2023年重庆地区数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.设X〜N（M，b：）,y〜N（〃2,b；）,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是

A.必>〃2，巧>qB.P（X>A）vP（X>〃2）

C.从<〃2，巧>%D.P（Y<^）<P{X<//,）

22

2.已知双曲线C:0-4=1（。>0/>0）的右焦点为尸，。为坐标原点，以F为圆心、（%■为半径的圆与x轴交于O,A

ab

两点，与双曲线C的一条渐近线交于点8,若AB=4a,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±2xc.y=±3xD.y=±4x

ABZAP_AAC

3.在平行四边形48CD中3AC则cosNABO的范围是（）

AD\

一五疔F*a5应

A.B.c.D.

44224248

设a=/（tang],

4.已知/（x）是定义在R上的偶函数，且当％>%>0时，都有，一3\〃〉0成立,

%--%2

/、

b=flog,3,c=/（/」），则a,〃，c的大小关系为（）

\27

A.a<h<cB.c<a<bC.b<c<aD.h<a<c

5.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关

能够闭合的概率分别为0・5和0.7,则线路能够正常工作的概率是（）

A.0.35B.0.65C.0.85D.

6.正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为百，此时四面体ABCD外接球表面积

为（）

A7sH19M「7n1Q

A.---九B.-----JiC.ITTD.\y7i

66

7.在AABC中，a2=b2+c2-bc,则角A为（）

A.30B.150C.120D.60

8.若函数/（£）=履一1旧在区间。,内）上单调递增，则实数攵的取值范围是（）

A.(—oo,-2]B.(—oo,—l]C.[2,+co)D.[1,+co)

9.已知函数人*)=/一ax—1,若/(x)在(-1,1)上单调递减，则a的取值范围为()

A.B.a>3

C.aW3D.a<3

10.下列四个函数中，在区间（0,+8）上是减函数的是（）

A.y-logxB.y=3"C.y=yjxD.y=-

3X

11.若"xe{a,3}”是“不等式2%2-5犬-3'0成立''的一个充分不必要条件，则实数”的取值范围是（）

A.1-8,-g1j[3,+oo）B.（3,+oo）C.（一gD.1一%一3＜J（3,+oo）

12.已知有相同两焦点Fi、F2的椭圆L+y2=l和双曲线土-y2=l,P是它们的一个交点，则AF1PF2的形状是（）

53

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝有三角形D.等腰三角形

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1—az

13.如果复数2=——（aeR）的实部与虚部相等，则。=.

3+4;

14.当国＜1时，等式占=1—x+f+L+（—x）"+L恒成立，根据该结论，当国＜；时，

冗

（l+2r）（I）=%+%*+L+4*”+L,贝!I«8的值为.

15.设“X）是（0,+。）上的单调函数，且对任意xe（0,+8）,都有丹丁（力一。2月=11,若%是方程

/（X）-77x）=8的一个解，且Xoe（a-2,a-l）,（aeN*），则a的值为.

16.（j+x卜2-«）6的展开式中/的系数是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，三棱柱ABC-AAG中，CG，平面ABC,AC±AB,AB=AC=2,CCX=4,。为5c的中点

（〃）求证：Ac〃平面4。用；

（/〃）求平面ADB,与平面ACC.A所成锐二面角的余弦值

18.（12分）已知Z[=5+10i,z2=3-4z\—=—I--，求z.

ZZ]z2

19.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每

天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）

甲部门678

乙部门5.566.577.58

丙部门55.566.578.5

（1）求该单位乙部门的员工人数?

（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A,乙部门选出的员工记为8,假设

所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；

（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查.用

X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

20.（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要

的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在

全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶

图所示.

成绩

52

6378

72666

828

934

（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；

（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人.

①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（XN87）；

②记J表示测试成绩在80分以上的人数，求J的分布和数学期望.

21.（12分）已知函数/（HngV-zM+Sx+oeEH）.

