2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中选出符合题目的一项）

1.瓦-赤+而-灰的运算结果是（）

A-BEB-AOc-0AD-AE

2.若2+ai=b-i,其中a,i是虚数单位，则附加:（）

5

A.0B.2C.—D.5

2

3.设/是直线，a、0是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）

A.若/〃a,/〃0,贝"a〃廿B.若l//a,则/〃0

C.若&_1_0,l±a,则/〃0D.若/〃a,/±p,则

4.设平面向量之=（1,2），b=（x,-3）-若Z底，贝■=（）

Q9

A.-6B.qC.'D.6

23

5.若复数咨-（i为虚数单位，“，人WR且6W0）为纯虚数，则包=（）

4+3ib

A.—B.工C.—D.

3344

6.如题图所示，长方体ABC。-4BGO1的底面ABC。的斜二测直观图为平行四边形A'

B'CD'.已知A'B'=3,B'C=2,A4i=5,则将该长方体截去一个三棱锥A

后剩余的几何体体积为（）

7.已知向量£4满足1手=1，£1=4,且（a+fe）•（2/*=-⑵则£7的夹角为（)

8.复数z在复平面内对应点的坐标为（3,6）,则|z-2i|=（)

A.3B.4C.5D.6

9-已知某圆锥的高为mS,体积为噜/，则该圆锥的侧面积为（）

A.B.3ncm2C.Gncm2D.\2ncm2

10.如图，在aABC中，AB=3ADfCE=ED,设获二W，AC=b^则亚=（）

c-4亭D-/;亭

11.为了测量河对岸两点C,。间的距离，现在沿岸相距2km的两点A,B处分别测得/8AC

=105°,ZBAD=60°,NABC=45°,ZABD=60°,贝ljC,。间的距离为（）

A.&B.2C.4&D.4

12.已知复数z满足|z|=l,则|z+3-4i|（i为虚数单位）的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（本大题共4小题共20.0分）

13.在复平面内，复数z所对应的点为（1,1）.则z・^=.

14.正aABC的边长为2,。为8c边的中点，则标+标的模等于.

15.复数z=（73-i>i+i2002（i为虚数单位），贝悯=.

IT1

16.如图，在四边形ABCD中，AB=8,8c=3,CD=5,ZA=—,cosZADB=—,则^

37

BCD的面积

D

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知向量1=(-3,1),1=(1,-2),3=(1,1).

(1)求向量Z与E的夹角的大小；

(2)若3j_(a+kb)-求实数k的值.

18.已知复数zi=a+3i,Z2=2-出(a€R,i是虚数单位).

(1)若Zi+司在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)若虚数zi是实系数一元二次方程9-6"m=0的根，求实数机的值.

19.如图，在三棱锥4-8C。中，点E,F,M,N分别为相应棱的中点.

(1)求证：四边形EFMN为平行四边形.

(2)若AC=BO=2,EH=J5，求异面直线AC与B。所成的夹角.

20.在锐角△A8C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2csinA=\/5a-

(1)求角C的大小；

(2)若6=2,c珀,求△A8C的面积.

21.设复数z—a1-a-(a-1)i(«ER).

(1)若z为纯虚数，求z・W

(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求。的取值范围.

22.如图，在四棱锥P-A8CD中，PA=PD,底面ABC。是矩形，侧面底面ABCO,

E是AD的中点.

(1)求证：A。〃平面PBC；

(2)求证：A8J_平面PAO

参考答案

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中选出符合题目的一项）

1.瓦-赤+而-灰的运算结果是（）

A.BEb-AOc-0AD-AE

【分析】根据向量和向量加法的几何意义，向反向量的概念即可进行向量的运算.

解：AB-CB+0E-0C=AB+BC+0E+C0=AC+CE=AE-

故选：D.

【点评】考查向量和向量加法的几何意义，以及相反向量的概念.

2.若2+3=匕-i,其中a,bCR,i是虚数单位，则a2+62=（）

A.0B.2C.—D.5

2

【分析】直接利用复数相等的条件列式求得“，匕的值，代入〃+按得答案.

