2022-2023学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西桂林市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数z满足z=3+2i,贝Dz的虚部为()

A.—2B.2C.—3D.3

2.下列各角中，与18。角的终边相同的是()

A.378°B,78°C.-18°D.118°

3.已知向量方=(1,2),b=(x,6).且五〃方，贝k的值为()

A.1B.2C.3D.4

4.下列函数为偶函数的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=sin2x

5.将函数/(x)=sin2x的图象向右平移着个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是()

A.g(x)=sin(2x+1)B.g(x)=sin(2x+3)

C.g(x)=sin(2x冶)D.g(x)=sin(2x-弓)

6.已知a,b,c是三条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面，下列命题正确的是()

A.若a〃口，ally,则0〃yB.若五J.石，ale,则b〃c

C.若方JLE，ale,则bJ.cD.若a10,aly,贝伊〃y

7.两个粒子4,B从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别

为惠=(4,0)，孺=(1,门)，此时正在口上的投影向量为()

11

一

以

一

以

A.-4-4--D.名

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

8.下列说法正确的是()

A.长度相等的向量是相等向量B.单位向量的模为1

C.零向量的模为0D.共线向量是在同一条直线上的向量

9.已知复数Z1=l-i,z2=2i,贝ij()

A.Z2是纯虚数

B.Z1-Z2在复平面内对应的点位于第二象限

C.复数Z1的共扼复数为1+i

D.ZjZ,=21-2

10.函数f（x）=AsinQ%+0）（+助0是常数,A>0,』>0）的部

分图象如图所示，下列结论正确的是（）

A.函数f（x）的图象关于直线x=-蒜兀对称

B./（x）的图象关于（|兀,0）中心对称

C.函数/"（X）在区间成,刍上单调递减

D.=

11.已知正方体4BCD-4B1GD1，则（）

A.直线与直线D公所成的角为60。

B.直线Bq与直线8遇所成的角为60。

C.直线BCi与平面4BCD所成的角为45。

D.直线BCi与平面BB1D1D所成的角为30。

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.计算：sinl50°=.

13.若向量方=（1,2）与向量取=（尢一1）垂直，则实数;I=.

14.仇章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与

现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为10米，径长（

两段半径的和）为10米，则该扇形田的面积为平方米.

15.已知△ABC的外接圆圆心为0,乙4=45°,若而=a・荏+°・前（a,£6R），则a+0的

最大值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题10.0分）

已知sin。=%。为第二象限角.

（1）求s讥2。的值；

（2）求sin（0+》的值.

17.（本小题12.0分）

已知向量五，万满足|五|=1,\b\=y/~2,a-（a+b~）=2.

（1）求百•石;

(2)求为与方的夹角仇

(3)求|五一23|.

18.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，四边形ABCD是菱形，P4=PC,E为PB的中点.

(1)求证：PD〃面AEC；

(2)求证：平面ZEC，平面PDB.

19.(本小题12.0分)

在△ABC中，角4,B,C对应的边分别是a,b,c,且asinB=—V?bcos4

(1)求角4的大小；

(2)若b=4,△ABC的面积S=2，百，求△ABC的周长.

20.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=sin2%+y/~3sinxcosx+

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合；

(3)求函数的单调递减区间.

21.(本小题12.0分)

本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，

每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形4BCD,它的宽4。为2.4米，车

厢的左侧直线CO与中间车道的分界线相交于E、F,记NO4E=6L

(I)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好且小B也都在中间车道的直线上，直线

CD也恰好过路口边界。，求此大卡车的车长.

(II)若大卡车在里侧车道转弯时对任意0,此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大

值.

(IH)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度(辆/km),统计如

下：

时间7：007：157：307：458：00

里侧车道通行密度110120110100110

外侧车道通行密度110117.5125117.5110

现给出两种函数模型：①/(无)=Asina)x+B(A>0,a)>0)

②g(x)=a|x-b\+c,请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描

述早七点以后的平均道路通行密度(单位：辆次加)与时间单位：分)的关系，并根据表中数

据求出相应函数的解析式.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为z=3+2i,所以复数z的虚部为2.