（1）当1=0时,求/（力在［—1,4］上的值域；

（2）若方程/（尤）=2有三个不同的解，求b的取值范围.

x=31t

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为：r。为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy

y=，5+r

取相同的单位长度，且以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为0=2后sin®.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线/交于A,B两点,若点尸坐标为（3,小）,求IPAgPBI的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。

【详解】

由题可得曲线X的对称轴为X=M,曲线y的对称轴为X=〃2，

由图可得从<〃2，由于b表示标准差，b越小图像越瘦长，故0<。2,故A,c不正确；

M

根据图像可知P(X>)=0.5,P(X>〃2)<0.5,P(y<A1)<0.5,P(X<//2)>0.5；

所以P(X>M)>P(X>〃2)，尸(y4〃J<P(X4〃2)，故c不正确，D正确；

故答案选D

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点以曲线所表示的意义，考查正态分布函数中两个特征数均值和方差对曲线的位置和形状

的影响，正态分布曲线关于x=〃对称，且〃越大图像越靠右边，b表示标准差，O•越小图像越瘦长，属于基础题。

2^B

【解析】

取08的中点“，利用点到直线距离公式可求得|切|="根据|AB|=2|F*可得2a='从而可求得渐近线方程.

【详解】

如图，取08的中点”，贝为点尸(。,0)到渐近线/“——=0的距离

yja2+b2c

又尸为。4的中点.•.|A用=2|-77|:.4a^2h,BP：2a=h

故渐近线方程为：y=+2x

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够利用点到直线距离公式和中位线得到。力之间的关系.

3、D

【解析】

AB2ADAAC

利用[7点+773=匚才可得边之间的关系，结合余弦定理可得COSNABO的表达式，然后可得范围.

\AB\\AD\L4C

【详解】

AB2ADAAC.।।一|।,

因为同+国=国，所以|AB|:|44：|AC|=1:2:4；

不妨设।黑卜1,则卜4=2,，4=/1,

AB2ADAACJ2-5

把E两边同时平方可得5+4COSA=42，即cosA=~-；

AB\AD\\AC\4

在AAB。中，co"J-1吗J2-5,所以忸。『=10一；12；

'-44

l+\BD\-47.2

cosNABD=——=

2叫2V10-/L2

产_3[3

令t=，re[76,272],贝！lcosNA80=^^=———,

2t2It

易知y=4一金，为增函数，所以cosNABOe[，5,述].

2It48

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算及解三角形，构造目标表达式是求解的关键，涉及最值问题经常使用函数的单调性或基

本不等式来求解.

4、B

【解析】

通过2\.“一』\2/>0可判断函数在X>0上为增函数,再利用增函数的性质即可得到。，b,c的大小关系.

王一赴

【详解】

由于当王>々>0时，都有了（“）―/（/）>0成立,故f（x）在x>0上为增函数，

士一工2

«=/pan=b=flog,3=/（唾23）,而log23>l>/",所以

I4,VI?

01

/(log23)>/(l)>/U-),故答案为B.

【点睛】

本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中

等.

5、C

【解析】

试题分析：线路能够了正常工作的概率=1-(1-0.5)(!-0.7)=1-0.15=0.85，故选C.

考点：独立事件，事件的关系与概率.

6、C

【解析】

分析：三棱锥B-ACD的三条侧棱底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外

接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.

详解：根据题意可知三棱锥8-ACP的三条侧棱底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展

为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

三棱柱中，底面ABAC,BD=CD=I,BC=B

ZBDC=120°,

：.ABDC的外接圆的半径为-x=1,

2sin120

由题意可得：球心到底面的距离为".

2

，球的半径为r=

V42

7

外接球的表面积为：S=4乃/=44.—=77.

4

故选：C.

点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接

球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.

7、D

【解析】

利用余弦定理解出即可.

【详解】

b1+c2-a21,60

cosA=----------=—=>4=60

2bc2

【点睛】

本题考查余弦定理的基本应用，属于基础题.

8、D

【解析】

试题分析：/'x'=Ar--.•••函数/（力="一Inx在区间（1,y）单调递增，.•.7’%史0在区间（1,+«））上恒成

X

立..•.六二二，而J=二在区间（1，+8）上单调递减，.•.《21..••左的取值范围是［1,欣）.故选D.

XX

考点：利用导数研究函数的单调性.

9、A

【解析】•.,/（x）=x3-ax-L

.\f（x）=3x2-a,

要使/（x）在上单调递减，

则r（x）<0在xe（-1,1）上恒成立，

则3x2-a<0,

即33马在xw（-i,i）上恒成立，

在xG（-lJ）上，3X2<3,

即a>3,

本题选择A选项.