解：\'2+ai=b-i,

♦♦6=2,（i—~~1,

a2+b2—5.

故选：D.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题.

3.设/是直线，a、。是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）

A.若/〃a,/〃0,贝ija〃0B.若&_1_0,l//a,则/〃0

C.若a_L0,/±a,贝D.若/〃a,/±p,则

【分析】由平行于同一直线的两平面的位置关系判断4由直线与平面平行、平面与平

面垂直判断直线与平面的位置关系判断B；由直线与平面垂直、平面与平面垂直判断直

线与平面的位置关系判断C；直接证明D正确.

解：若/〃a,/〃0,则a〃。或a与0相交，故A错误；

若l//a,则/u0或/〃0或/与0相交，相交也不一定垂直，故8错误；

若a，B，/±a,则/〃。或/u0,故C错误；

若/〃a,过/的平面与a相交，交线为惟则/〃利，

又UB，

所以，“J-B，可得aJ_0,故。正确.

故选：D.

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用,

考查空间想象能力与思维能力，是基础题.

4.设平面向量之=(1,2)，b=(x,-3).若则》=()

32

A.-6B.qC.fD.6

23

【分析】根据1//三即可得出-3-2x=0,然后解出x的值即可.

解：；aIIb,

-3-2x=0,解得=­.

x2

故选：B.

【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.

5.若复数至纱(i为虚数单位，a,b€R且0片0)为纯虚数，则包=()

4+3ib

A.—B.工C.—D.卫

3344

【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

解：瑞=需簿翳=瞥若浮为纯虚数'

4a+3b=0,八

则,,即Hn4“+36=0,

4b-3a卉0

故”

故选：D.

【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

6.如题图所示，长方体ABCD-AiB.CiDi的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形A'

B'CD'.已知A'B'=3,B'C=2,A4i=5,则将该长方体截去一个三棱锥A

后剩余的几何体体积为()

A.50B.30C.25D.15

【分析】利用斜二测法画法规则求出长方体的长、宽、高，从而可求出长方体的体积和

三棱锥的体积，进而可求出结果.

解：因为4'B'=3,B1C=2,A4=5,

所以在长方体A8CQ-4B1C1。中，AB=3,BC=4,A4=5,

所以长方体的体积为V=3X4X5=60,

又％A】BD《S"B|DjAAiWx3X4X5=10，

所以长方体截去一个三棱锥4-AS。后剩余的几何体体积为60-10=50,

故选：A.

【点评】本题考查长方体的截面问题，儿何体的体积的求解，属基础题.

7.已知向量;,I满足|；|=1,—=4,且(；+百•(2；-*=T2,则；,石的夹角为()

【分析】根据平面向量数量积的运算法则求解即可.

解：因为向量？，芯满足=芯=4,且(Z+E)•(2彳-百=-12,

所以2/+；-12,可得a・E=2,即cos<a，b>=:[i=J<a，b

IaIlbI2

>G[0,n],

TT

所以<z，b>=^--

o

故选：B.

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，向量的夹角的求法，属于基础题.

8.复数z在复平面内对应点的坐标为(3,6),则|z-2i|=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据题意写出复数z=3+6i,再求z-2i的模长.

解：复数Z在复平面内对应点的坐标为（3,6）,贝Ijz=3+6i,

所以z-2i=3+4i,

所以|z-2«|=^32+42=5-

故选：C.

【点评】本题考查了复数的概念与运算问题，是基础题.

9.已知某圆锥的高为2&CIT，体积为.咚cm3,则该圆锥的侧面积为（）

3

A3兀2

A.—cmB.3jtcm2C.(mem1D.1如CTO2

【分析】先设该圆锥的底面半径与母线长分别为厂，I,再根据题意求得r的值，结合勾

股定理求得/的值，进而即可求得圆锥的侧面积.

