中考数学知识点与经典题型练习 最值问题中的将军饮马模型(解析版)

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马

将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，

先到河边饮(yin)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。

作图问题：在直线1上求作一点C,

使AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这

个点到点A,点B的距离的和最短？

解决方

案

连接AB,与直线1相交于一点C.

AC+BC最短(两点之间线段最短)

(2)现在假设点A5B分别是直线I同侧的两个点，如何在I上找到一个点，使得这

个点到点A,点B的距离的和最短？

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABCO的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,P点在AC上移动,

则PE+PD的最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】连接8E,交AC^Γ点、N,连接。M,M即为所求的点，则8E的长即为DP+尸E的

最小值，利用勾股定理求出BE的长即可.

【详解】解:如图，

∙.∙四边形ABCO是正方形，

.∙.点B与点。关于直线AC对称，

连接8E,交AC于点M,连接。M,

ZW=BM

DN+EN=BN+EN,≥BD,

则BE的长即为QP+PE的最小值，

AC是线段2。的垂直平分线，

XVCE=CZ）-DE=4-1=3,

在Rt&BCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

∖'BE>0,

.∙.8E=5,

即OP+PE的最小值为5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知

识，将PE+PD的最小值转化为8E的长是解题的关键.

2.如图，正方形ABCD的边长为4,点M在。C上，且。M=I,N是4C上一动点，则DN+MN

的最小值为（）

A.4B.4√2C.2√5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点8与力关于直线AC对称，连接交AC于NIV即为

所求在Rt∆BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可.

【详解】Y四边形ABCo是正方形，

二点8与/)关于直线AC对称，

：.DN=BN,

连接8/),8A/交ACTM,连接。M,

当8、N、M共线时，ON+MN有最小值，则8M的长即为Z)N+Λ∕N的最小值，

•••AC是线段8。的垂直平分线，

又∙.∙8=4,DM=I

.∙.CΛ∕=CO-OΛ∕=4-I=3,

在RtCM中，BM=4CM-+BC1=√32+42=5

故Z)N+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线AC的对

称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键.

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,8C=6,点P是矩形A3C。内一动点，且5小=白.”，

则尸C+P。的最小值是()

A.4√3B.4√5

C.2√13D.2√29

【答案】B

【分析】作PM，Ao于M,作点。关于直线尸M的对称点E,连接PE,EC.设AM=x.由

2例垂直平分线段OE,推出PQ=PE,⅛⅛PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出EC的

值即可.

【详解】解：如图，作「历，AD于作点。关于直线尸M的对称点E,连接尸E,EC.设

AM=x.

Y四边形ABC都是矩形,

.∖AB∕∕CDfAB=CD=4,BC=AD=6,

VSPAB=-SPCD,

Δ2δ

-×4×x=-X-×4×(6-x),

222

u

.∙x=2f

ΛΛM=2,DM=EM=4,

22

在&AES中，EC=y∣CD+DE=4√5,

：PM垂直平分线段OE,

：.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

ΛPD+PC≥4√5,

∙∙.PO+PC的最小值为4石.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的

性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

4.如图，等边AABC的边长为6,Ao是BC边上的中线，M是AQ上的动点，E是边AC上

一点，若AE=2,则EM+CM的最小值为（）

A

A.而B.3√3C.2√7D.4√2

【答案】C

【分析】连接BE,交A。于点例，过点E作EFLBC交于点凡此时EM+CM的值最小,

求出BEBPuJ'.

【详解】解：连接8E,交AO尸点M,过点E作E尸，BC交于点片

「△ABC是等边三角形，是8C边上的中线，

；.B点、与C点关于A。对称，

.,.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此时EM+CM的值最小，

VAC=6,AE=I,

.∙.EC=4,

在Rf△EFC中,NECF=60。，

ΛFC=2,EF=2√3,

在RtA8EF中，BF=A,

：.BE=2币,

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定

理是解题的关键.

5.已知线段AB及直线/,在直线/上确定一点P,使∕¾+PB最小，则下图中哪一种作图方

法满足条件（）.

B

【答案】C

【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】解：；点A，8在直线∕的同侧，

二作B点关于/的对称点B',连接AB'与/的交点为P,由对称性可知BP=B'P,

：.∕¾+PB=尸8'+∕¾=48'为最小

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在宜线上找一点到两点距离

最短的方法是解题的关键.

