2024年中考数学几何模型归纳：全等模型-倍长中线与截长补短模型（教师版）

专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三

角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1•倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1,在三角形A8C中，为8c边上的中线.

证明思路:延长AD至点E,使得AD=DE.若连结BE,则ABDE=ACDA；若连结EC,则AABD=AECD；

图3

2、中点型:如图2,C为A3的中点.

证明思路：若延长EC至点尸，使得CF=EC,连结AF,则ABCEMAACF；

若延长。C至点G,使得CG=DC,连结BG,则AACDwABCG.

3、中点+平行线型：如图3,A6〃CD,点E为线段AD的中点.

证明思路：延长CE交A3于点尸（或交84延长线于点厂），则△田CMAEAE.

例1.（2023•江苏徐州•模拟预测）（1）阅读理解：

如图①，在.ABC中，若AB=8,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

可以用如下方法：将△ACD绕着点。逆时针旋转180。得到△EB。，在△ABE中，利用三角形三边的关系即

可判断中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：如图②，在&ABC中，。是3c边上的中点，DE上DF于点D,DE交AB于点E,DF交

AC于点连接政，求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，ZS+ZD=180°,CB=CD,ZSCD=100°,以C为顶点作

一个50。的角，角的两边分别交A3、AD于E、P两点，连接收，探索线段BE,DF,斯之间的数量关

系，并说明理由.

（图①）（图②）（图③）

313

【答案】（1）-<AD<—；（2）见详解；（3）EF=BE+DF,理由见详解

22

【分析】（1）根据旋转的性质可证明ADC=EDB,AC=BE=6,AD=ED,在aABE中根据三角形三边

关系即可得出答案；（2）延长FD至M,使DF=DM,连接BM,EM,可得出=根据垂直平分线的

性质可得出=利用三角形三边关系即可得出结论；

（3）延长AB至N,使BN=DF,连接CN,可得=证明，NBC二,FDC,得出CN=CF,NNCB=/FCD,

利用角的和差关系可推出NECN=50o=£CF,再证明一NCE三.FCE,得出EN=EF,即可得出结论.

【详解】解：（]）^AD=ED,CD=BD,ZADC=Z.BDE

ElADC=.EDB^]AC=BE=5,AD=ED

在△ABE中根据三角形三边关系可得出：AB-BE<AE<AB+BE,即3<2AD<13

团3;<AO<139故答案为：313

2222

（2）延长FD至M,使DF=DM,连接BM,EM,

同(1)可得出CF=3M,SFD=MD,FD±DE^EF=EM

在△BEM中，BE+BM>EMSBE+CF>EF；

(3)EF=BE+DF,理由如下：延长AB至N,使BN=DF,连接CN,

0ZABC+ZD=180°,ZABC+ZNBC=180°回ZNBC=ZD

0NBC=.FDC回CF=CN,NNCB=ZFCD

0/BCD=100°,ZFCE=5000ZECN=50°=ECF

0_NCE土FCE(SAS)@EN=EF

国EF=EN=BE+BN=BE+DF回EF=BE+DF.

【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三

边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形.此题结构精巧，

考查范围广，综合性强.

例2.(2023・贵州毕节•二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1,0A8C中，若AB=5,AC=3,求8c边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到

了如下的解决方法：延长到点E,使请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.

(2)如图2,AD是EIABC的中线，8E交AC干E,交AD于F,MAE=EF.请判昕AC与8尸的数量关系，并

说明理由.

【答案】⑴见解析(2)AC=8F,理由见解析

【解析】(1)解：如图，延长到点E,使。E=A£>,连接BE,

AD=DE

在AAOC和AEOB中回=/即3,0AAOC0AEDB(SAS).EIBE=4C=3.

CD=DB

^AB-BE<AE<AB+BE^\2<AE<8.0A£=2A£@1<A£»<4.

