2024年上海市松江区高二数学3月份考试卷附答案解析

年上海市松江区高二数学3月份考试卷（试卷满分150分．考试时间120分钟）2024年3月一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）1．小陈掷两次骰子都出现6的概率为.2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：）56

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83据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为3．某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，已知男生比女生少抽了10人，则该年级的女生人数是.4．某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级中达的概率分别为、、，假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率为.5．盒子中有大小与质地相同的8只红球和2只黑球，每次从中任取一个球，不放回地连续取两次，则事件“取出的两只球一只是红球，一只是黑球”的概率是.6．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种．（用排列数回答）7．10张奖券中只有三张有奖，现五人购买，每人只买一张，则至多有一人中奖的概率为.8．2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有种.（用数字作答）9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则a的值为.10．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色;b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有种。11．某电池厂有A、B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次数的平均值为210，方差为4；从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为200，方差为4.则20件产品组成的总样本的方差为.12．已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有种．二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，满分18分）13．歌唱比赛共有11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分.9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（

）A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数14．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④15．将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（

）A． B． C． D．16．两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（

）A． B． C． D．三、解答题（满分78分）17．三棱柱中，，线段的中点为，且．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，两人都得0分的概率为.(1)求的值；(2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．19．COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：

(1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数.(2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图：①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值；②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率．20．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，，，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差.21．如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当椭圆，的离心率相等时，称曲线为“猫眼曲线”

(1)求椭圆的方程；(2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，试问：是否为与k无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由；(3)若斜率为的直线l为椭圆的切线，且交椭圆于点A，B，N为椭圆上的任意一点（点N与点A，B不重合），求面积的最大值．1．【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】掷两次骰子共有36个基本事件，所以掷两次骰子都出现6的概率为.故答案为：2．【分析】根据百分位数的求法求得正确答案.【详解】，数据从小到大第个数是，所以第75百分位数为故答案为：3．360【分析】先求分层抽样比例，然后设元，根据题意列方程求解.【详解】抽取比例为，设该年级的女生人数是，则男生人数为，因为男生比女生少抽了10人，所以，解得，故答案为：360.4．【分析】考虑3门和2门两种情况，计算概率即可得到答案.【详解】该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率，故答案为：5．【分析】先求出基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型即可得解.【详解】由题意，所求事件的概率为.故答案为：.6．【分析】不相连排列利用插空法即可求解．【详解】先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分步乘法计数原理，共有种方法．故答案为：7．##【分析】分别求出基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型即可得解.【详解】由题意，至多有一人中奖的概率为.故答案为：.8．【分析】根据题意，可分为2步，先将3支省内代表队安排在三场比赛，再将3支外省的代表队安排在三场比赛，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，可分为2步进行分析：①先将3支省内代表队安排在三场比赛，每场一支代表队，有种安排方法；②再将3支外省的代表队安排在三场比赛，每场一支代表队，有种安排方法，则有种不同的安排方式.故答案为：.9．【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量，即可得出组内的数据有4个，进而求出a的值.【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以组内有2个数据.设样本容量为，则，所以.所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以.故答案为：.10．8【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可.【详解】两种颜色类型的，有种；类型的，有种（两个面相邻、相对）类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点）因此共有8种.故答案为：8.11．28【分析】根据题意结合平均数、方差的公式运算求解.【详解】设A生产线中取出产品8件的可充电次数为，可得：，则，B生产线中取出产品12件的可充电次数为，可得：，则，故20件产品组成的总样本的平均数，其方差.故答案为：28.12．120【分析】利用条件，先假设有一个字母已排在正确位置上，经过分析判断得出不符合题意，从而得出每个字母均不在正确的位置上，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序，这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序，这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置的情况，这样1号位有5种选择，放在1号位的那个字母对应的位次就有4种选择，以此类推，总的排序方法有种.故答案为：120.【点睛】解决本题的关键在于，先通过假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，再分析出不符合条件，从而得到怎样的排序才符合条件，将问题转成利用分步计数原理来解决.13．D【分析】由极差、中位数、平均数和方差的概念和计算公式，即可得出答案.【详解】设11位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，D正确．②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，A不正确；③，由②易知，C不正确．④原极差，后来极差，可能相等可能变小，B不正确．故选：D.14．B【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故选：B．15．A【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】解：由题得任意放球共有种方法，如果有一个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设选的是1号球，则再对后面的2,3,4,5进行排列，且四个小球的编号与盒子的编号一个都不相同，假设2号盒子里放3号球，则有三种，所以后面的小球的排列共有种方法.所以剩下的四个球共有种方法.由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为故选：A16．A【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下A被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B、C两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B甲C，C甲B，B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分别记为，则，，，，，所以甲最终获胜的概率是,故选：A17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系利用法向量方法求解面面角.【详解】（1）三棱柱中，，在中，，线段的中点为，所以，所以；又已知平面，平面，所以平面；（2）

由（1）可知平面，平面，所以，在平面内作交于点，则，则两两互相垂直，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，因为，所以．所以，设平面的一个法向量，则，解得，令，则，所以，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.18．(1)，，；(2).【分析】（1）应用独立事件乘法公式、概率性质求对应概率即可；（2）列举出恰好经过4轮比赛甲获胜的情况，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求概率.【详解】（1）由题设，甲得1分的概率，乙得1分的概率，两人都得0分的概率.（2）由题意，要使恰好经过4轮比赛甲获胜，有如下情况，①2轮甲进乙没进，2轮甲乙都得0分，且前3轮有1轮甲进乙没进；此时概率为，②3轮甲进乙没进，1轮乙进甲没进，且前2轮有1轮乙进甲没进；此时概率为，所以，所求概率为.19．(1)，中位数为65，平均数63.6(2)①；②【分析】（1）根据频率和为1计算得到，确定前三组频率之和，再计算中位数和平均数即可.（2）根据平均数的公式计算得到，根据分层抽样的比例关系得到人数，列举出所有事件，统计满足条件的事件，得到概率.【详解】（1），解得，前三组频率之和，设中位数为，则，解得，所以中位数为65；平均数为：.（2）①，解得，②两组频率比为，故组中所抽取2人编号为，组中所抽取4人标号为，则基本事件如下：，共15个．所抽取2人都在的基本事件有6个，所以概率．20．(1)(2)12(3)平均数48.75千克，方差62.8125【分析】（1）利用“全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率”列方程，解方程求得的值.（2）利用分层抽样的抽样比，计算出在初三年级学生中抽取的人数.（3）利用平均数公式和方差公式进行转化可得答案【详解】（1）依题意，所以（2）由初一、初二学生人数为，所以初三学生人数为人，故用分层抽样法在全校抽取名学生,问应在初三年级学生中抽取名.（3）初一年级