解：设该圆锥的底面半径与母线长分别为r,I,

2

由V=yHrX2>/2/当兀,得r=1,

所以132+0点七=3,

所以该圆锥的侧面积S=nr/=3n.

故选：B.

【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题.

10.如图，在△4BC中，AB^3AD,CE=ED,设标=彳，AC=b1则标=（）

A'筋亭B.亭U的亭D.系亭

【分析】因为CE=E£>,所以AE昔AC玲AE，因为48=3A£>,所以AD=^AB*a•代

入化简即可.

■»1»1T

解：因为AB=3A。，所以AD

因为CE=E。,所以标卷正卷元字亭.

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

11.为了测量河对岸两点C,D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A,B处分别测得/8AC

=105°,/BAO=60°,NABC=45°,/48。=60°,则C,。间的距离为（）

D.4

【分析】根据题意，在aABC中由正弦定理求得ZM,在△D4C中由余弦定理求得OC.

解：因为/AB£>=60°,ZBAD=(>0Q,

所以△43。是正三角形,

所以AB^BD=DA=2km,

因为△ABC中，ZABC=45°,ZBAC=105°,

所以NACB=30°,

利用正弦定理得ACAB

sin450sin30

孚=2&,

ABsin45

AC--------T-

sin30

~2

△AC。中，/CAQ=105°-60°=45°,

所以CD2=AC1+Aiy-2AC・AD・cos45°==4,

所以CD=2,即C、D间的距离为2km.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正弦和余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力和分析推

理能力，是基础题.

12.已知复数z满足|z|=l,则|z+3-4i|（i为虚数单位）的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】求出圆心O（0,0）与点P（-3,4）的距离d.可得|z+3-4i|（i为虚数单位）

的最大值为d+r.

解：圆心。(0,0)与点尸(-3,4)的距离”=必+『=5.

••.lz+3-443为虚数单位)的最大值为5+1=6.

故选：C.

【点评】本题考查了复数几何意义、圆的方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力

与计算能力，属于基础题.

二、填空题(本大题共4小题共20.0分)

13.在复平面内，复数z所对应的点为(1,1).则2.

【分析】由复数的几何意义得到z,z，再由复数的运算法则直接求得.

解：由题得：z=l+i,z=l-i，z*z=(1+i)(1-i)=1-i=2-

故答案为：2.

【点评】本题考查复数的几何意义、共轨复数、复数的运算，属于基础题.

14.正△ABC的边长为2,。为8c边的中点，则标+皮的模等于_々_.

【分析】根据题意，由等边三角形的性质可得即可得标•前=0,结合数量积

的计算公式计算可得答案.

解：根据题意，正△ABC中，。为3c边的中点，易得AOLBC,

贝I」有标,前=。，

又由正△ABC的边长为2,则BC=2,

故I标+前F=俞+前2=3+4=7,

则1瓦+立尸我•

故答案为：W.

【点评】本题考查向量数量枳的运算，涉及向量模的计算，属于基础题.

15.复数z=(73-i)计祥助(i为虚数单位)，则

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

解：Z=(«-i)j+z,2002-1+73i+(i4)500-i2=l+V3i-l=V3i-

故IzI=后

故答案为：M.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

TT1

16.如图，在四边形中，AB=8,BC=3,CD=5,/4=—,cosZADB^—,则4

37

BCD的面积为返..

一4-

【分析】由已知可求sin/AOB的值，根据正弦定理即可解得8。的值，利用余弦定理求

得NC的值，再计算△88的面积.

解：△ABD中，因为cos/ADB=工，ZADB&(0,TT),

7

所以sinNADB=41_g)2

BD_AB

根据正弦定理得

sin/Asin/ADB

代入AB=8,ZA=—,解得BD=7；

o

在中，根据余弦定理得

W/C=_BC2©2_BD2=32+52_72尸__1

2BC-CD2X3X52，

OJT

又NC6(0,7T),所以NC=\-；

所以△BCD的面积为

15a

S&BCD=—BC>CD«sinZC=—X3X5Xsin^^=^

2234

【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用问题，是中档

题.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知向量1=（-3,1）,（1,-2）,3=（1，1）.