6.如图，点M是菱形A8C。的边BC的中点，P为对角线B。上的动点，若AB=2,ZA=

120。，则PM+PC的最小值为（）

A.2B.√3C.√2D.1

【答案】B

【分析】连接AM、AC,AM交BD于P,此时尸M+PC最小，连接CP,由菱形的性质可知

C和A关于BQ对称,AP=CP,由条件易证△ABC是等边三角形,根据三线合一可知AMLBC,

再根据勾股定理可求AM的值，即可求解.

【详解】解：连接4历、AC,AM交8。于P,

此时PM+PC最小，连接CH

AD

；四边形ABC。是菱形，

04=0C,AClBD,

...C和A关于8。对称，

：.AP=PC,

'：NA=I20°,

ZABC=60o,

...△A8C是等边三角形，

.,.AC=AB=2,

；例是BC的中点，

C.AMVBC,

N8AM=30°,

.∖BM=l,

.".ΛΛ∕=√Aδ2-BM2=√3>

.∙.PM+PC=AM=B

故选B.

【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与

性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置.

7.如图，在中，AB=2,NABC=60。，NACB=45。，。是BC的中点，直线/经过

点。，AE±l,BFLl,垂足分别为E,F,则AE+8F的最大值为（）

【答案】A

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进

行计算即可.

【详解】解：如图，过点C作CKjJ于点K,过点A作AH_LBC于点H,

在Rt∆AHB中,

VZABC=60o,AB=2,

.,.BH=1,AH=G,

在RlZiAHC中，ZACB=45o,

2222

∙'∙AC=y∣AH+CH=λ∕(>Λ)+(√3)=√6，

Y点D为BC中点，

BD=CD,

在4BFD与ACKD中，

'NBFD=NCKD=90。

-NBDF=NCDK,

BD=CD

Λ∆BFD^∆CKD(AAS),

.∙.BF=CK,

延长AE,过点C作CNlAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

当直线AC时，最大值为"，

综上所述，AE+BF的最大值为卡.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形

是解答此题的关键.

8.如图，凸四边形ABCQ中，NA=90。,NC=90。,ND=60。,AD=3,4B=√J,若点M、N

分别为边CRAO上的动点，则，&WN的周长最小值为()

C

B

Di---------------A

A.2√6B.3√6C.6D.3

【答案】C

【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明8'*最短，

多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出

ABMN的周长最小值为6.

【详解】解：作点B关于S、AO的对称点分别为点8'和点川,

连接BTT交Z）C和AD于点M和点N,DB,连接MB、NB；

再DC和A加上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N）,

连接Λ√5,M,β.NB和NE,如图1所示：

RM'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN+BN'>B1B",

又∙BrB"=BtM+MN+NF,

MB=MB,NB=NB",

NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

∙∙∙∕δ8,mw=NB+MW+8M时周长最小；

连接DB,过点B'作BH±DBT于8"。的延长线于点H,

如图示2所示：

「在R/ABD中，AD=3,AB=6，

DB=∖∣AD2+AB2=√32+(√^)2=2√3.

.2=30°,

.∙.Z5=30o,DB=DB",

X-ZADC=Nl+N2=60°,

ΛZI=30°,

.∙∙Z7=30o,DB'=DB.

.∙.ZB,DB∙=Zl+Z2+Z5+Z7=120o,

DB'=DB"=DB=2^,

又∙Zβ,D2Γ+Z6=l80o,

.∙.Z6=60o,

.∙.WD=√3»HB'=3,

在RlABlHfr中，由勾股定理得：

2222

B'B"=HB'+HB"=λ∕3+(3^)=√27+9=6.

:几MN=NB+NM+BM=6,

故选：C.

【点睛】本题综合考查了轴对称一最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最

短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点

之间的长度.

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，

其实这些矩形的长与宽之比都为友:1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在"标准

矩形"ABCD中，如图所示，点。在Z)C上，且DQ=AO,若G为BC边上一动点，当aAGQ

【答案】上史

2

【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△4GQ的周长最

小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可.

【详解】解：设DC=Ox,DQ=AD=x,

ΛCC=(√2-1)Λ

：矩形48C。，

CB=/8=90。，AB=DC=近X,BC=AD=χ,

21

AQ=y∣AD+DQ=√2x,

如图，作Q点关于BC的对称点E,连接AE交BC于点M,

C.GQ=GE,C(2=Cf=(√2-l)x

AQ+QG+AG=√2Λ+AG+E,G>√2X+AE.