故选:B.

根据复数的概念即可求出结果.

本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：与18。角的终边相同的角的集合为解|0=18。+k•360°,kGZ},

令k=1,得到夕=378。，故选项4正确，易知，不存在k6Z,使6=78。，-18°,118°,故选项

88均不正确.

故选:A.

写出与18。角的终边相同的角的集合，根据集合即可求出结果.

本题主要考查终边相同的角，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：五〃了，[2x-1x6=0,解得x=3.

故选C.

利用向量共线的充要条件即可得出.

熟练掌握向量共线的充要条件及坐标表示是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：对于A，定义域为R，sin(-x)=-sinx,则为奇函数；

对于B.定义域为R，cos(-x)=cosx,则为偶函数;

对于C.定义域为国x力卜兀+],keZ},关于原点对称，tan(-x)=-tanx,则为奇函数；

对于。.定义域为R，/(-x)=-/(x),则为奇函数.

故选艮

由常见函数的奇偶性和定义的运用，首先求出定义域，判断是否关于原点对称，再计算/(-久)，

与“X)的关系，即可判断为偶函数的函数.

本题考查函数的奇偶性的判断，考查常见函数的奇偶性和定义的运用，考查运算能力，属于基础

题.

5.【答案】C

【解析】解:由题意可得g(x)=sin2(xY)=sin(2x19.

故选：C.

直接利用三角函数的图象变换求出结果.

本题主要考查函数y=Asin^x+9)的图象变换，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：4中，若。〃£,ally,由平行于同一平面的两平面平行，可得£〃y,所以A正确;

B中，若五1方，ale,贝昉与c可能是异面直线，所以B错误；

C中，若有1。ale,则b与c可能平行，所以C错误；

。中，若a10,aly,则0与y可能相交，所以。错误.

故选：A.

根据空间中线线、面面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.

本题考查线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：因为可=(4,0)，编=(1,门)，

所以工.相=4+0=4，|京|=4，

所以漏在惠上的投影向量为奢•"=；%・

故选：B.

根据平面向量数量积的坐标运算和投影向量的定义计算即可.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算与投影向量的应用问题，是基础题.

8.【答案】BC

【解析】解：对于4长度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A错误；

对于氏单位向量的模为1,故8正确：

对于C,零向量的模为0,故C正确；

对于。，方向相同或相反的向量叫共线向量，

它们不一定在同一条直线上，故£>错误.

故选：BC.

根据相等向量、单位向量、零向量、共线向量的概念，对题目中的命题进行分析、判断即可.

本题考查向量的相关概念，属基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4Z2是纯虚数，故A正确；

对于8,Z1-z2=(l-0-2i=l-3i,对应的点的坐标为(1,一3),位于第四象限，故B错误；

对于C,复数Z］的共辄复数为云=1+i，故C正确；

对于。，z1Z2=(1—i)•2i=2i+2,故。错误.

故选：AC.

对于4,根据纯虚数的定义即可判断；

对于8,先计算Z1-Z2,再根据复数的几何意义即可判断；

对于C,根据复数的共朝复数的定义即可判断；

对于。，根据乘法法则计算后即可判断.

本题主要考查复数的四则运算，纯虚数的定义，复数的几何意义，以及共辗分数复数的定义，属

于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：由题意可得，A=2,羊=,一(一看)=率故T=兀，3=2,则/(x)=2sin(2x+(p),

又因为/'借)=2s讥偿+(p)=—2,故?+<p=2kn+:,k6Z,

所以3=1+2kn,keZ,所以/(x)=2sin(2x+1+2kn)=2sin(2x+今.

对于4当％=-岩时，2x+g=-苧，满足该函数取得最值的条件，A正确；

对于8,丫=%寸，2x+^=2n,则(|兀,0)是该函数的对称中心，B正确;

对于C,当xe同苧时，则t=2x+江用，等,

因为函数y=2sint在费,等不是单调减函数，

所以函数f（x）在区间［支，刍上不是单调递减函数，C错误；

对于。,/（一雪）=2s讥（Y+$=2siW=l,。错误.

