甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题

兰州一中202020211学期期中考试试题高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)＝的定义域为A.(0,2)B.(0,2]C.D.2.已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则＝A.3B.C. D.13.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于A.12 B.18 C.24 D.364.设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)5.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是A.[1，＋∞) B.(－∞，1]C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]6.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为A.8 B.12 C.6 D.47.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的8.函数y＝2|x|·sin2x的图象可能是9.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝2，S△ABC＝eq\r(2)，则b的值为A.eq\r(3)B.eq\f(3\r(2),2) C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)10.如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥eq\f(1,2)时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为A.2 B.4 C.3 D.－111.设四边形ABCD为平行四边形，，,若点M，N满足，，则等于A.20 B.9 C.15 D.612.定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是A.3f(2)＜2f(3) B.3f(4)＜4f(3)C.2f(3)＜3f(4) D.f(2)＜2f(1)第Ⅱ卷（非选择题共90分）填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z＝－2i，则复数虚部为_________.14.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_________.15.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，eq\r(3))，C(3，0)，动点D满足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是________.16.关于函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx有以下四个结论：=1\*GB3①函数f(x)的最大值为eq\r(2)；=2\*GB3②把函数h(x)＝eq\r(2)sin2x－1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位可得到函数f(x)的图象；=3\*GB3③函数f(x)在区间上单调递增；=4\*GB3④函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．其中正确的结论是___________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.(1)证明:(2)设为的中点,求三棱锥的体积.18.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)，试判断△ABC的形状.19.（本小题满分12分）兰州市为争创文明城市，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(6),3)，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程；(2)若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.21.（本小题满分12分）已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[eq\r(2)，e]上有两个不等的解，求a的取值范围.（二）选考题：共10分请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.(1)求直线及圆的直角坐标方程；(2)设圆与直线交于点.若点的坐标为(3，eq\r(5))，求.23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.兰州一中202020211学期期中考试答案高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.A2.C3.D4.C5.A6.A7.C8.D9.A10.B11.B12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.;14.;15.1＋eq\r(7);16.=3\*GB3③=4\*GB3④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.(1)证明:(2)设为的中点,求三棱锥的体积.解：（1）因为分别是的中点，所以是的中位线，所以又因为平面，平面,所以平面..................6分（2）因为高，，..................12分18.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)，试判断△ABC的形状.解(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°...................6分(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝eq\r(3)，得sinB＋sin(120°－B)＝eq\r(3)，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝eq\r(3).∴eq\f(3,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝eq\r(3)，即sin(B＋30°)＝1.∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形...................12分19．（本小题满分12分）兰州市为争创文明城市，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解：(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10，∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：eq\f(30,60)×6＝3；第4组：eq\f(20,60)×6＝2；第5组：eq\f(10,60)×6＝1；即应从第3，4，5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者.(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种.其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).20．（本小题12分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(6),3)，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程；(2)若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.解：(1)离心率e＝eq\f(\r(6),3)，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②且x1＋x2＝eq\f(6k（3k－1）,3k2＋1)，由N(3，1)是线段AB的中点，得eq\f(x1＋x2,2)＝3.解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.当时方程=1\*GB3①即，解得.椭圆方程为.21.（本小题满分12分）已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[eq\r(2)，e]上有两个不等解，求a的取值范围.解(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴F′(x)＝2ax－eq\f(2,x)＝eq\f(2（ax2－1）,x)(x>0)................2分①当a>0时，由ax2－1>0，得x>eq\f(1,\r(a)).由ax2－1<0，得0<x<eq\f(1,\r(a)).故当a>0时，F(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，＋∞))上单调递增，...............4分在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(a))))上单调递减.②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立.故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减. ..............6分(2)原式等价于方程a＝eq\f(2lnx,x2)＝φ(x)在区间[eq\r(2)，e]上有两个不等解.由φ′(x)＝eq\f(2x（1－2lnx）,x4)易知，φ(x)在(eq\r(2)，eq\r(e))上为增函数，在(eq\r(e)，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ(eq\r(e))＝eq\f(1,e)，而φ(e)＝eq\f(2,e2)<eq\f(2ln2,4)＝eq\f(ln2,2)＝φ(eq\r(2)).所以φ(x)min＝φ(e)，如图可知φ(x)＝a有两个不等解时，需eq\f(ln2,2)≤a＜eq\f(1,e).即f(x)＝g(x).在[eq\r(2)，e]上有两个不等解时a的取值范围为eq\f(ln2,2)≤a＜eq\f(1,e).