AA

JE

:D__s—c

（2）AC=BF,理由如下：延长A。至点G,GD=AD,连接BG,

AD=DG

在AAOC和AGOB中，＜NADC=NGDB,B^ADC^^GDB（SAS）.SBG^AC,SG^DAC..

BD=CD

^AE=EF^AFE=BFAE.SEDAC=SAFE=WFGSEG=^BFGS]BG^BF^AC=BF.

【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长4。到点E,使。E=AD

构造全等三角形是解题的关键.

例3.（2022•山东•安丘市一模）阅读材料：如图1,在ASC中，D,E分别是边AB,AC的中点，小亮在证

明"三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长。E到点F,使EF=DE,连接CR

图1图2图3

类比迁移：（1）如图2,AD是A9C的中线,石是AC上的一点,8E交于点F，且A£=EP,求证：AC=族.

小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明：如图2,延长至点使MD=FD,连接MC,......

请根据小亮的思路完成证明过程.

方法运用：（2）如图3,在等边A5C中，。是射线2C上一动点（点。在点C的右侧），连接AO.把线段

CD绕点。逆时针旋转120。得到线段。E,E是线段BE的中点，连接。/、CF.请你判断线段。尸与AD的

数量关系，并给出证明.

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=2DF,证明见解析

【分析】（1）延长A。至使MD=FD,连接MC,证明结合等角对等边证明即可.

（2）延长。/至点M,使£＞尸=改以，连接BM、AM,证明△ABMVAACZXSAS）,是等边三角形,

代换后得证.

【详解】（1）证明：延长AO至M,使MD=FD,连接MC.

BD=CD

在，瓦R和VCD”中，\ZBDF=ZCDM,国ABDF迫ACDM,SMC=BF,ZM=NBFM,

DF=DM

SAE^EF,^ZEAF=ZEFA,回/FFA=/RFM,EZM=ZM4C,EIAC=MC,^AC=BF.

(2)线段D尸与A£＞的数量关系为：AD=2DF.

证明如下：延长。尸至点M,使勿'=人欣，连接AM,如图2所示：

回点P为BE的中点，S\BF=EF

BF=EF

在।BFM和AEFD中，如NBFM=ZEFD,回ABFM^AEFD(SAS)

FM=DF

国BM=DE,ZMBF=ZDEF,@BM〃DE回线段。绕点。逆时针旋转120。得到线段。E

0CD=DE=BM,ZBDE=120°,0ZMBD=180°-120°=60°

0ABC是等边三角形回AB=AC,ZABC=ZACB^60°,0ZABM=ZABC+ZMBD=60°+60°=120°

0ZACD=180°-ZACB=180°-60°=120°,^ZABM^ZACD

AB=AC

在tABM和AACD中，0-^ABM=ZACD,回△ABM空△ACD(SAS)

BM=CD

^AM=AD,NBAM=NCAD,0ZMAD=ZMAC^ZCAD=ZMAC+ZBAM=ZBAC=60°

回AMD是等边三角形，^\AD=DM=2DF.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和

性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.

例4.(2022•河南商丘•一模)阅读材料

如图1,在0ABe中，D,E分别是边AB,AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于

第三边的一半”时，通过延长。E到点/，使EF=DE,连接CF,证明HADEEHCPE,再证四边形。是平

行四边形即得证.

ffll图2图3

⑴类比迁移：如图2,是0ABe的中线，BE交AC于点E,交于点RS.AE=EF,求证：AC=BF.

小明发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明：如图2,延长AO至点使MD=FD,连接MC,......请根据小明的思路完成证明过程.

(2)方法运用：如图3,在等边中，。是射线8C上一动点(点。在点C的右侧)，连接40.把线段CD

绕点。逆时针旋转120。得到线段。E.尸是线段BE的中点，连接。F,CF.请你判断线段。尸与的数量

关系，并给出证明；

【答案】(1)见解析(2)线段。/与AD的数量关系为：AD=2DF,证明见解析；

【分析】(1)类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论.

