湖南省长沙市某中学2022-2023学年高一年级上册期末数学试题

长郡中学2022年下学期高一期末考试

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

/(x)=ln(2-x)+-

1.函数％的定义域是()

A.(f2]B.(0,2)

C.(-a),0)^(0,2)D.(―8,0)D(0,2]

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域.

【详解】由2—x>0可得x<2,又因为XW0,所以函数“力的定义域为(—8,0)(0,2).

故选：C.

2.命题“玉:eR,x?-3x+3<0”的否定是()

A.VxeR,x2-3x+3>0B.VxGR,x2-3x+3>0

C.eR,%2-3x+3>0D.3xeR,x23x+3>0

【答案】A

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.

【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题“IreR,/—3x+3<0”的否定是VxeR,/—3x+3>0.

故选：A.

3.用二分法求函数y=/(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有/(2>/(4)<0,取区间的中点

占=*=3,计算得/(2>/(%)<0,则此时零点与满足()

A.%0=苞B.x0>%1C.2<x0<3D.x0<2

【答案】C

【解析】

【分析】根据零点存在性定理即可得出答案.

【详解】解：由题意，因为/（2）•/■（%）<（）,

所以函数/（九）在区间（2,可）上一定存在零点，

即函数的零点与满足2<%<3.

故选：C.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录

视力数据，五分记录法的数据工和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录

法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（丽士1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据关系，当L=4.9时，求出IgV,再用指数表示V,即可求解.

【详解】由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=—0.1,

贝二11

|JV=10-OJ=101°=­j=«-----«0.8.

而1.259

故选：C.

5.若cos(w—a)=j,且ae(不,兀)，贝Utan(a+-^)=()

331

A.——B.-C.一D.7

447

【答案】C

【解析】

【分析】先根据诱导公式化简COS,再运用平方关系求出cos进而得到tana,最后运用两角和的

5兀

正切公式可求出tan（a+——）的值.

4

【详解】依题意ae—a)=sina=3,，cosa=—AF^=—上

55

嗔:tan6Z+tan——.

35兀、41

tana——,tantz6zH-----)=------------------———.

445兀7

1-tana•tan——

4

故选：c

12,

6.若正实数x,y满足一+—=1,则x+2y的最小值为()

xy

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为x,y是正数，

2)/c、_2ylx_612y2x八

所以有-+—(x+2y)=5+—+一＞5+2—..........=9,

Iy)xyNXy

2y2x

当且仅当—=—时取等号，即当且仅当X=y=3时取等号，

xy

故选：c

7.已知函数/(x)=21n%2—3国+3,其中国表示不大于无的最大整数(^[1.6]=1,[-2.1]=-3),

则函数〃尤)的零点个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数g(x)=21nf与/i(x)=3|x]—3,作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可

求解.

【详解】设函数g(x)=21n*,h(x)=3[x]-3,

则g(-x)=21n(-x)2=21nx2=g(x),所以函数g(x)为定义域上的为偶函数,

作出函数g(x)=21n/与网可=3国—3图象，如图所示，

当—14尤＜0时，〃(尤)=—6,结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；

当0Wx＜l时，〃(％)=—3,结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；

当x=l时，g（x）=A（x）=O,两函数有1个交点，即1个零点;

当2Wx<3时，/z（%）=3,41n2Wg（x）<41n3,此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数

〃x）=21n4—3团+3共4个零点.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出

函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合

思想的应用，属于中档试题.

8.若函数“X）的定义域为R,且〃2x+l）偶函数，〃》-1）关于点（3,3）成中心对称，则下列说法正确

的个数为（）

①“力的一个周期为2②"22)=3

19

③/（%）的一条对称轴为％=5④£f(i)=57

力=1

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，根据函数的对称性,可得"1一x)=/(l+x),/(2-x)=6-/(2+x),且/(2)=3,

根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质,

可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得/。）+/（3）=6,

/（2）+/（4）=6,可判④的正误.

【详解】因/（2x+l）偶函数，所以/（I—2x）=/（l+2x）,则/（l—xH/O+x）,即函数/（%）关于

直线％=1成轴对称，

因为函数/（九）的图象是由函数/的图象向左平移1个单位，所以函数八％）关于点（2,3）成中心对

称，则"2-x)=6-〃2+x),且"2)=3,

对于①，/(x+2)=6-/(2-x)=6-/(l-(x-l))=6-/(l+x-l)=6-/(x),

/(x+4)=/(2+x+2)=6-/(2-x-2)=6-/(-x)=6-/(l-(x+l)^

=6-/(l+x+l)=/(2-x)=/(l+l-x)=/(l-l+x)=/(%),则函数/(%)的周期T=4,故①错

误；

对于②，/(22)=/(2+4x5)=/(2)=3,故②正确;