当A、G、E三点共线时，AAGQ的周长最小，

此时G点应位于图中的M点处；

：矩形ABCZ)中，ZQCG=90o,

.∙.E点位于QC的延长线上，

.∖CE∕∕AB,

.∙.CM_CE(应TX_2-亚

~MB~~AB~-√2x--2-

即生="包，

GB2

2-√2

故答案为:

2

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的

推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比

例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段

成比例.

10.如图，点尸是NAoB内任意-点，OP=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线OBI:

的动点，ZAOB=30°,则PMN周长的最小值是.

【答案】3

【分析】根据“将军饮马''模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到

11PΛW周氏的最小的位置，作出图不，充分利用对称性以及4。8=30。，对线段长度进行等

量转化即可.

解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的时称点产、产，连接PP-、PP、PP、

OP∖OP",其中P产分别交OB、OA于点N、M,根据“两点之间线段最短”可知，此时点

M.N的位置是使得PMV周长的最小的位置.

由对称性可知：PN=P'N,PM=P"M,NPOB=ZPOB,ZPOA=ZPnOA

OP=Op"=OP=3,

ZPOA+ZPOB=ZAOB=30°

.∙.N产。4+NP'O8=30°

.∙.ZPOA+NPoB+NP"OA+NPoB=NPoP"=60o

.•.△POP"为等边三角形

.∙.PP=OP=OP=3

：.PMN的周长=PN+PM+MN=PN+P"M+MN=PP"=3

故答案为：3

【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利

用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键.

ɪɪ.如图，等边AMC的边长为4,点E是AC边的中点，点P是ΔABC的中线Ao上的动点，

则EP+CP的最小值是.

【答案】2√3

【分析】当连接8E,交A。于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【详解】解：连接8E

•••△ABC是等边三角形，4。是8C边上的中线,

.∖AD±BC,

.∙.A。是8C的垂直平分线，

点C关于AC的对应点为点B,

ABE就是EP+CP的最小值.

「△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

ΛBE⅛ΔABC的中线，

：.CE=AC=I,

BE=4BC2-CE2=2也

即EP+CP的最小值为2√L

故答案为：2>fi.

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练学

握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键.

12.如图，正方形ABC。的边长为8,点"在。C上且。M=2,N是AC上的一动点，则

DN+MN的最小值是.

【分析】要求力N+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化力M

MN的值，从而找出其最小值求解.

【详解】解：•••正方形是轴对称图形，点8与点。是关于直线AC为对称轴的对称点，

连接BMBD,

.∖DN+MN=BN+MN,

连接8M交AC于点尸，

Y点N为AC上的动点，

由三角形两边和大于第三边，

知当点N运动到点尸时，BN+MN=BP+PM=BM,

8N+MN的最小值为8M的长度，

：四边形ABCO为正方形，

ΛBC=CD=8,CM=8-2=6,ZBCM=90°,

：.BM-√62+82=IO-

ON+MN的最小值是10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

13.如图所示，在ABC中，AB=AC,直线EF是A3的垂直平分线，。是BC的中点，M

是Er上一个动点，45C的面积为12,BC=4,则A3Z)M周长的最小值是.

【答案】8

【分析】连接AO,AM,由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM,则△8。M的周长

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想△8。W的周长最小，即要使AM+DW的值最小，故当A、

例、。三点共线时，AM+/)M最小，即为AO,山此再根据三线合一定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接AzxAM,

尸是线段AB的垂直平分线，

：.AM=BM,

：.ABDM^z=8D+BM+DM=AM+DM+βD,

要想△8。M的周长最小，即要使AM+OM的值最小，

二当A、M、。三点共线时，4M+DM最小，即为40,

"：AB=AC,。为BC的中点，

：.ADLBC,BD=-BC=2,

2

SΔABC=^AD-BC=12,

.∖AD=6,

：.ABDM的周长最小值=4O+BD=8,

故答案为：8.

E

B

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据

题意得到当A、M、。三点共线时，AM+DW最小，即为AD

14.如图，在四边形ABC。中，NBCQ=50。，NB=/0=90。，在BC、Ce上分别取一点

M、M使AAMN的周长最小，则∕M4N=°.

【分析】作点A关于BC、CQ的对称点4、A2,根据轴时称确定最短路线问题，连接4、

人分别交8C、OC于点M、N,利用三角形的内角和定理列式求出/4+/A2,再根据轴对

称的性质和角的和差关系即可得NMAM

【详解】如图，作点A关于8C、CZ）的对称点4、A2,连接4、4分别交BC、OC于点M、

N,连接AM、AN,则此时AAMN的周长最小，

VZBCD=50o,N8=ND=90°,

J/BA£)=360。-90°-90o-50o=130o,

ooo

ΛZA/+ZA2=I80-130=50,

•・•点4关于8C、CO的对称点为A/、A2f

：.NA=NA2,MA=MA∣f

：.ZA2=ZNAD,ZA1=ZMAB,

o

：.NNAD+NMAB=ZΛ∕+ZA2=50,

：・∕MAN=∕BAD-(NM40+NMAB)

=130°-50°

=80°,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线

段最短问题是解决本题的关键.