(2)运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论.

(1)证明：如图，延长至使知。=尸£>,连接MC,

BD=CD

在回3。尸和回CDW中，回＜N8DF=ZCDM,

DF=DM

^BBDFWCDM(SAS),^MC=BF,SAE=EF,S3\EAF=SEFA,

^S\EFA=SBFM,EEIM=0MAC,0AC=MC,^AC=BF-,

(2)解：线段。尸与AD的数量关系为：AD=2DF,

证明如下：延长。尸至点使。歹连接3M、AM,如图所示：

团点方为3石的中点，^\BF=EF,

BF=EF

在团3/M和团EFO中，^\ABFM=AEFD,回团8/M回回EFQ(SAS),

FM=DF

田BM=DE,^\MBF=BDEF,BBM^\DE,

团线段CD绕点。逆时针旋转120。得到线段。E,SCD=DE=BM,SBDE=120°,

00A/BD=18O°-120°=60°,EEL4BC是等边三角形，

0A8=AC,EABC=a4CB=60°,0EABM=EIABC+IWBD=60°+60°=120°,

00ACD=180°-EACB=180°-60°=120°,m\BM=SACD,

AB=AC

在0ABM和BACQ中，回|NABM=ZACD,HEABA10EACD(SAS),

BM=CD

EIAM=AD,SBAM^SCAD,EHMA£)=0MAC+l3CAr)=IWAC+l32AM=Eia4C=60°,

EEAMD是等边三角形，EAD=DM=2DF；

【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上,

综合运用相关知识是解题的关键.

模型2.截长补短模型

【模型解读】

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,

可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)。

截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

【常见模型及证法】

(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。

例：如图，求证8E+DC=A。

Dn

方法：①在上取一点儿使得证。E=OC；②在上取一点凡使。尸=OC,证AE=BE

（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等

例：如图，求证BE+Z）C=A。

方法：①延长QC至点M处，使CM=BE,证。M=A。；②延长。。至点M处，使。M=A。，证CM=B£

例L（2023•重庆•九年级专题练习）如图，已知AZMBC,&R42的平分线与回CBA的平分线相交于E,CE的

连线交AP于。.求证：AD+BC=AB.

【答案】证明见解析

【分析】如图，在AB上截取A"=">,证明—ADE^.AHE,再证明—HBE空CBE,可得BC=BH,从而可得

结论.

【详解】证明：如图，在A8上截取A"=A2

AE平分NZM8,ZDAE=ZHAE,AE=AE,:.一ADELAHE,

ZADE=ZAHE,AD//BC,ZADE+ZBCE=180°,

ZA/7E+NBHE=18O。，:.NBCE=NBHE,BE平分NA8C,ZABE=ZCBE,

BE=BE,:.*HBE£CBE,:.BC=BH,AB=AH+HB,:,AB=AD+BC.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条

线段"是解题的关键.

例2.（2023•广东肇庆•校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题:

AA

图2

图4

如图1,在“ABC中，平分ZB4C交BC于点。，S.AB+BD=AC,求证：NABC=2NACB,小明的方

法是：如图2,在AC上截取AE,使AE=AB,连接OE,构造全等三角形来证明.

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法"，那么还可以用“补短法"通过延长线段A3构造全等三角形进

行证明.辅助线的画法是：延长A8至R使BF=,连接”请补全小天提出的辅助线的画法，并在

图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3,点。在ABC的内部，AD,BD,CD分别平分/BAC,ZABC,ZACB,S.AB+BD=AC.求证:

ZABC=2ZACB.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；

⑶小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在jlfiC中，NABC=2NACB,点。在边8C上，AB+BD=AC,那么AD平分NBAC小东判断这个

命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

【答案】⑴8。，证明见解析⑵见解析⑶见解析

【分析】（1）延长A3至足使BF=BD,连接DA根据三角形的外角性质得到NABC=2/斤，则可利用SAS

证明—ADR三.ADC,根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在AC上截取AE,使AE=AB,连接小，则

可利用SAS证明△AOB'ZXAZ汨，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长A5至G,使BG=BD,

连接OG,则可利用SSS证明LADGWADC,根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论.