对于③，/(5+x)=/(l+x+4)=/(l+x)=/(l-x)=/(l-x+4)=/(5-x),故③正确;

对于④，/(1)=/(2-1)=6-/(2+1),则〃1)+〃3)=6,

/(4)=/(0)=/(1-1)=/(1+1)=/(2)=3,则〃2)+〃4)=6,

19

由19+4=43,则2/(。=/。)+/(2)++/(19)

?=1

=4(/⑴+/(2)+/(3)+〃4))+/(17)+/(18)+/(19)

=4x(6+6)+/(l)+/(2)+/(3)=48+6+3=57,故④正确.

故选：C.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.设函数/。)=<1万］，%<2,若/(x)=l,则x的取值可能是()

log2(x-l),x>2

A.0B.3C.-1D.2

【答案】AB

【解析】

【分析】根据分段函数的定义分类讨论求值即可.

【详解】若无<2,贝==1,解得x=0,满足题意；

若xN2,则/(x)=log2(x—l)=l,解得x=3,满足题意；

故选:AB.

10.下列各式中，值为3的是()

A.sin—B.2sinl50cosl5°C.2cos2150-lD.—tan210°

62

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据诱导公式sinQr-a)=sin(z可判断A；由二倍角的正弦公式sin2e=2sinccosc可计算B；

由二倍角的余弦公式cos2a=2cos2a—1可判断C；由诱导公式tan(〃+a)=tana可计算D.

STTTCTC1

【详解】对于A：sin——二sin(»-—)=sin—,所以A正确;

6662

对于B：2sinl5cosl5=sin30=—,所以B正确;

2

对于C：2COS215-1=cos30=——，所以C不正确;

2

对于D：Wtan210=—tan(180+30)=—tan(30)=—x—=-,所以D正确,

222232

故选：ABD.

11.生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(fl>0,b>0,且a>6),若再添加c克糖(c>0)后，糖水会更

h+ch

甜，于是得出一个不等式：——>—•趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题

a+ca

一定正确的是()

b+mh

A.若〃>人>0,根>0,则-----与一的大小关系随机的变化而变化

a+ma

bb+m

B.右a>b>0m<0,贝!J—<-----

aa-\-m

C.若a>bc>d>0则—-<

a+aa+c

abab

D.若a>0力>0,则一定有-------1-------<-----1----

1+a+b1+Q+Z?1+Q1+b

【答案】CD

【解析】

【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；

举反例，如。=3/=1,机=—2,即可判断B；

若a>>>0,c>d>0,则c—d>O,a+d>匕+d>0,再根据“糖水不等式”即可判断C；

利用不等式的性质即可判断D.

〃+mh

【详解】解：对于A,根据“糖水不等式”，若〃>人>0,根>0,则----->-,故A错误；

a+ma

h1h+IT!h

对于B,当a=3力=1,m=—2时，一=—,-----=-1<-,与题设矛盾，故B错误；

a3a+ma

对于C,若a>6>0,c>d>0,则c—d>0,a+d>b+d〉0,

根据“糖水不等式"，b+d+c-d即吃<"£,故c正确；

a+d+c-da+da+da+c

对于D,若a>0,b>0,则l+a+b>l+a>0/+a+b>l+b>0,

…1111

所以-------<----,-------<—-）

1+a+b1+a1+a+Z?1+b

所以产工+厂—<詈+白，故D正确.

1+Q+Z?1+a+b1+Q1+Z?

12.已知函数/（x）=l-5r工是奇函数，下列选项正确的是（）

A.m=2

「13一

B.函数/（尤）在［-1,2）上的值域为

C.Vxp%2eR,且石W/，恒有（石_/）（/（石）_/（%））>0

D.若VxeR,恒有/（2尤—1）</（依2一2尤）充分不必要条件为。>5

【答案】ACD

【解析】

9

【分析】对于A,根据/（0）=0可求加的值，验证即可；对于B,由〃力=1-亍不，可得/（九）为增函

数，从而可求值域；对于C,根据函数“X）的单调性即可判断；对于D,根据函数外力的单调性可转化

为ax?—4x+l>0对于VxeR恒成立，求出其成立的充要条件，根据集合间的包含关系及充分不必要条件

的定义即可判断.

【详解】因为函数/（x）=l—万士是奇函数，且定义域为R,

所以7(o)=l—万=0,解得%=2.

