E交于48两点，。为坐标原点，求Q4B面积的最大值.

21.设数列｛%｝的前兀项和为S“,q=；,且。“+。汹7T=a“_i(”22,"eN+).

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵设b„=(-1严(2n+3)a„a„+1,求数列也｝的前n项和T„.

22.已知函数/'(无)=sinx+xt

⑴求曲线y=在点(0J(0))处的切线方程，

(2)证明：/(x)>-^.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】根据一元二次不等式的解法求得A={H-24X43},结合集合交集的运算，即可求

解.

【详解】由不等式V-x-6=(x+2)(x-3)W0,解得一2WxW3,所以A=3卜2Vx<3},

又由8={-3,-2,0,2,3},所以AB={-2,0,2,3}.

故选：C.

2.A

21

【分析】根据复数的运算法则，求得z=(+gi,结合复数的几何意义，即可求解.

（l+2i）（4-3i）4-3i+8i_6i2_2J_.

【详解】由复数z=（4+3i）（4-3i）-~16-9i2~-5M

4+31

所以复数z在复平面内对应的点为该点位于第一象限.

故选：A.

3.D

【分析】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断

瓦c的范围，即可得答案.

【详解】因为V=0.9、为R上的单调减函数，》=1。82羽》=1。83%为(0,+劝上的单调增函数,

故0<0.9门<0.9°=l,log1-=log23>l,log12=-log32<0,

533

所以6>a>c,

故选:D

4.B

【分析】由等差数列的性质求解即可.

【详解】设该等差数列为{4},则4+%+%=3%=27,则出=9,

所以公差4=%-。2=5-9=-4.

故选：B.

5.B

【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知识求得正确答案.

答案第1页，共13页

【详解】因为A=26,所以sinA=sin23=2sinBcos及

因为1^7=」^，所以a

----，所以cosB=--

sinAsmB2sinBcosBsinB2b

因为31"所以则a与=|.

故选：B

6.D

【分析】根据奇函数的定义与性质，及单调性的定义与性质判断即可.

【详解】由题意得“X)在(-8,0)上单调递减，则y=〃-x)在(-8,0)上单调递增,

对于A,因为y=/(x)与y=-/(-x)均在(7,0)上单调递减,

所以g(x)=/a)-〃-x)在(-e，。)上单调递减，故A错误;

对于B,g(-x)=/(-x)+/(x)=g(x),则g(尤)为偶函数，故B错误；

对于C,g(-2)=/(2--22)=/(-1)=/(2-'-2)=f

因为所以4一9〉/[一野,即g(-2)>g(—l),故C错误；

对于D,g(-%)=/(%)-f(-%)=~g(%),则g(x)为奇函数，

y=f(-x)与y=-/(%)均在(-8,0)上单调递增，

则g(x)=/(-^)-/(x)在(一双0)上单调递增，故D正确.

故选：D.

7.D

【分析】设河(石,乂),双(马,%),由题意可得A为脑V的中点，然后利用中点坐标公式和斜

率公式可求得结果.

【详解】设学(程弘),N(出,%)，则y：=6为，¥=6%,

因为MA=AN，所以A(4,2)为MN的中点，

所以％+%=4,

/「％一%Xf6=3

故直线/的斜率xt-x2y；_£x+%2.

故选：D

答案第2页，共13页

8.A

【分析】结合导数，将f(x)在R上单调递增转化为了'(x)=2xe、-2x-恒成立，再参变

分离，转化为“42双工-2%恒成立，即求出2xe，-2x的最小值即可得.

【详解】由题意可得/'(力=2屁，-2龙-。，

因为在R上单调递增，所以/''(X)=2xe“-2x-a2。恒成立，

即。42W工-2元恒成立，

设g⑺=,贝！］g'(x)-(2x+2)ex-2,

当尤＜0时，g'(x)＜0,当尤＞0时，g'(x)＞0,

则g⑺在(一双0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

故g(XU=g(O)=O,即aW0・

故选：A.

9.AD

【分析】由正弦型函数的周期公式可求A,通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦

函数的图象与性质可判断C.

T=—=10

【详解】二，A正确.

5

因为/13=25由1-器)片0,所以/CO的图象不关于点1,0＞寸称，B错误.

因为/件］=2sing=2,所以的图象关于直线x=?对称，D正确.

UJ24

若则由y=sinx的图象可知，

答案第3页，共13页

/(x)在[0,彳)上有最大值，没有最小值，C错误.

故选：AD.

10.BCD

【分析】利用基本不等式即可判断AB；利用二次函数的性质判断C；利用1的妙用结合基

本不等式可判断D.

