新课第04讲平面向量基本定理及坐标表示原卷版

新课第04讲：平面向量基本定理及坐标表示【考点梳理】考点一：基底的概念和表示 考点二：平面向量基本定理的应用考点三：平面向量的正交分解及其坐标表示 考点四：平面向量的线性运算坐标表示考点五：由向量线性运算解决最值和范围问题 考点六：平面向量共线的坐标表示考点七;平面向量的数量积的坐标表示 考点八：利用平行（共线）或垂直求参数考点九：平面向量坐标表示的综合问题【知识梳理】知识点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.知识点二：平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.知识点三平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).知识点四平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.知识点五平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点六平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.知识点七平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【题型归纳】题型一：基底的概念和表示1．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在中，设，，，，则（

）A． B．C． D．题型二：平面向量基本定理的应用4．（2023下·山东滨州·高一统考期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（

）A． B． C． D．5．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（

）A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.46．（2023下·福建福州·高一校联考期末）在中，点为BC边上一点，且，则实数（

）A． B． C． D．题型三：平面向量的正交分解及其坐标表示7．（2023下·全国·高一期中）已知点，向量，则向量＝（

）A． B． C． D．8．（2020下·广东揭阳·高一统考期中）已知，若，则点的坐标为（

）A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)9．（2023下·四川南充·高一统考期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型四：平面向量的线性运算坐标表示10．（2023上·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（

）A． B． C． D．11．（2023下·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（

）A．1 B． C． D．12．（2023·全国·高一专题练习）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量为题型五：由向量线性运算解决最值和范围问题13．（2022下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2023下·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．15．（2021下·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：平面向量共线的坐标表示16．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，，，若，则（

）A． B． C． D．17．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知向量不共线，且，若与共线，则实数的值为（

）A．1或 B． C． D．或18．（2023下·北京·高一101中学校考期末）已知向量.若与共线，则（

）A．1 B．3 C． D．题型七;平面向量的数量积的坐标表示19．（2023下·北京海淀·高一统考期末）已知向量，向量为单位向量，且，则（

）A． B． C．2 D．320．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（

）A．5 B． C． D．21．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，满足，且，则（

）A．4 B．5 C． D．2题型八：利用平行（共线）或垂直求参数22．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．23．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量，，，且，(1)求x的值；(2)若，求实数的值.24．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）平面内给出三个向量，，，求解下列问题：(1)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；(2)若，求实数k的值．题型九：平面向量坐标表示的综合问题25．（2023下·新疆伊犁·高一校联考期末）设，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量与夹角的大小.26．（2023下·贵州遵义·高一统考期末）已知向量，，其中．(1)若，写出，，，之间应满足的关系式(2)求证：；(3)求代数式的最大值，并求其取得最大值时的值．27．（2023上·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.(1)若.①用表示.②若，求的值.(2)若，求的最小值.【双基训练】一、单选题28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）在中，点在边上，且，则（

）A． B．C． D．29．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，30．（2023·全国·高一专题练习）下列命题不正确的是（

）A．若向量满足，则为平行向量B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D．若是等边三角形，则31．（2023下·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（

）A．1 B．14 C． D．32．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．或33．（2023下·北京丰台·高一统考期末）已知向量，.若，则实数（

）A． B． C． D．34．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）已知向量，若，则（

）A． B． C． D．35．（2023下·江西新余·高一统考期末）如下图，在中，，，以BC的中点O为圆心，BC为直径在三角形的外部作半圆弧BC，点P在半圆上运动，设，，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．二、多选题36．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底B．，则存在唯一实数，使得C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．中，，，则为等边三角形37．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为或D．若向量与非零向量共线，则38．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知向量，下列结论中正确的是（

）A．若，则B．与共线的单位向量一定为C．当时，在上的投影的数量为D．当时，与的夹角为锐角39．（2023下·江西上饶·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（

）A．的取值范围是B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是C．的最大值是D．若，且，则最大值为240．（2023下·云南·高一统考期末）若向量，满足，，，则（

）A．向量，的夹角为45°B．向量在向量上的投影向量为C．在平行四边形ABCD中，若=，=，则该平行四边形的面积是12D．在四边形ABCD中，E是BC的中点．若，，且=，则该四边形是梯形三、填空题41．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）若向量，，且，则实数x的值为．42．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则．43．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为.44．（2023下·辽宁鞍山·高一校考期末）在矩形中，，，在上取一点M，在上取一点P，使得，，过M点作交于N点，若上存在一动点E，上存在一动点F，使得，则的最小值为.四、解答题45．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）己知向量以为基底的分解式为，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.46．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知向量，．(1)求的坐标及；(2)若与共线，求实数的值．47．（2024上·辽