【详解】（1）证明：（1）如图1,延长A3至凡使BF=BD,连接。歹，则=N产，0

ZABC=ZBDF+ZF=2ZF,回AT>平分/R4C回NB4D=NCW,

团AB+BD—AC,BF=BD,团AF=AC,

AF=AC

在△AD尸和△ADC中，\^BAD=ZCAD,0ADF^ADCCSAS),

AD=AD

团NACB=N产，^\ZABC=2ZACB.故答案为：BD.

(2)证明：如图3,在AC上截取AE,使AE=A5,连接。£

国AD,BD,CD分别平分NBAGZABC,ZACB,

⑦ZDAB=NDAE,ZDBA=ZDBC,/DCA=/DCB,

国AB+BD=AC,AE=AB,⑦DB=CE,

'AB=AE

在J和VXD石中，</DAB=/DAE,回ADB=ADE(SAS),

AD=AD

⑦BD=DE,ZABD=ZAED,国DE=CE,⑦/EDC=/ECD,

®ZAED=2/ECD,国NABD=2NECD,^\ZABC=2ZACB.

(3)证明：如图4：延长A5至G,使BG=BD,连接。G,则NBDG=NAGD,

I?]ZABC=ZBDG+ZAGD=2ZAGD,^\ZABC=2ZACB,团ZAGD=ZACB,

回AB+BD=AC,BG=BD,团AG=AC,回ZAGC=ZACG,⑦ZDGC=ZDCG,团DG=DC,

AG=AC

在△ADG和AWC中，\DG=DC,^.ADG^,A£>C(SSS),SZDAG^ZDAC,即A£>平分NBAC.

AD=AD

【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的

判定定理和性质定理是解答本题的关键.

例3.（2023•广西,九年级专题练习）在四边形A8OE中，C是8。边的中点.

⑴如图（1）,若AC平分SBAE,0AC£=9O°,则线段AE、AB,OE的长度满足的数量关系为；（直

接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分I3&1E,EC平分刻矶），若0ACE=12O。，则线段A3、BD、DE、AE的长

度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

图（1）图⑵

【答案】⑴AE=48+r>£；⑵猜想：AE=AB+DE+^BD,证明见解析.

【分析】（1）在AE上取一点R使A尸=48,由三角形全等的判定可证得AAC2国ACR根据全等三角形的

性质可得BC=bC,^ACB=SACF,根据三角形全等的判定证得ACEflfflCE。，得到E代ED,再由线段的和差

可以得出结论；（2）在AE上取点E使连接CF在AE上取点G,使EG=ED,连接CG,根据

全等三角形的判定证得"CB团0ACF和△ECDHSECG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得ACFG是

等边三角形，就有尸G=CG=^BD从而可证得结论.

【详解】（1）理由：在AE上取一点F,使

0AC平分MAE,SBBAC^FAC.

AB=AF

在EACB和0AC尸中，■ABAC=ZFAC,EBACBEHACF(SAS),0BC=FC,0ACB=0ACF.

AC=AC

EIC是8。边的中点，SBC=CD,ECF=CD.

EEACE=90°,aaAC8+El£>CE=90°,EL4B+E1EC尸=90°,^ECF^ECD.

CF=CD

在EICEP和回CEO中，\^ECF=ZECD,^CEF^\CED(SAS),0£F=ED.

CE=CE

^AE=AF+EF,^AE=AB+DE.故答案为：AE=AB+DE；

(2)猜想：AE^AB+DE+^BD.

证明：在AE上取点B,AF=AB,连结CR在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.

EIC是3£>边的中点，^\CB=CD=^BD.0AC平分EIBAE,00BAC=0MC.