15.如图，在矩形ABC。中，AB=I5,BC=20,把边AB沿对角线BO平移，点4,分别

对应点A,B给出下列结论：

①顺次连接点4,B',C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线Av的对称点的距离为50；

③AC-QC的最大值为15；

@A'C+B'C的最小值为9√17.

其中正确结论的序号是

【答案】③④

【分析】①根据平行四边形的判定定理判断即可；②作点C关于直线A4的对称点E,交直

线AA”于点T,交直线于点0,则CE=40C,利用等面积法求出OC即可；③根据

4C一B'CVA'3',当线段AB平移至方与£）点重合,即:A,以C三点共线时,AC-B,C=A'B'

即可判断;④作D关于直线4V的对称点D<连接Ozy交直线AA厅点J,过点正作UE1CD,

交C/）延长线于E点，连接CD',交直线A4于点4,此时满足IC+夕C的值最小，即为CO

的长度，结合相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：①由平移的性质可知：ABHAB',AB=AB',

由矩形的性质可知：ABHCD,AB=CD,

：.AB'//CD,A'B'=CD,

；•四边形ABCD为平行四边形，

当点8与力重合时，四边形不存在，

故①错误；

②如图1所示，作点C关于直线AV的对称点E,交直线A4于点T,交直线BZ）于点。，则

CE=WC,

；四边形ABC。为矩形，

.∙.N8C7>90°,Cc）=A8=15,

∙'∙BD=y∣BC2+CD2=25，

∙.∙SABCD=gBC，CD=3BdOC,

.∙.OC=孙312,

.∙.EC=4x∣2=48,故②错误;

如图2所示，当线段AB平移至8与O点重合,即:4,夕,C三点共线时，AC-B,C=A'B'=15,

A'C-5'C最大值为15,故③正确；

④如图2所示，由①可知，B'C=A'D,

：.A'C+B'C=A'C+A'D,

作D关于直线AA，的对称点D¢,连接DD交直线AA，于点./,

过点D0作。'ELCO,交CZ)延长线于E点，连接C。'，交直线A4于点4,

此时满足A'C+B'C的值最小，即为CD'的长度，

山对称的性质可知：ZAJD=90o,

由平行的性质可知：ZBDJ=180o-ZΛJZ)=90o,

即：NAD/+408=90。，

,.∙NA8。+408=90。，

/ABD=NADJ,

∆ABD^∆JDA,

...-D-J=-A-D-,

ABBD

,DJ20

即o1：——=—，

1525

ΛDJ=12,

f

DD=2DJ=24f

又，：DtEHAD,

：・ZEI7D=ZADJ9

・•・ZEDfD=ZABD,

YZE=ZBAD=90o,

：・hABD〜AED'D,

,

：.DE=-tED=『

：.EC=ED+DC=-+∖5=-

55f

由勾股定理：CD,=y]DrE2+EC2=9Jl7，故④正确,

V…一广

W,•••；

沙

故答案为：③④.

【点睛】本题考查矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质等，理解并掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，熟练运用相似三角形的

判定与性质是解题关键.

16.如图，O为矩形ABCD对角线AC,8。的交点，AB=S,M,N是直线BC上的动点，且

MN=2,则0M+0N的最小值是,

【答案】2后

【分析】根据题意，过。作OHHB3且令OH=2,连接NH,作O点关于BC的对称点K,

连接OK,KH,则OM+ON=NH+0N=NH+NK≥HK,当4、N、K三点共线的时候，OM+ON

有最小值，最小值为HK的长.根据矩形性质及图形的对称性，易知NKO"=90。，在

RtAKOH中，运用勾股定理求得HK的长即uʃ.

【详解】解：过。作0H〃8C,且令04=2,连接N”，作。点关于8C的对称点K,连接

OK,KH,

'：OH//BC,OH=MN=2,

：.四边形OMNH是平行四边形，

:・OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

点关于BC的对称点是点K,

：.ON=NK,

：.OM+ON=NHWN=NH+NK,

、:NH+NK≥HK,

，当〃、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为”K的长.