当加=2时,-白rU

,一％_11_）％

则〃—X）=t=1^=—/（x）,故函数〃x）是奇函数，故A正确；

91Q

因为/（工）=1一^^在［一L2）上单调递增，且/（—1）=一§,/（2）=不

所以函数/（%）在［—1,2）上的值域为-；，|）故B错误；

因为/（x）=l—单调递增，

所以Vxi.zeR,且玉//，恒有（七一%）（/（石）一/（%2））>0，故C正确；

2

因为〃力=i—万力单调递增，

所以/（2x—1）<f（aT—2x）可转化为2x-l<ax2—2x>即ar?-4x+l>0对于VxeR恒成立.

当a=0时，Tx+l>0不恒成立，不符合题意；

a〉0,

当awO时，可得〈/丁，解得a>4.

（―4）—4a<0

故VxeR,恒有/（2x—1）</（公之一2x）的充要条件为a>4.

因为{a|a>5}{a|a>4},

所以VxeR,恒有/（2%—1）</（62一2%）充分不必要条件为。>5,故D正确.

故选:ACD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9JT

13.半径为2cm,圆心角为一的弧长为cm.

3

44

【答案】—##-71

33

【解析】

【分析】根据弧长公式/=故卜厂（夕：扇形圆心角，r：扇形的半径）

【详解】/=囤厂=事―2=二

故答案为：—

3

14.己知常数。＞0,awl,假设无论。为何值，函数y=log〃(x—2)+1的图象恒经过一个定点，则这个

定点的坐标是.

【答案】(3,1)

【解析】

【分析】利用对数函数性质可知，令x—2=1即可求出y=log“(x-2)+1的图象恒过的定点的坐标.

【详解】因为y=log。％的图象必过(1,0),即log"=0,当x—2=1,即x=3时，y=L

从而y=log〃(x—2)+1图象必过定点(3,1).

故答案为：(3,1).

15.已知ER|3〃z-4<x<—z?z+l,meR若“aeE"是“函数/(X)=3依2一(4。一1)%+7在区

8

间［0』上为增函数”的必要不充分条件，则实数加的取值范围为,

7

【答案】—2<m<—

6

【解析】

【分析】先求出函数/(龙)在区间［0,1］上为增函数时。的范围，再由必要不充分条件求解〃2的范围.

【详解】函数〃力=3依2—(4a—1b+7在区间［0,1］上为增函数，

a=0时，/（九）=x+7符合题意；

4a-11

〃>0时，-----V0,0<aV—,

6a4

4〃一11

〃<0时，----->1,——<a<0,

6a2

…1,,1口「1In

综上—一,即r—,一］,

2424

又“aeE”是“ae［—工,'］”的必要不充分条件,

24

3m-4<--

27

所以「J解得一2＜加＜一.

6

7

故答案为：-2〈加＜一.

6

16.己知函数/（%）=①诂。%（人＞0,0＞0）,若至少存在两个不相等的实数%,%e[肛2句，使得

/（石）+/（9）=24,则实数3的取值范围是.

-95]F131

【答案】。—,+«

[42」[4）

【解析】

【分析】当乃＞2T时，易知必满足题意；当乃＜2T时，根据可得。xe[加y,2加矶，由最大

值点的个数可构造不等式组，结合。＞0确定具体范围.

【详解】至少存在两个不相等的实数%,々目匹2句，使得/（%）+/（々）=24,

，当兀＞2T=——,即。＞4时，必存在两个不相等的实数内，羽«匹2句满足题意；

60

当»＜27,即0＜刃＜4时，5],

7ia)<—+2k兀8G—F2k

。\JP),2s(丘Z)；

ZTICD2-----F2ATTco>-+k

24

9513

当左WO时，解集为0,不合题意；令k=l,则一VoV—；令k=2,则一＜。＜4；

424

'951「13＞

综上所述：实数。的取值范围为u—,+®.

424

9513

故答案为：—。­,+°0

424

【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用

整体对应的方式，根据”的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.己知集合4={川—4<1一x<3},B=^x\2m—4<x<3m+4^.

（1）若m=0,求Ac8;

（2）若AuB=B,求实数机的取值范围.

【答案】(1)AB={x\-2<x<4}.,

(2)

3

【解析】

【分析】(1)解一元一次不等式求集合A,应用集合交运算求结果；

(2)由题意A。8,列不等式组求参数范围.

【小问1详解】

由题设，A={x\-2<x<5},B={x\-4<x<4},

所以AB={x\-2<x<^}.

【小问2详解】

2m—4<—21

由题意AuB,则，可得一<"2<1.

—3m+4>53

18.已知三是函数/(x)=2asinxcosx+2cos之x+1的一个零点.

(1)求实数。的值；

(2)求“X)单调递减区间.