AB=AF

在财CB和财CT中，-ZBAC=ZFAC,00ACB0E1ACF(SAS),

AC=AC

0CF=CB,00BCA=EFC4,同理可证：CD=CG,^DCE=^GCE.

SCB=CD,SCG=CF.EHACE=120°,00BCA+0DCE=18O°-120°=60°,

^FCA+SGCE=60a,EEIFCG=60o,EBPGC是等边三角形，SFG=FC=^BD.

^AE=AF+EG+FG,SAE=AB+DE+^BD.

【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，

能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键.

例4.（2023•广东•九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1,在四边形ABC。中，对角线平分NA3C,

ZA+ZC=180°.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补"可以通过"截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在BC上截取8欣=54,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长54到点N,使得BN=BC,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中佳渔：竹，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2,在（1）的条件下，连接AC,当4MC=60。时，探究线段A3,BC,之间

的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3,在四边形A3CD中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点

。作DEL3C,垂足为点E,请直接写出线段A3、CE、8C之间的数量关系.

【答案】（1）证明见解析；（2）AB+BC=BD；理由见解析；（3）BC—AB=2CE.

【分析】（1）方法1：在3c上截取3M=54,连接AM,得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长54

到点N,使得3N=3C,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题；

（2）延长CB到点P,使3尸=54,连接AP,证明A/XCZAS4。，可得PC=,即尸C=BP+3C=AB+8C

（3）连接BD,过点。作OP_LAC于P,证明ADE4丝ADEC,RtABDF^RtAfiDE,进而根据

BC=BE+CE=BA+AF+CE=54+2CE■即可得出结论.

【详解】解：（1）方法1：在BC上截创1=54,连接。如图.

BD=BD

8□平分/ABC,:.ZABD=ZCBD.在AABD和AMBD中,ZABD=ZMBD,

BA=BM

.-.AABD^AMBD,:.ZA=ZBMD,AD=MD.

ZBMD+ZCMD=18Q),ZC+ZA=180°.：.ZC=ZCMD.DM-DC,DA=DC.

图1图1图2

方法2：延长54到点N,使得BN=BC,连接DN,如图.

3D平分ZABC,:.ZNBD=ZCBD.

BD=BD

在AA®£>和ACBD中，\ZNBD=ZCBD,：.^NBD^ACBD.:.ZBND=ZC,ND=CD.

BN=BC

ZNAD+ZBAD=180°,NC+N&W=180°.:.NBND=NNAD,DN=DA,DA=DC.

（2）AB.BC、2。之间的数量关系为：AB+BC=BD.（或者：BD-CB=AB,BD-AB=CB）.

延长CB到点P,使3尸=54,连接AP,如图2所示.

由（1）可知AD=CD,ZDAC=60°.二AADC为等边三角形.:.AC=AD,ZADC=60°.

ZBCD+ZBAD=180°,ZABC=360°-180°-60°=120°.ZPBA=180°-ZABC=60°.

BP=BA,为等边三角形./.ZPAB=60°,AB=AP.

ZDAC=60°,ZPAB+ZBAC=ADAC+ABAC,APAC=ABAD.

PA=BA

在A^4C和ABAD中，\^PAC=ABAD,..APAC丝ABAD.:.PC=BD,

AC=AD

PC=BP+BC=AB+BC,:.AB+BC=BD.

（3）AB,CE,BC之间的数量关系为：BC—AB=2CE.（或者：BC-2CE=AB,AB+2CE=BC）

解：连接3。，过点。作。尸，AC于尸，如图3所示.

图3

,ABAD+AC=\^,ZBAD+ZMZ>=180°.:.ZFAD=ZC.

'NDFA=NDEC

在AD网和ADEC中，-NFAD=NC,..ADM^ADEC,:,DF=DE,AF=CE.

DA=DC

[BD=BD

在RtAfiZ加和RtABDE中，\RtABDF^RtASDE.:.BF=BE,

DF=DE

BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,:.BC-BA=2CE.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.

