第八章 频率响应法

第八章频率响应法FrequencyResponseMethod本章主要内容：

频率响应的概念及频率响应图绘制Bode图的一般方法频域性能指标对数幅相图

Matlab

绘制频率响应图设计实例教学目标：

深刻理解频率响应的概念及在系统分析设计中的作用熟练掌握频率响应图的手工绘制方法和计算机绘制方法充分理解频域性能指标及其计算，频域指标与时域响应的关系。具备利用频率响应法设计控制器满足指标要求的能力参阅教材第8章，P345--386

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT8.1频率响应及频率响应图前面各章采用了基于复数域变量s传递函数描述控制系统，并用系统极、零点在s平面的分布来分析系统响应，设计系统参数。本章及后续章介绍另一种系统分析与设计方法----频率响应法。一、线性系统的频率响应在前面基于s域方法中，系统的测试信号采用阶跃、斜坡等，讨论在这些信号激励下系统动态与稳态响应情况。频率响应法采用正弦测试信号，研究系统在它激励下的稳态响应。

对线性定常系统，当输入是正弦信号时，其稳态输出也是同频率的正弦信号。而且，相对于输入信号，输出只是幅值与相位的变化，这种变化是频率的函数。造成输出的幅值与相位随频率变化的根本原因就是系统性能，这就是频率法分析设计系统的理论依据。1.频率响应的定义系统的频率响应定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应，具体用系统输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系表示。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT引例

RC电路如图所示，ur(t)=Asinwt,求uc(t)=?建模稳态分量

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT幅频特性相频特性定义一：定义二：引例--频率响应的定义定义三：

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT系统模型间的关系它和传递函数一样，也是一种数学模型；系统稳态输出量与输入量具有相同的频率；实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减；频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。频率响应的性质：G(s)侧重于分析系统的极、零点分布；G(jw)侧重于分析系统的幅频和相频特性；以为例。Ⅰ.频率响应Ⅱ.极坐标图（幅相特性、(nyquist)Ⅲ.对数频率响应(bode)Ⅳ.对数幅相特性(nichols)幅频相频对数幅频对数相频二、频率响应的图形表示最小相位系统和非最小相位系统的区别：最小相位系统：K>0,开环零、极点全部在s左半平面；非最小相位系统：K<0，有开环零、极点在s右半平面；传递函数可以分解为典型环节的串联：8.2频率响应图的绘制Part8.2.1极坐标图（nyquist、幅相曲线）注：Matlab命令：nyquist(sys)手工绘制：以实轴为横轴，虚轴为纵轴，构成复平面，计算几个特殊点的频率响应，然后根据G(jω)随ω值的变化的趋势画出幅相曲线的大概形状。注：1）参变量ω在复平面上并不出现，只用箭头表示ω增大时幅相曲线的变化方向；2）通常只画ω从0到∞的幅相曲线，而ω从-∞到0的幅相曲线与前者关于实轴对称。⑴比例环节⑵微分环节⑶积分环节Part8.2.1.1典型环节的nyquist图⑸一阶微分Part8.2.1.1典型环节的nyquist图⑷惯性环节⑹振荡环节Part8.2.1.1典型环节的nyquist图⑹振荡环节Part8.2.1.1典型环节的nyquist图谐振频率wr

和谐振峰值Mpr

例1:当，时Part8.2.1.1典型环节的nyquist图⑺二阶微分Part8.2.1.1典型环节的nyquist图3）根据|G(ω)|和φ(ω)确定变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。手工绘制nyquist图的步骤：三个要素2）补充必要的特征点(如：与实轴或虚轴的交点)：注：若存在渐近线则求出渐近线即求

=0和=∞时|G(0+)|,φ(0+)；|G(∞)|,φ(∞)；1）起点和终点：Part8.2.1.2极坐标图（nyquist图）的手工绘制例2例3起点：终点：解渐近线：与实轴交点：例4，画nyquist图。例5：某有等幅振荡的系统，试绘制其nyquist图解：频率响应：与实轴的交点：K≠0，故无交点。起点：终点：注：含有等幅振荡环节要考虑在ωn处相角发生-180度的突变。例6，画nyquist图。>>num=[5];>>den=[conv(conv([10],[11]),[21])];>>sys=tf(num,den);>>nyquist(sys)Matlab