【答案】(1)-V3

77T71,

(2)kjt,7k,7tH—,keL

一63_

【解析】

【分析】(1)利用函数的零点的定义，求得实数。的值.

(2)利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得了(无)的单调递减区间.

【小问1详解】

解：因为/(x)=2asinxcosx+2cos?x+l,所以/(x)=asin2x+cos2x+2

由题意可知/=0,即/[9)=asin-^-+cos3-+2=0,

即=—g+2=0'解得a=_百.

【小问2详解】

解：由(1)可得/(x)=cos2x-石sin2x+2=2cos[2x+qj+2,

函数V=cos%的递减区间为[2左江,2壮+万]，左£Z.

兀兀兀_

令2人万<2xd——<2k兀+肛左wZ,得左〃---<x<k7r-\——eZ,

363

jrjr

所以了(无)的单调递减区间为k7u--,k7r+-，左eZ.

19.设函数/(x)=(x-4)(x-a),aeR.

⑴解关于x的不等式，/(%)<0；

(2)当工«4,+巧时，不等式/(无)2—16恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)a<12.

【解析】

【分析】(1)讨论a,4的大小关系分别求解集即可；

(2)将不等式化为a«x+工-在xe(4,+”)上恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得a的取值

范围.

【小问1详解】

当a<4时，不等式/(%)=(%—4)(%—a)<0的解集为(a,4),

当a=4时，不等式/(%)=(%—4)(%—a)<0的解集为0,

当。>4时，不等式/(%)=(%—4)(%—a)<0的解集为(4,a).

【小问2详解】

_16]6

因为工£(4,+8),由/(龙)2—16可得：x-a>----,即-----,

因为x+旦=x—4+旦+422」(x—4)•旦+4=12,当且仅当X—4=生，即x=8时等号成

x-4x-4Vv7x-4x-4

立，

所以〃<12.

20.已知g(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且〃x)=g(x)+2.

(1)若/(a)=4,求/(—a)的值；

⑵对任意的9e(-2,2),石，々，恒有"(七)一/(々)](石一龙2)>。，解关于x的不等式

/(2%-1)+/(%)>4.

【答案】⑴0；(2)

【解析】

【分析】(1)根据函数的奇偶性计算/(a)+/(—。)即可得解；

(2)由"(七)一/(龙2)](石—无2)>。可推出函数/(%)单调递减，可得且(%)=/(0—2单调递减，不等

式可转化为g(2x-l)>g(—力，利用单调性求解即可.

【小问1详解】

因为g(x)是奇函数，所以g(a)+g(-a)=0,

则/⑷+f(-。)=§(。)+2+g(-«)+2=4,

因为/(a)=4,所以7•(—a)=0；

【小问2详解】

不妨设一2<%</<2,贝!]X]—％<0，

又因为"(%)一/(々)](七一七)>°，

所以/(%)—/(々)<。,

则/(%)在(-2,2)上单调递增，

所以g(%)=/(1)—2在(—2,2)上单调递增；

因为〃2x—1)+/(*>4,

所以/(2x—1)—2+/(x)—2>0,

所以g(2x-l)+g(x)>。，

又因为g(x)为奇函数,所以g(2x-l)>g(-x),

—2<2x—1<2

又因为g（X）在（-2,2）上单调递增，所以-2<-X<2

2%—1>—X

13

——<x<—

22

13

〈一2<%<2=>—<%<—

则不等式/（2x—1）+/（x）>4的解集为,万J.

21.在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现

其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地

用函数y=asin（azx+°）+20（。>0,<y>0,0<。<7）的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如

图），并且从C点到今天的。点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票

未来一段时间的走势图会如图中虚线OE产段所示，且。石尸段与ABC段关于直线/:x=34对称，点8、

D的坐标分别是（12,20）、（44,12）.

（1）请你帮老张确定。、袱。的值，写出ABC段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（2）请你帮老张确定虚线DE尸段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍?

【答案】（1）3=8,=>（p=—>/（x）=8cos^^x+20,xe[0,24]

(2)y=8cos不^(68—x)+20,xs[44,68](3)16天.

【解析】

【分析】（1）由已知图中民。两点的坐标求得。与T,进而可得。的值，再由五点法作图的第三个点求

解9,即可得函数的解析式，并求得x的范围;

(2)由对称性求解£>石尸段的函数表达式，以及尤的取值范围;

(3)由8cos刍(68—x)+20=24解得：％=60,减去44即得答案.

【详解】(1)由图以及民。两点的纵坐标可知：。=20—12=8,-=12,可得：7=48,

4

e?兀兀

则口=——二——

4824

JTIT

由五米24+0=5-+2左》（左GZ）解得：（p