课后专项训练：

1.（2023秋・福建福州•九年级校考阶段练习）如图，在0ABe中，AB=4,AC=2,点。为BC的中点，则

的长可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长到E，使。E=A£>,连接8E.证△AOCHaEDB（SAS）,可得BE=AC=2,再利用三角形

的三边关系求出AE的范围即可解决问题.

【详解】解：延长AO到E,使DE=AD,连接BE,

AD=ED

在△AOC和△EOB中，I^ADC=ZEDB,^AD(SSEDB(SAS),0BE=AC=2,

CD=BD

在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即2<2AD<6,解得1<AD<3,故选：B.

【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键.

2.（2022•浙江湖州•二模）如图，在四边形A3CD中，AB//CD,AB1BD,AB=5,皮）=4,CD=3,

点E是AC的中点，则BE的长为（）.

AB

A.2B.-C.J5D.3

2

【答案】C

【分析】延长BE交CO延长线于P,可证求出。尸，根据勾股定理求出8尸的长，从而求

出的长.

【详解】解：延长2E交CD延长线于尸，".,AB//CD,：.ZEAB=ZECP,在△AEB和△(?£1「中，

ZEAB=ZECP

<AE=CE:.△AEB"NEP(ASA)；,BE=PE,CP=AB=5

NAEB=ACEP

又,:CD=3,:.PD=2,团3£)=4团BP=dDP2+BD2=2#)：-BE=』BP=君.故选：C.

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股

定理求出BP.

3.(2022•广东湛江•校考二模)已知：如图，一ABC中，E在8C上，。在班上，过E作于凡

4

ZB=Z1+Z2,AE=CD,BF=飞,则AZ)的长为.

QO

【答案】|/2-

【分析】在E4上取一点T,使得叮=3尸，连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接OK.想办

法证明AT=DK,DK=BD,推出m=47,推出打=AD即可解决问题.

【详解】解：在E4上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.

0BF=FT,NEFB=NEFT=90°,EF=EF,

0_EFBg_EFT(SAS),^EB=ET,ZB=Z£7B,

ElZETB=Z1+ZAET,ZB=Z1+Z2,0ZAET=Z2,

ElAE=CD,ET=CK,团AETgDCK(5AS),

SDK=AT,ZATE=ZDKC,忸NETB=NDKB,

BZB=ZDKB,^DB=DK,SBD=AT,^AD=BT,

QQQ

SBT=2BF=~,SAD=-,故答案为：

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

4.(2023秋・江西九江•八年级校考期末)如图，在ZkABC中，点D是BC的中点，若AB=5,AC=13,AD

=6,则8C的长为.

【答案】2标

【分析】延长AD到E,使。E=AD连接BE.先运用SAS证明她£)03回£1汨，得出BEES.再由勾股定理

的逆定理证明出团54£=90。，然后在0A8。中运用勾股定理求出8。的长，从而得出BC=2BD

［详解］解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.

E

AD=ED

在EADC与团即2中，I^ADC=ZEDB,00ADO30EDB（SAS）,SAC=BE=13.

CD=BD

在0A8E中，AB=5,AE=12,BE=13,^AB2+AE?=BE2,EBBAE=90°.

在B4BO中，回BAO=90°,AB=5,AD=6,SBD=^AB2+AD2=752+62=A/61-EIBC=2府.故答案为：2屈.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等.题中延长

中线的一倍是常用的辅助线的作法.

5.（2023秋・湖北武汉•八年级校考阶段练习）（1）阅读理解：如图1,在ABC中，若钻=3,AC=5.求2C

边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD至E,使/）E=AT）,连接BE.利用全等将

边AC转化到BE,在，中利用三角形三边关系即可求出中线A。的取值范围，在这个过程中小聪同学证

三角形全等用到的判定方法是，中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：如图2,在ABC中，点。是BC的中点，DM±DN.AM交A2于点V,DN交AC于

点N.求证：BM+CN>MN；

（3）问题拓展：如图3,在，ABC中，点。是BC的中点，分别以AB,AC为直角边向,ABC外作RtABM

和RtZXACN,其中/区4M=4AC=90。，AB=AM,AC=AN,连接MN,请你探索A。与MN的数量

与位置关系.