71

【详解】,.,4。2+方2=1,/.l=(2a)"+Z?2>2x2axb=4ab,§P<—,

当且仅当2a=6=变时，等号成立，故A错误；

2

(2a+Z?)=4a2+b2+4ab<l+4x—=2,当且仅当2a=6=时，等号成立，

•*--y/2<2a+b<y/2，故B正确；

,/4a2+b2=1,/.4。+/=4。+1-4/=-4(。-1)2+2<2,

当且仅当a=g,b=。时，等号成立，故C正确；

V4a2+b2=l,：.(4(Z2+4)+(&2+1)=6,4a2+4>0,ZJ2+1>0,

.••1—+，一=:+，—」「(4/+4)+(/+1)][+，一]

a2+lb2+l4a2+4b2+16L」(4/J+4b2+l)

1<4(/+1)4a2+41、-/4(」+i)4/+4)3

6(4/+4b2+l)6(V4a2+4b2+\J2

当且仅当。=。力=±1时，等号成立，故D正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可.

【详角军】直线/：mx+(m-2)y+2=0,即〃?(x+y)-2y+2=0

\x+y=0\x=-l/、

由-2,2=0'解得=1，则直线/过定点（T/），故A错误;

圆C：Y+y2—4%+6y—23=0,即(％—2>+(y+3)2=36,

则圆c的圆心坐标为C（2,-3）,半径为6,故B正确；

因为点（-1,1）与C（2,-3）的距离为d=7（2+1）2+（-3-1）2=5<6,

答案第4页，共13页

则点（T,l）在圆C的内部，所以直线/与圆C一定相交，故C正确；

点尸到直线/的距离的最大值是1+5=6+5=11,故D错误.

故选：BC.

12.BCD

【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算可得七七=1，X2+%=0,结合函数图象以

及基本不等式即可求解ABC,利用导数求解函数的单调性，即可求解D.

【详解】作出人力的大致图象，如图所示.

a=-log,(-Xj)=-log2x2=log2x3,其中马©(1,4],所以。e(0,2],

贝!J%£1一1一：,x2e；/)，.X3=1.所以.+4%；N2,&NW=4,

4

当且仅当％=4七=一,即1=2时，等号成立，但2任A错误.

%2

当了£(-1,0)(0,1)时,/(尤)=随2同是偶函数,则3+%2=°，

x

所以玉％2退=再《一1，一；，\+x2+x3=x3e(l,4],B,C均正确.

因为----1=1+三=1+4,所以

xrx3XxX2玉工2%3%2

11

-------------1---------+----%+后+蛆

XX

再入3\2x3x3

设函数g(无)=1+尤2+3(1<Xw4),贝ljg'(x)=2X-4=2X：16

当l<x<2时，g'(x)<0,当2<x44时，g'Q)>0,所以gOU。=g(2)=1+4+8=13,D

正确.

故选：BCD

⑶7

答案第5页，共13页

【分析】由平面向量数量积的运算性质可求得cosa,6的值，结合向量夹角的取值范围可求

得结果.

【详解】因为向量a、6为单位向量，且卜+2*疗，

I|2.2.-.2--)

贝“a+2Z?=a+4a-b+4b=5+4a2=7,可得。•力=—,

所以，侬卜给=矗1

2*

因为无，故(4,»=三，即向量£与6的夹角为

故答案为：y.

14.-12

【分析】利用二项展开式的通项公式，求出V系数.

【详解】,-3展开式的通项"=(-2y.

令6—4厂=2,得r=1,

贝/=_2XC"2=_12%2.

故答案为：-12

3

15.—/—0.75

4

【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得tana,再由二倍角的正切公式求解.

5元7T71

[详解]*«*sin(a+-)=sin(2兀+—+<7)=sin(—+a)=cosa,

sin(6Z-7i)=sin[-(7i-a)]=-sin(兀-a)=-sina,

/.cosa=-3sina,tana=—,

2tana3

tanla=

1-tan2a4

3

故答案为：：

16.2

【分析】利用数形结合的方法，找出凡瓦。之间的等量关系式，利用解方程的方法即可求出

双曲线的离心率.

【详解】设。为坐标原点，C的焦距为2c.过点A作A"垂直于无轴，垂足为

答案第6页，共13页

易得M4=关/="]。4卜亚『二证『=后丁=•，

所以|AH||O6|=|AOM4二|AH卜?，

2

由OAH,0%4可得|。4|2=|0同.|6闾,即|0叫=幺，

所以怛*=°+幺=JABF-1AW『="曲,得c+a=61>,

所以（c+a）2=3〃=3（c2—1），故e=：=2.

故答案为：2.

17.呜

⑵（。，应）

【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角分析求解；

（2）利用三角恒等变换整理得20sinB-2sinC=2sin18-：j结合正弦函数的值域求解.

【详解】（1）因为亚asinC-c=0，由正弦定理可得0sinAsinC-sinC=0，

因为一MC为锐角三角形，可知Ce[o,]],

则sinC>0,所以sinA=立,

2

且Ae]o,],所以A=:.