故选：AB.

由最值求4由周期求3,再由/（居）=-2,可求仍进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的

性质检验各选项即可判断.

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的大小，单调

性进行判断是解决本题的关键，是中档题.

11.【答案】BCD

C、BCi，

因为A1BJIGDJ/CD,=。也=CD,

所以四边形为平行四边形,

所以&D//B1C,

所以直线Bq与当。所成的角即为直线与所成的角,

因为四边形BBiGC为正方形,

所以BiC1BC],

故直线BCi与D&所成的角为90。，A错误;

连接5/，因为AB=ArBr=D^,

则四边形ZBCWi为平行四边形,

可得ADJ/BG，

直线BG与当4所成的角即为AD1与当4所成的角,

设正方体棱长为1,贝IJ4D1=ABX=&Di=<7,

所以△ABiDi为等边三角形，

所以直线BQ与Bp4所成的角为60。，故B正确；

因为qCJL平面ABCD,

所以ZGBC为直线BG与平面4BCD所成的角，

易得△QBC为等腰直角三角形，

所以4GBe=45。，故C正确；

连接&品，设AGnBiDi=0,连接80,

因为BBi1平面&B1GD1，G。u平面为B1GD1，

则G。1BIB,

因为BXDX0BrB=Br,当劣，8/u平面8当。1。，

所以C101平面BBiA。，

所以NGBO为直线BG与平面BBiDW所成的角，

设正方体棱长为1,则60=年，BC]=。，sin/GBO=^=a

则直线BQ与平面BB15。所成的角为30。，故。正确.

故选：BCD.

数形结合，由异面直线所成角可判断A,B；直线与平面所成角可判断C,D.

本题主要考查空间角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】1

1

【解析】解：s讥150。=sin(180°-30°)=s讥30。=今

故答案为：

直接利用诱导公式化简，计算即可得到结果.

此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

13.【答案】2

【解析】解：因为向量为=(1,2)与向量石=(九一1)垂直，

所以1X4+2x(-1)=0,解得：2=2.

故答案为2.

题目给出了两个相互垂直向量的坐标，直接由向量垂直的坐标表示列式可求;I的值.

本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题.

14.【答案】25

【解析】解：如图所示，因为径长为10米，下周长为10米，即04+0B10且a=101

所以扇形所在圆的半径为R=岑=5米,

所以该扇形田的面积为S=：x10x5=25平方米.

故答案为：25.

根据题意，求得扇形所在圆的半径，结合扇形的面积公式，即可求解.

本题主要考查三角形的面积公式，属于基础题.

15.【答案】2-，工

【解析】解：设AABC三个角4、B、C所对的边分别为a,b,c,

取4B,4c中点D,E,连接00,OE,

因为△ABC的外接圆圆心为0,所以0D14B,OE1AC,

则而•布=c•2c=gc2,AC-^40=b-

因为而=a^+£正，

所以四.而=a\AB\2+pAB-AC，AC-AO=aAB-AC+p\AC\2,

E|j|c2=c2a+；力2=ybca+炉仪

1E

a=1——

解得2c

P=1-禁'

所以a+S=2—浮<2-^x2

当且仅当"小即b=c时，等号成立,

所以a+£的最大值为2-V-2.

故答案为：2-。.

设△ABC三个角4、B、C所对的边分别为a,b,c,由而=aAB+pAC，可得荏•同=a\AB\2+

PAB-AC>AC-AO=aAB-AC+p\AC\2,根据数量积的几何意义和定义，结合外接圆的性质可

a=］——

W|c2=c2a+?bc小^b2=¥bca+b2/?>求得；：］［嘉，从而可得a+0=2—?《+

舁，利用基本不等式即可求解.

本题考查向量在平面图形中的应用，平面向量的数量积等，属于中档题.