10、D

【解析】

逐一对四个选项的函数进行判断，选出正确答案.

【详解】

选项A：因为底数大于1,故对数函数y=log3X在区间（0,+8）上是增函数；

选项B::因为底数大于1,故指数函数y=3'在区间（o,+a））上是增函数；

选项C:因为指数大于零，故幕函数），=6在区间（0,+8）上是增函数；

选项D;反比例函数当比例系数大于零时，在每个象限内是减函数，故>=,在区间（0,+o。）上是减函数，故本题选D.

X

【点睛】

本题考查了指对幕函数的单调性问题，熟练掌握指对嘉函数的单调性是解题的关键.

11、D

【解析】

由题设24-5。一320,解之得：“23或又集合中元素是互异性可得。。3,应选答案D。

2

12、B

【解析】

根据椭圆和双曲线定义：

22

\PF{\+\PF21=2后|PF,\-\PF21|=26目PF,|+|「乙|=16

又|耳用=4,.•.附产+|?月F=|尸入『；故选B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、7

【解析】

3—4。3a+4

根据复数除法运算可求得Z=~—/，根据实部与虚部相等可构造方程求得结果.

2525

【详解】

\-ai_(l-a?)(3-4z)_3-4a-(3a+4)i_3-4a3a+4.

3+4z—25—25—~2525-/

3-4a_3a+4

25--25-解得：a=7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查根据复数的实部和虚部定义求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算问题，属于基础题.

14、-114.

【解析】

।।x

由可得|2x|<l,卜结合已知等式将代数式(]+[.(]_尸)将代数式展开，可求出％的值•

【详解】

当|x|<g时，得|2.<1,卜丁卜(，

X=rl+(-2x)+L+(-2x)"+L}(1+/+L+%3n+L),

所以(1+26(1-V

所以，4=(—2)+(—2?+(—2)7=—114,故答案为：-114.

【点睛】

本题考查恒等式的应用，解题时要充分利用题中的等式，结合分类讨论求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于

中等题.

15、3

【解析】

先根据题意求/(X)函数解析式，再根据导数研究新函数g(x)=10g2X--、性质，进而确定。的值.

【详解】

根据题意/(X)是(0,+。)上的单调函数，且在定义域内都有/[/(x)-log2x]=11,

则可知/(x)-log2X的值为一个常数C,即/(C)=11,故/(C)=log2C+C=ll,

解得C=8,则函数解析式为/(x)=log2X+8,

/(x)+/'(%)=log2x+8--，=8,即log2x-一二=0,

构造新函数g(x)=log,x---5—=—(Inx--),

xln2In2x

求导得g'(X)=—L(L+-l7)>0,函数g(x)单调递增，

In2xx

因为g(D=-<o,g(2)=l———>0,g(x0)=o,故1</<2,

In221n2

又飞e(a—2,a-l),(aGN),所以a=3.

【点睛】

本题考查求函数原函数和用导函数判断函数单调性，根据函数根的范围确定参数值，运用了零点定理，有一定的难度.

16、243

【解析】

分析：先得到二项式(2-”的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数.

详解：二项式(2-4『展开式的通项为却|=禺26[6)'=26-C；J,(r=0,l,2,,6))

...展开式中V的系数为3X2°XC：+1X24XC；=243.

点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式

“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(n见解析(〃)见解析(/〃)y

【解析】

(I)CC|_L平面ABC,得AA|_L平面45C,从而AAJ_AC,再结合已知可证得线面垂直；

(II)连接4B,与A均相交于点0,连接O。，可证Z)0〃AC，从而证得线面平行；

(HD以A8,A41,AC为x,yz轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面A。片和平面ACG4的法向量,

由法向量的夹角余弦值求得二面角的余弦值.

【详解】

(Z)VCC,ABC,AA|〃CC|

J_平面ABC,

:.AA}A_AC

ACLAB,ABQAA=A

.,.AC_L平面A581A.