图I图2图3

【答案】（1）SAS,1<AD<4；（2）见解析；（3）2AD=MN,AD±MN

【分析】（1）通过证明VADCAED3,得到£B=AC=5,在/WE中，根据三角形三边关系可得：

BE-AB<AE<AB+BE,即2<AE<8,从而可得到中线AD的取值范围；

（2）延长ND至点、F,使.FD=ND,连接BEMF,通过证明△友力丝△CND（SAS）,得到3尸=C7V,由

DMLDN,FD=ND,得到M尸=MN,在,3旧0中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF；

（3）延长于E,使得£D=AD,连接BE,延长。A交MN于尸，证明△CD4/△B£>E（SAS）得到

BE=AC,ZACD=ZEBD,证明△ABE之ZWlMSAS）得到MN=AE=2A£>,ZBAE=ZAMN,在通过三

角形内角和进行角度的转化即可得到AD，MN.

【详解】（1）解：如图1,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,

AD为BC边上的中线，.•・■8£>=CD,

AD=ED

在A4DC和△EDB中，-ZADC=ZEDB,/.A4DC^A£DS(SAS),.-.EB=AC=5,

CD=BD

在，ABE中，根据三角形三边关系可得：BE-AB<AE<AB+BE,即2<AE<8,

AE=2AD,.-.2<2AD<8,.\1<AD<4,故答案为：SAS,1<AD<4；

(2)证明：如图2中，延长至点/，使FD=ND,连接3尺MF,

ND=NF

.点。是BC的中点，=在VBD厂和中，=

CD=BD

IB△BfD^ACZVD(SAS),0BF=CN,®DM_LDN,FD=ND,0MF=MN,

在，BEM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF,0BM+CN>MN；

(3)解：结论：2AD=MN,AD1MN,

如图3,延长AD于E,使得ED=A£>,连接BE,延长ZM交MN于尸，

BD=CD

点。是2c的中点，,3r>=CD,在8DE和qCZM中，=

AD=ED

「CZM空BDE(SAS),:.BE=AC,ZACD=ZEBD,

AMAN+Z.MAB+ABAC+ACAN=360°,ZBAM=ZNAC=90°,.\ZMAN+ZCAB=180o,

ZBAC+ZASC+ZACB=180°,/.ZMAN=ZABC+ZACB=ZABC+ZEBD=ZABE,

AM=AB

在AMAN和，ABE中，J/MAN=ZABE,ABE^MANIAS),

AN=BE

:.MN=AE=2AD,ZBAE=ZAMN,ZMAF+ZMAB+Z.BAE=180°,ZMAB=90°,

ZMAF+ZBAE=90°,Z.MAF+ZAMN=90°,:.AF±MN,^ADIMN.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等

三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键.

6.(2023•黑龙江大庆•统考三模)如图，四边形ABDE中，ZABD=ZBDE=90°,C为边8。上一点，连接AC,

EC,Af为AE的中点，延长交OE的延长线于点/，AC交团0于点G,连接A暇交CE于点H.

⑴求证=(2)若AB=3C,DC=DE,求证：四边形MGCH为矩形.

【答案】⑴见解析(2)见解析

【分析】(1)证明ABM^EFMQAAS),则浏/=然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到

MB=MD-.(2)由RtABC和RJCDE都是等腰直角三角形得到ZCEZ)=/ACB=-45。，则可得到

NCED=NF,ZACB=NBDM,进而可得CE〃叱，AC//DM,于是可判断四边形MGCH为平行四边形,

加上NGMH=90°,则可判断四边形MGCH为矩形.