16.【答案】解：(1)因为s讥。=土。为第二象限角，所以cos8=-|,

故sin20=2sin9cos6=2xx(―|)=-|^.

(2)由(l)sin8=*cosO=

所以sin(®+；)=sindcos^+cosdsin^=?X(^—|)=卡.

【解析】(1)根据条件，利用平方关系求出cos。=-|,再利用正弦的倍角公式即可求出结果；

(2)根据(1)中结果，利用正弦的和角公式即可求出结果.

本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的倍角公式以及两角和差的正弦公式即求解是解

决本题的关键，是基础题.

17.【答案】解：⑴|五|=1,|b|=V-2»a-(a+b')=a.2+a-b=2>

a-/?=2—1=1;

(2)由(1)得五.K=1，则cos位，力=潦*=—=?，

|a|-|D|IXVL/

又位花〉6(0,兀)，则向屈=亳

故为与加夹角。=今

⑶由⑴得五.石=1，则|有一2加|2=22-4五不+4二=1一4X1+4x2=5，即|五一2石|=

<5.

【解析】（1）根据条件，利用数量积的运算法则，即可得出答案：

（2）根据（1）中结果，利用数量积夹角公式，可得何是>=5即可得出答案：

（3）根据平面向量的线性运算可得18-23产=5,即可得出答案.

本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

18.【答案】解：（1）证明：设4CnB0=。，连接E。，

因为。，E分别是BD,PB的中点

,所以PD//EO…（4分）

而PDC面4EC,EOu面AEC,

所以PD〃面AEC...（7分）

（2）连接P0,因为PA=PC,

所以4c1P0,

又四边形ABC。是菱形，

所以力C_LBD...（10分）

而POu面PBD,BDu面PBD,POC\BD=0,

所以4C1BPBD...（13分）

又ACu面4EC,

所以面4ECJ_面PB。...（14分）

【解析】（1）设ACnBD=。，连接E0,证明PD〃EO,利用直线与平面平行的判定定理证明PD〃

面4EC.

（2）连接P。，证明AC1PO,AC1BD,通过P。ClB。=。，证明4c_L面PB。，然后证明面4EC1面

PBD

本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力.

19.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理一三=3=告=2/?得：

stnAstnBsine

a=2RsinA,b=2Rsi?i8代入式子asinB=—y/~3bcosA»

化简得，sinAsinB=—yJ~^sinBcosA,

vsinBH0,

:.sinA=-V_3cos4，即tariA=-\Z~~3,

Ae(0,7T),・•・i4=y.

(2)vS=1bcsinA=1x4csin^-=V-3c=2V-3,

・•・c=2,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=42+22-2x4x2x(-^)=28,

a=2V-7

二a+b+c=2v~7+4+2=6+2，7,

ABC的周长为6+2/7.

【解析】(1)利用正弦定理化边为角即可求解；

(2)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)函数/(%)=siM尤+l5sinxcosx+g=上罢"+?sin2x+T=sin(2x—

看)+1,

故函数/(尤)的最小正周期为竿=n.

(2)函数f(%)的最大值为1+1=2,此时，2%—^=2kn+求得％=/CTT+*kEZ.

故函数的最大值为1,取得最大值时自变量X的取值集合为{%|%=々兀+9AEZ}.

(3)令2/CTT+工2x—<2kji+甲，求得k/r+%<kn4-

26236

故函数的单调递减区间为阿+9时+靠，fcez.

【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题.

(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数/(x)的最小正周期.

(2)根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合.

(3)利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间.

21.【答案】解：(I)作EAfLOM,垂足为M,作FN10N,垂足为N,

因为ZO4E=2所以4ME。=Z.NOF=乙BFO=

OO

在Rt^ADE中，ED=2.4xtang=塔,

65

在Rtz\BCF中，。〜=鸟=手,

tariT65

在中’°E=袤=殍'

4

在RtZiONF中，。?===8,

sm6

所以CD=0E+OF-ED—CF=誓+8-亨-=8-苛.

(11)因为/。45=凡所以OE=^,。?=±，E