(〃)连接A/,与AB1相交于点0,连接OO

•••O是8c中点，。是A]中点，

则DO//A。，

AC平面4081,OOu平面AZ)81

/.A.C平面AOB]

(Z/Z)由(/)知，AC_L平面A58IA，AALAB

则A(0,0,0),B(2,0,0),B}(2,4,0),D(1,0,1),AD=(1，。，1)，Ag=(2,4,0)

设平面404的法向量为〃=则

\n-ADfx+z=O

，即＜

[n-AB1[2x+4y=0

取y=L得〃=(-2,1,2)

平面ACGA的法向量为AB=(2,0,0)

n-AB2

„>=丽丁

2

则平面AZ)4与平面ACG4所成锐二面角的余弦值为,

【点睛】

本题考查线面垂直的判定与线面平行的判定，考查用向量法求二面角.立体几何中线面间的平行与垂直一般用判定定

理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解.

18、5—i

2

【解析】

把Zl、Z2代入关系式，化简即可

【详解】

1^1।1zl+z2,z，Z4_(5+10i)(3_4i)_55+10i_(55+10i)(8-6i)_55,

22

z%z2z(z2'zt+z2(5+10z)+(3-4z)8+6i8+62

【点睛】

复数的运算，难点是乘除法法则，设=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),

则Z1Z2=(a+bi)(c+di)=ac—bd+[ad+bc^i,

Z]a+bi(a+bi)(c-di)(ac+bd)+(bc-ad)i

22

z2c+di(c+Jz)(c-cZz)c+d

2

19、(1)24人；(2)-；(3)X的分布列见解析；数学期望为1

【解析】

(1)分层抽样共抽取：3+6+6=15名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，由此能求出该单位乙部门的员工人数.

(2)基本事件总数”=C；C；=18,利用列举法求出A的睡眠时间不少于/?的睡眠时间包含的基本事件个数，由此能

求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率.

(3)X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E(X).

【详解】

(1)由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6=15名员工，

其中该单位乙部门抽取6名员工，

.•.该单位乙部门的员工人数为：6x^=24人.

(2)由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工,

从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，

基本事件总数"=C；C：=18,

A的睡眠时间不少于8的睡眠时间包含的基本事件(a,b)有12个:

(6,5.5),(6,6),(7,5.5),(7,6),(7,6.5),(7,7),(8,5.5),(8,6),(8,6.5),(8,7),(8,7.5),(8,8),

1?2

...A的睡眠时间不少于5的睡眠时间的概率p=—=一.

183

(3)由题意从丙部门抽出的员工有6人，其中睡眠充足的员工人数有2人，

从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数,

则X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)0」

C：5

氏=3

P(X=l)

C：5

C\c}_1

P(X=2)-cr-5,

二.x的分布列为:

X012

23

P

555

131

E(X)=0x—Fix—F2x—=1.

555

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，涉及到古典概型及分层抽样的基本知识，考查运算求解能力，

是中档题.

2

20、(1)2000；(2)①一，②2.

35

【解析】

试题分析：(1)众数为76,中位数为76,抽取的12人中，7()分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从

该校学生中任选1人，这个人测试成绩在7()分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在7()分以上的人数；(2)

①由题意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94,当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时,

有两类：一类是：82,88,93,94,共1种；另一类是：76,88,93,94,共3种.由此能求出P（X之87）；

②由题意得4的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出J的分布列和J）.

试题解析：（1）众数为76,中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生

Q22

中人选1人,这个人测试成绩在70分以上的概率为—故该校这次测试成绩在70分以上的约有3000x-=2000

1233

（人）

⑵①由题意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94.

当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.

一类是82,88,93,94,共1种；

42

另一类是76,88,93,94,共3种.所以“（X2870=不=行.

②由题意可得，J的可能取值为0,1,2,3,4

1

P（J=O）=^L=一,

'7C：70

尸（9）=等嗡哈

*=2）=等喘喘，

脸T=等

P（"4）=*1

%70

自的分别列为

01234

181881

r

7035353570

八c1,8cl8c8“1c

七（彳）=Ox-----F1x----F2x----F3x----F4x——2.

v77035353570

,、164<22

21、(1)?a2)t-

33T3

【解析】

(1)求导得到函数的单调性，利用单调性确定最值取得的点，从而得到值域；(2)将问题转化成g(x)=；x3—2x+3x

与y=2-〃有三个交点的问题，通过求导得到g(x)图象，通过图象可知只需2-匕位于极大值和极小值之间即可，从

而得到不等式，求解出范围.

【详解】

(1)当》=0时，f(x)=~x3~2x2+3x

贝!I/'(X)=£—4x+3=(x—l