（2）因为A=J,可知8+C=^,即。=塞一2,

444

答案第7页，共13页

71

0<B<-

7兀兀

且,ABC为锐角三角形，贝。交，解得:〈8〈不

0<»<四42

I42

又因为2血sinB-2sinC=2y/2sinB-2sin（A+B）

=2^2sinB-2sinB+cosB=s/lsinB-叵cosB=2sin（B-—

I22JI4

由殳<B（殳，可知0<8-工〈巴，则sin（3-：]e[o，¥,

4244k4>I2J

所以2®sinB-2sinCe（0,®）.

18.（1）57.5

Q

（2）分布列见解析，|

【分析】（1）先通过分析确定中位数在［50,60）内；再设中位数为机，列出方程求解即可.

（2）先根据分层抽样确定从质量在［40,50）内的板栗中抽取6颗，从质量在［70,80］内的板栗

中抽取4颗；再写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式

可得出答案.

【详解】（1）因为（。。08+0.018）*10=0.26<0.5,

0.26+0.032x10=0,58>0.5

所以该板栗园的板栗质量的中位数在［50,60）内.

设该板栗园的板栗质量的中位数为加，

贝U（根一50）x0.032+0.26=0.5,解得m=57.5,

所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.

（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在［40,50）内的板栗中抽取10x001f2=6

颗，从质量在［70,80］内的板栗中抽取10x而署京=4颗.

X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

P—。）=苣q,p（x=i）=臂吟

jo14jo

答案第8页，共13页

12C*Ci4

P(X=2)=-^=*P(X=3)=铲

Jo/jo35

P（X=4）咯1

Jo2W,

从而X的分布列为

X01234

18341

P

14217352W

iQaJiQ

故石(X)=0x—+lx——+2x—+3x——+4x——=-

v714217352105

19.(1)证明见解析

⑵等

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证；

（2）以。为坐标原点，以。氏。仁。2所在直线分别为*,%2轴，建立空间直角坐标系，利

用两平面夹角的向量法求解.

【详解】（I）由三棱柱的性质可CC]

*/AA,_L平面ABC,；.CC[-L平面ABC,

ABu平面ABC,CC]-LAB,

•。为AB的中点，且.ABC是等边三角形，；.CDLAB,

•/CD,CC】u平面CC/,CGCD=C,

：.钻1平面。。]。.

（2）取A由的中点2,连接。R,由题意可得。民。C,。，两两垂直，

以。为坐标原点，以。氏。。,£）2所在直线分别为％y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

答案第9页，共13页

设48=2,44,=3,

则A(-1,0,0),B(l,0,0),C(0,6,0),D(0,0,0),A(-1,0,3),Q(0,疯3),

故AB=(2,0,0),ACX=(1,y/3,3),D4,=(-1,0,3),DC=(0,后0),

设平面A。。的法向量为〃=(%,%,zj,

n•DA=-x,+3z1=0

则r，令%=3,得”=(3,0,1),

n•DC=\j3yl=0

设平面ABG的法向量根=（%2，%*2），

m-AB=2x=0「_l

则?厂，令%=J3,得"=(0,坦,一1),

m-AC}=x2+V3y2+3z2=0-

设平面A.CD与平面ABC,夹角为e,

n-m1A/10

则cos^=cos(

V10x220

即平面ACD与平面ABC1夹角的余弦值为强.

20

(2)i-

【分析】（1）根据椭圆定义可确定椭圆的长轴长以及焦距，进而求得从，即得答案.

（2）首先设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，由此求得弦长，结合原点到

直线的距离，即可求得面积表达式，然后换元，利用函数的单调性，即可求得答案.

【详解】⑴因为|吗|+|5|=4＞阳同=2,所以E是以小工为焦点，且长轴长为4的椭

答案第10页，共13页

圆.

22

设E的方程为鼻+斗=1（。＞匕〉0）,贝！J2a=4,可得a=2.

ab

又椭圆焦距为2c=l,/.c=l,所以/=/—02=3,

r23v2

所以E的方程为土+匕=1；

43

（2）由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/:%=纱+1,4（%,乂）,3（心％），

x=my+1

联立炉产整理得（3病+4）9+6阳一9=0,

——+—=1

143

则A=(6m)2-4(3m2+4)x(-9)=144(m2+l)>0,

6m9

M+%=一，%必=一

3m2+43m2+4

由弦长公式可得|=J疗+1E-%|=.

12(m2+l

3m2+4

点。到直线/的距离d=-/=L，贝/Q4B的面积S=3A2"=虫卫,

2113m2+4

6t_6/_6

设力=，疗+1,也1，贝11-3,2一1）+4-3/+1-3.+1，

t

因为此1,y=3，+l在工+◎上单调递增，