【详解】(1)证明：0ZABC=ZCDE=9O^AB//DF^ZABF=ZF,

IBM■为AE的中点，^AM=ME,

ZABF=NF

在，ABM和“EFM中，1NAMB=ZEMF,0,ABM^EFM(AAS)

AM=ME

SBM=MF,回DW为Rt8D厂斜边上的中线回MB=MD

(2)由(1)知AB=EF,又AB=BC,DC=DE,

SBD=BC+CD^AB+DE=EF+DF=DF,0瓦干为等腰直角三角形.

又由（1）知=^\DM±BF,NDBF=NF=NBDM=45,

又RtABC和RtCDE都是等腰直角三角形.0ZCED=ZACB=45,

0ZCEZ）=ZF,ZACB=ZBDM,^CE//BF,AC//DM,El四边形MGCH为平行四边形，

团ZGMH=900平行四边形MGCH为矩形,

【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明

步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键.

7.（2023•广东云浮•八年级统考期中）（1）阅读理解：如图①，在ABC中，若AB=8,AC=5,求8C边上

的中线AD的取值范围.可以用如下方法：将△ACD绕着点。逆时针旋转180得到△EBD,在中，

利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：如图②，在.ABC中，。是边上的中点，DELDF于点、D,DE交AB于点E,DF交

AC于点P,连接E厂，求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=100°,以C为顶点作

一个50。的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF,探索线段BE,DF,跖之间的数量关系，

并说明理由.

【答案】（1）1.5<AE<6.5；（2）见解析；（3）BE+DF=EF,理由见解析

【分析】（1）如图①：将△ACD绕着点。逆时针旋转180得到△£»£>可得BDE=CDA,得出8E=AC=5,

然后根据三角形的三边关系求出AE的取值范围，进而求得AD的取值范围；

（2）如图②：△FDC绕着点。旋转180。得到,ND3可得CFD,得出BN=CF,由线段垂直平

分线的性质得出&V=EF,在BNE中,由三角形的三边关系得出+即可得出结论；

（3）将_。。尸绕着点C按逆时针方向旋转100。得到..BC8可得HBC.FDC,得出

CH=CF,NHCB=NFCD,证出NECH=50。=NEB,再由SAS证明四，FCE,得出EN=EF,

进而证明结论.

【详解】解：（1）如图①：将△ACD绕着点。逆时针旋转180得到

0BDE^CDA（SAS）,S\BE=AC=5,AD=DEAD=^AE

是3c边上的中线，QBD=CD,在"Bf■中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE,

08-5<AE<8+5,BP3<AE<13,01.5<AD<6.5；故答案为L5VADV6.5；

(2)证明：如图②：△FDC绕着点D旋转180。得到，NOB

0BND=tCFD(SAS),0BN=CF,DN=DF0DELDF0EN=EF,

在」由田中，由三角形的三边关系得：BE+BN>EN,S\BE+CF>EF；

(3)BE+DF=EF,理由如下：如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转100。回BDCfl3aBC”,

SCH=CF,ZDCB=NFCH=100。0/HBC=ND,DF=BH

0ZABC+ZZ>=18OO0AHBC+ZABC^Y80°,回点A、B、X三点共线

EIN户CW=100°,ZFCE=50°0ZECH=50°aNFCE=NECH,

CF=CH

在，HCE和△FCE中，<NECF=NECH,HCE吗、FCE(SAS)SEH=EF,

CE=CE

^BE+BH=EH,DF=BH国BE+DF=EF.

图③

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的

性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.

8.（2023•江苏•九年级假期作业）（1）如图1,A。是AABC的中线，延长A。至点E,使瓦＞=4。，连接CE.

①证明AAB。回BEC。；②若AB=5,AC=3,设AD=x,可得x的取值范围是；

（2）如图2,在AABC中，。是BC边上的中点，DE^\DF,DE交AB于点E,。尸交AC于点兄连接EF,

求证：BE+CF>