绘制频率响应极坐标图作业1：书387页，E8.1书388页，P8.1（d）课堂练习：书388页，P8.1（c）Part8.2.2对数频率特性曲线（又叫bode图）包含：对数幅频特性和对数相频特性两条曲线注：Matlab命令：bode(sys)坐标特点特点横轴按lgw

刻度，dec“十倍频程”，按w标定（rad/s），等距等比纵轴⑴幅值相乘=对数相加，便于叠加作图；⑵可在大范围内表示频率特性；⑶利用实验数据容易确定L(w),进而确定G(s)。(4)满足直线方程：“分贝”“度”----对数幅频特性----对数相频特性⑴比例环节⑵微分环节⑶积分环节Part8.2.2.1典型环节的bode图对数幅值增益为:1）低频段，即，对数增益为

2）高频段，即，对数增益为

幅值特性变为一条直线直线斜率为-20dB/十倍频率3）ω=1/T时，，ω=1/T是转折频率⑷惯性环节惯性的近似：零分贝线和斜率为-20dB/dec的直线组成⑸一阶微分ω=1/T是转折频率一阶微分的近似：零分贝线和斜率为20dB/dec的直线组成当ω=1/T时：有最大误差：⑹振荡环节振荡环节：零分贝线和斜率为-40dB/dec的直线组成，ωn是转折频率⑺二阶微分二阶微分：零分贝线和斜率为40dB/dec的直线组成，ωn是转折频率G(s)=K0dB与-40dB/dec的两条直线，交于ωnG(s)=1/(Ts+1)G(s)=Ts+1G(s)=1/TsG(s)=Ts0dB与40dB/dec的两条直线，交于ωn典型环节的bode渐近曲线小结：过点（0dB，1rad/s）斜率为-20dB/dec的一条直线过点（0dB，1rad/s）斜率为20dB/dec的一条直线20lgKdB的一条直线0dB与-20dB/dec的两条直线，交于1/T0dB与20dB/dec的两条直线，交于1/TPart8.2.2.1典型环节的bode图开环系统Bode图的绘制的步骤：1、典型环节分解，均写成尾1形式，分解如下：1）K/s

；2）一阶：惯性、一阶微分，转折频率1/T；3）二阶：振荡、二阶微分，转折频率ωn。同时将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上；Part8.2.2.2开环系统的bode图的手工绘制2、绘制低频（ω<ωmin）渐近线（或延长线）： 斜率由K/s

决定为：-20

dB/dec

确定低频渐近线上的一个点：两种方法：①取特殊点ω0=1，则：②取特殊点，则：3、作ω

ωmin频段的渐近线：

在转折频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个转折频率之间为直线；4、如需要可进行修正获得精确图形。Part8.2.2.2开环系统的bode图的手工绘制例1：试绘制以下系统的开环渐近对数幅频曲线解：1）首先把开环传函写为标准形式：2）低频渐近线：斜率为-20dB/dec，取点：ω=1，则：Part8.2.2.2开环系统的bode图的手工绘制3）转折频率以及斜率变化值：4）在半对数坐标纸上绘制对数幅频特性曲线如下图所示：Part8.2.2.2开环系统的bode图的手工绘制返回对数坐标系例2：已知画bode图解：1）写成标准形式：环节：阻尼？Part8.2.2.2开环系统的bode图的手工绘制2）绘制低频段的渐近线：斜率-20dB/dec，当ω=1时3）据各环节的转折频率绘制近似对数幅频特性。4）修正近似的对数幅频特性（振荡有谐振峰值）Part8.2.2.2开环系统的bode图的手工绘制返回半对数坐标系注意：修正值Part8.2.2.2开环系统的bode图的Matlab绘制例2：Matlab绘制bode图>>num=[1010];>>den=[conv(conv([10],[110]),[114])];>>sys=tf(num,den);>>bode(sys)>>grid练习1：绘制渐近bode曲线Part8.2.2.2开环系统的bode图的绘制基准点斜率w=0.2

惯性环节-20w=0.5

一阶微分+20w=1

振荡环节-40练习2，绘制Bode图。

解①标准型④作图③转折频率基点

②

低频段斜率

Part8.2.2.2开环系统的bode图的绘制作业2：书388页，E8.6书388页，P8.2（d）例1：已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的对数相频特性图。

Part8.2.2.3由bode图写开环传递函数例2：已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。（红--近似线，蓝--真实线）解：含有哪些环节？Part8.2.2.3由bode图写开环传函确定四个参数：Part8.2.2.3由bode图写开环传函所以：开环传递函数为：Part8.2.2.3由bode图写开环传函练习1已知L(w)，写出G(s)，绘制nyquist图