（1）求向量Z与芯的夹角的大小；

（2）若G+kE），求实数&的值.

【分析】(1)根据题意，设向量之与E的夹角为。，由二三的坐标可得I』、兄|以及7E

的值，计算可得cos。的值，结合。的范围，分析可得答案；

(2)根据题意，求出的坐标，由向量垂直的判断方法可得3。(a+^b)=(-3+k)

+(1-2k)=-2-k=0,解可得/的值，即可得答案.

解：(1)根据题意，设向量？与芯的夹角为。，

向量之=(-3,1),3=(1,-2),

则力E=7-2=-5,lal=V9+l=^.l-0=Vi+4=V5>

ab_______-3-2圾

贝”cos

8-111lbI=V9<LxVw~~

又因为。曰0,n],故8乌L；

4

（2）向量Z=（-3,1）,E=（L-2），3=（L1），

则Z+kE=（-3+k,i-2k）>因为WiG+kE>

c*（a+^b）=（-3+左）+（1-2k）=-2-k=0,

解可得k=-2；

故攵=-2；

故答案为：(1)哥；(2)-2.

4

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及数量积的坐标计算，属

于基础题.

18.已知复数zi=a+3i,Z2—2-ai（a€R,i是虚数单位）.

(1)若Z1+Z2在复平面内对应的点落在第一象限，求实数。的取值范围；

(2)若虚数zi是实系数一元二次方程N-6X+，〃=()的根，求实数〃?的值.

【分析】(1)根据已知条件，结合共钝复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.

(2)将如代入一元二次方程X2-6X+〃?=0,再结合复数相等的条件，即可求解.

解：(1)".'zi—a+3i,Z2—2-ai,

z]+z2=(a+2)+(3+a)i>

•；Zi+Z2在复平面内对应的点落在第一象限,

a+2>0

解得a>-2,

3+a>0'

故〃的取值范围为（-2,+8）.

（2）由z；-6z]+m=0，得（a+3i）2-6Ca+3i）+加=0,

即a2-6。+〃？-9+（6。-18）z=0,

故卜"6a%r9=0,解得卜=3,

k6a-18=0lm=18

故?M=18.

【点评】本题主要考查复数相等的条件，以及复数的几何意义，属于基础题.

19.如图，在三棱锥A-8C。中，点E,F,M,N分别为相应棱的中点.

（1）求证：四边形EFMN为平行四边形.

（2）若AC=BZ）=2,EH=J5,求异面直线AC与8。所成的夹角.

【分析】（1）结合中位线的性质和平行四边形的判定定理，即可得证；

（2）由MN〃AC,MF//BD,知/&WN或其补角即为所求，再由勾股定理的逆定理和平

行四边形的性质，即可得解.

【解答】（1）证明：•••点E,F,M,N分别为相应棱的中点，

J.MN//AC,MN=—AC,EF//AC,EF=—AC,

22

：.MN//EF,MN=EF,

四边形EFMN为平行四边形.

（2）解：I•点E,F,M,N分别为相应棱的中点，

：.MN//AC,MF//BD,且MN=」AC=1,EN=MF=—BD=1,

22

...NFMN或其补角即为异面直线AC与8。所成的夹角，

在AMNE中,有MM+EM=E”，即NMNE=90。,

由（I）知，四边形EFMN为平行四边形，

...NFMN=180°-NMNE=90°,

故异面直线AC与8。所成的夹角为90°.

【点评】本题考查空间中线与线的平行关系、异面直线夹角的求法，利用平移法找出异

面直线所成的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属

于基础题.

20.在锐角△A8C中，角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,已知2csinA=JEa.

(1)求角C的大小；

(2)若6=2,cW7，求△ABC的面积.

【分析】(1)由己知及正弦定理，结合sinAWO,可求sinC的值，结合C为锐角，可求