YOHHBC,O点关于BC的对称点是点K,

.∙.NKOH=90。.

•・•O为矩形ABCO对角线Ac3。的交点，。点关于3。的对称点是点K,

/.OK=AB=8.

VOH=2f/KOH=90。,

∙'∙HK=yJθH2+OK2=2y∕∏，

，。用+0"的最小值是2万.

【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画

出OM+ON取最小值时所对应的线段，是解题的关键.

17.如图，菱形ABCD的边长为6,ZABC=120o,M是BC边的一个三等分点，P是对角

线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是.

BM

【答案】Ji

2

【分析】如图，连接DP,BD,作DHLBC于H.当£＞、P、M共线时，P"+HW="M值最

小，利用勾股定理求出。M,再利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，连接。P,BD,作。HL8C于H.

Y四边形ABC。是菱形，

.'.AClBD,B、O关于AC对称，

.,.PB+PM=PI)+PM

当。、P、M共线时，。6+用/=〃〃的值最小,

'：CM=-BC=I

3

,/ZABC=120°,

NDBC=NA8D=60°

...△OBC是等边三角形，

YBC=6,

：.CM=2,HM=I,DW≈3√3,

在RtADMH中，

DM=^DH2+/∕i∕2=√(3√3)2+l2=2√7

∖'CM∕∕AD

.P,M_CM_2

DFAD63

；•P,M=-DM=—

42

故答案为：立.

2

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、

平行线线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

三、解答题

18.如图，在Rt△ABC中，NACB=90。，/ABC=30。,AC=2,以BC为边向左作等边4BCE,

点。为AB中点，连接CQ,点P、。分别为CE、CQ上的动点.

(1)求证：AAOC为等边三角形；

(2)求PD+PQ+QE的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)4.

【分析】(1)先根据直角三角形的性质可得NBAC=60。,AL>=8,再根据等边三角形的判

定即可得证：

(2)连接R4,QB,先根据等边三角形的性质可得NACE=T∠A8,再根据等腰三角形的

三线合一可得CE垂直平分AD,然后根据线段垂直平分线的性质可得Rl=PD,同样的方

法可得QB=QE,从而可得PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即

可得出答案.

【详解】证明：(1)在RLABC中，ZACB=90o,ZABC=30o,ACɪ2,

.∙.ZBAC=60o,AB=2AC=4,

点。是Rt45C斜边AB的中点，

.∙.AD=AC=2,

二A。C是等边三角形：

(2)如图，连接PAQ8,

QVBCE和，ADC都是等边三角形，

.∙.ZBCfi=60o,ZACo=60°,

.∙.NACE=ZACB-ZBCE=30。=LZACD,

2

,CE垂直平分45,

.-.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分8E,

QB=QE,

:.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由两点之间线段最短可知，当点A,P,Q,8共线时，PA+PQ+08取得最小值A8,

故PD+PQ+QE的最小值为4.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质等知识点，熟

练掌握等边三角形的性质是解题关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，直线4B分别与X轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两

点，其中。4=2,LABC=12,点C在X轴的正半轴上，且OC=O8.

(1)求直线AB的解析式；

(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线直线//与y轴交于点E,与直线C8交于

点D,过点E作y轴的垂线/2,若点P为y轴上一个动点，。为直线/2上一个动点，求

PD+PQ+DQ的最小值；

(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N,使以点A、。、M、N为顶点的四

边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=2x+4

(2)4√5

⑶存在以点4、D、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)设OB=OC=由SABC=I2,可得8(0,4),设直线A8解析式为y=履

+h,利用待定系数法即可求解；

(2)将直线48向下平移6个单位，则直线"解析式为y=2t-2,可得E(0,-2),垂线/2

的解析式为y=-2,由8(0,4),C(4,0),得直线BC解析式为y=r+4,从而可求得

D(2,2),作。关于y轴的对称点。，作。关于直线y=-2对称点。"，连接。力"交y

轴于P,交直线丫=-2于Q,此时尸。+P。+。。的最小，根据沙(-2,2),D''(2,-6),

得直线DC”解析式为y=-2r-2,从而尸(0,-2),Q(0,-2),故此时PC=22√LPQ

=0,DQ=2也,尸。+尸。+。。的最小值为46.

(3)设P(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),①以A。、MN为对角线，

此时4。中点即为MN中点，根据中点公式得N(0,-2)；②以AM、DN为对角线,同理可

得N(0,10)；③以AMOM为对角线，同理可得N(0,-2).