。解：⑴⑵叠加作图如右：⑶Part8.2.2.3由bode图写开环传函练习2已知最小相角系统j(w)表达式,求G(s)。解注意：K不影响j(w)表达式。Part8.2.2.3由bode图写开环传函由前面几章分析知：系统的固有频率ωn、阻尼ζ与系统性能指标密切相关，在频率特性中，谐振频率ωr、谐振峰值Mp与ωn、ζ有关。表明，系统性能指标将与谐振频率、谐振峰值相关。谐振频率ωr、谐振峰值Mp与ωn、ζ关系曲线

通过此曲线可以方便查出在获得系统谐振频率ωr、谐振峰值Mp时，系统主导极点的ωn和ζ。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT最小相位和非最小相位系统

前面例子中，所考虑的系统传递函数的零点和极点均在s平面的左半边。该系统称为最小相位系统。

实际上，若系统极点在左边s平面内，系统有零点在右边s平面上，系统仍为稳定的。我们把具有右半s平面零点的系统称为非最小相位系统。

下图8(a)和(b)所示的两个零—极点图具有相同的幅值特性。然而，它们的相位特性是不同的。见图(c)。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT8.3频域性能指标

讨论系统频率响应，绘制频率响应图的目的是为了分析和设计控制系统。系统的频率响应与系统的时域响应是什么关系？或者说，时域性能指标在频率响应中如何表现？这就是本节要回答的问题。二阶系统闭环传递函数为

从前面几章讨论中发现，在引入主导极点概念之后，控制系统动态特性可以二阶系统参数表示。这也符合绝大多数实际工程中控制系统的情况。本节同样以二阶系统为标准，定义频域性能指标，讨论频域指标与时域指标之间的关系。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT一、频域性能指标二阶系统的频率响应为1.谐振峰值Mpω是频率响应的最大幅值，出现在谐振频率ωr处。2.谐振频率ωr3.系统带宽ωB带宽是频率响应的幅值从低频值下降时的频率，是对系统复现输入信号能力的度量。二、频域性能指标与系统时域响应间的关系①

阶跃响应的超调量随谐振峰值增加而增加。

两者都只与阻尼ζ有关，阻尼减小必然引起振荡加剧。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT由知②带宽、谐振频率ωr与系统动态响应速度直接相关。增加时，系统阶跃响应的上升时间将减小，系统响应速度加快。Bw对于二阶系统（标准化带宽）与ζ变化规律如图，近似为线性关系。在ζ一定的情况下，ωn越大，带宽将越宽。带宽越宽，调节时间越短。从而在控制系统频域设计时，通常要求：1）相对较小的谐振幅值，例如：；2）相对较大的带宽，使得系统的时间常数足够小。（）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUITL(w)低频段⇔系统稳态误差ess③闭环系统稳态误差与频率响应的关系。

由前几章讨论已知，系统对输入信号的稳态误差，与系统增益和系统开环传递函数中积分环节的个数有关。增益K就是静态误差系数，因此：强调：系统稳态误差与该系统开环频率特性相关；动态指标与闭环频率特性相关。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、频率响应的对数幅相图—Nichols图频域响应除前面介绍的极坐标图、Bode图表示为，经常换用对数幅相图表示。它以一定范围的频率为参数，绘制对数幅值随相角变化的曲线。对数幅相图给出的幅值和相角信息等价于Bode图，优势在于能够更直观的研究闭环系统的相对稳定性。

Matlab提供了绘制对数幅相图的函数：

nichols(sys)，使用方法与bode(sys),nyquist(sys)相同。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT8.4设计实例六腿机器人单腿位置控制系统设计控制目标：控制机器人腿的移动位置，使系统有良好的抑制测量噪声的能力。控制变量：机器人腿的位置，要求其能尽可能快的移动到指令位置并具有极小的超调。控制指标：①闭环系统带宽大于1Hz；

②阶跃输入超调小于15%；③阶跃输入稳态误差为0。单个腿及执行机构的传递函数为：控制系统的结构图为：

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT设计思路：根据性能指标要求选择控制器形式（这里采用PID形式）；根据性能指标和控制器形式，构造闭环主导极点，以二阶系统近似闭环系统性能；根据主导极点确定控制器参数；验证系统性能并做参数微调。

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