第六章弯曲应力1

第六章梁的应力§6-1梁横截面的正应力和正应力强度条件§6-2梁横截面的切应力和切应力强度条件§6-3薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析§6-4提高梁承载能力的措施１.纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无切应力的弯曲）。剪力“Fs”——切应力“t”；弯矩“M”——正应力“s”2.横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF

梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有切应力的弯曲）。一、纯弯曲和横力弯曲的概念§6-1梁横截面的正应力和正应力强度条件二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：

由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。1、观察实验：abcdabcdMM2、变形规律：(2)、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。(1)、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长

根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层--------称为中性层

。中间层与横截面的交线－－中性轴（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。ＢAabcd4、纵向线应变的变化规律

（纵向线段的变化规律）dxyoo1abcd中性层中性层曲率半径——横截面上各点的纵向线应变与它到中性轴的距离成正比ＢAabcd4、纵向线应变的变化规律

（纵向线段的变化规律）dxyoo1在弹性范围内，（二）物理关系：

abcd中性层由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。——横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化中性层曲率半径梁弯曲时横截面上正应力分布图：MZyσmaxσmax中性轴的位置？中性层——横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化yxMZ（中性轴z轴为形心轴）（y、z轴为形心主轴）yzdAsdA——弯曲变形计算的基本公式（三）、静力平衡条件由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。M梁横截面上内力已知：纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式。

弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，下拉上压；当M<0时，上拉下压。梁的抗弯刚度。ÞzEIyxMZyzAσ将上式代入式得：——弯曲变形计算的基本公式反映梁变形的剧烈程度中性轴

z

为横截面的对称轴时称为截面的抗弯截面系数yzzybh梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式中性轴z不是横截面的对称轴时OzyytmaxycmaxM纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式：几种简单截面的抗弯截面系数⑴矩形截面⑵圆形截面zybhyzd⑶空心圆截面(4)型钢截面：参见型钢表式中DOdyz几种简单截面的抗弯截面系数三、纯弯曲理论的推广横力弯曲时1、由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。

平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。1m2mBA还能用吗？纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式实验和弹性理论的研究结果表明：对于细长梁（跨高比l/h>5），剪力的影响可以忽略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。Fl4lF弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆)三、纯弯曲理论的推广例：厚为t=1.5mm的钢带，卷成直径D＝3m的圆环。。求：钢带横截面上的最大正应力解：1）研究对象：单位宽条2）曲率公式：3）求应力：例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：№10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求最大拉、压应力应力：σcmaxσtmax例图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作弯矩图2、查型钢表得56号工字钢3、最大正应力为

12.521166560za

M375kN.mB5

m10

mAF

Ca点处的正应力sa例图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。也可根据正应力沿梁高的线性分布关系来求

12.521166560zaa点处的正应力sa

M375kN.mB5

m10

mAF

C四、梁的弯曲正应力强度条件材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax为充分发挥材料的强度，最合理的设计为zhM弯曲正应力强度条件

1、强度校核——

2、设计截面尺寸——

3、确定外载荷——[]ss£max；[]

maxsMWz³[];

maxszWM£解：1、求约束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[s]=160MPa,求：Fmax

5F/2F/2Mmax=0.5F3、强度计算h2、画M图，求Mmax≤MZystmaxsCmax例图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力Fa

（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核（1）计算简图（2）绘弯矩图解：B截面：C截面：（5）结论:轮轴安全Fb解：1)求约束反力例、T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[

t]=30MPa，

[

c]=60MPa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，试校核此梁的强度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）画弯矩图

——定危险截面3）求应力B截面—（上拉下压）MC截面—（下拉上压）为什么？y

2y

1CCzy

2y

1CCzC截面—（下拉上压）:1m1m1mABCD4)强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k

N

mMB截面—（上拉下压）:最大拉、压应力不在同一截面上y1=52mm，y2=88mmy

2y

1CzA1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论——对z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：x

2.5kNm-4k

N

mM1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kNy1y2z例：图示槽型截面梁，Iz=100×106mm4，y1=200mm，y2=50mm，[st]=45MPa，[sc]=120MPa。校核梁的强度。70kNm10kN2m2mABC解