(1)

解：⑴设08=0C=m,

VOA=2,

ΛAC=∕π+2,A(-2,0),

VS21AfiC=12,

,JAC∙08=12,即gm∙(∕π+2)=12,

解得"2=4或m=-6(舍去)，

IOB=OC=A,

：・B(0,4),

设直线AB解析式为y="+。，

.∫0=-2⅛+⅛

4=b'

[k=2

解得、J

[b=4

直线AB解析式为y=2x+4;

(2)

将直线ABy=2x+4向下平移6个单位，则直线//解析式为y=2x-2,

4*x=0得y=-2,

：.E(0,-2),垂线/2的解析式为y=-2,

VB(0,4),C(4,0),

设宜线BC解析式为y=px+q,

jθ=4p+q

I4=q

P=-I

解得《

夕=4

.∙.直线BC解析式为y=-χ+4,

y=-x+4X=2

由得:

y=2x-2y=2

：.D(2,2),

作。关于y轴的对称点。'，作。关于直线y=-2对称点。"，连接。。”交)，轴于P,交直

线y=-2于Q,此时PD+PQ+DQ的最小，如图:

：.D'(-2,2),D"(2,-6),

设直线On”解析式为y=sx+t,

[2=-2s+t(s=—2

则Aɔ，解得C，

(-6=2s+rμ=-2

.∙.直线。。解析式为y=-2χ-2,

令X=O得y=-2,即P(0,-2),

令y=-2得X=0,即Q(0,-2),

此时Po=2逐，PQ=O,DQ=I45,

：.PD+PQ+DQ的最小值为4√5.

(3)

存在，理由如下：

设P(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),

①以AD、MN为对角线，如图：

此时AO中点即为MN中点"

.∣-2+2=p+0解得W=O

∙>[0+2=2p÷4+⅛,[q=-2

：.N(0,-2)；

②以AM、DV为对角线，如图：

f-2+〃=2+0fp=4

同理可得：八C，。，解得“、，

[0+2p+4=2+qW=Io

：・N(0,10)；

③以AMOM为对角线，如图：

：.N(0,-2),

综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为(0,-2)或(0,

10).

【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和

的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解

决问题.

20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与

原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在AABC中，AB=AC=I,

NBAC=IO8。，DE垂直平分AB,且交BC于点。，连接AZX

图1图2图3

(1)证明直线Ao是△ABC的自相似分割线；

(2)如图2,点P为直线QE上一点，当点尸运动到什么位置时，∕¾+PC的值最小？求此时

∕¾+PC的长度.

(3)如图3,射线C尸平分NAC8,点Q为射线C尸上一点，当AQ+正二ɪeQ取最小值时，

4

求NQAC的正弦值.

【答案】(1)直线力。是AABC的自相似分割线；

(2)当点P运动到。点时，%+PC的值最小，此时PA+PC=且土'■：

2

(3)/QAC的正弦值为垦1

【分析】(1)根据定义证明△DBASAABC即可得证；

(2)根据垂直平分线的性质可得R4+PC=PB+PC≥3C,当点尸与。重合时，

Λ4+PC=P8+PC=8C,止匕时Λ4+PC最小，设8D=x,则BC=X+1

根据DBASCABC,列出方程,解方程求解即可求得8。，进而即可求得8C的长，即PA+PC

最小值；

(3)过点A作于点”，过点。作QGJ.8C于点G,连接AG,设CF与AO交于

点根据已知条件求得GQ=且二ɪeθ,进而转化为4。+且二ɪCQ=AQ+GQ,则当Q

44

点落在AG上时，点G与点H重合，此时AQ+亚二Ie。的值最小，最小值为A”,进而根

据sinAQAC=sinNHAC=—求解即可.

(1)

:△4BC中，AB=AC=LZBAC=108°

ΛZB=ZC=y(180o-ZBAC)=36°

YOE垂直平分AB

；.AD=BD

...NB=NBAO=36。

.'.ZC=ZBAD

又,：NB=∕B

...△DBAs△ABC

.∙.直线AD是4ABC的自相似分割线.

(2)

如图，连接尸8,AO，

图2

上垂宜平分AS

,PA=PB

:.PA+PC=PB+PC≥BC

当点PH。重合时，PA+PC=PB+PC=5C,此时Q4+PC最小,

ZADC=AB+ABAD=IT,ZDAC=ZBAC-ZBAD=72°

.∙.ZADC=ZDAC

.∖CD=CA=}

没BD=X,则BC=X+1

08ASABC

,BDAB

'~ΛB~'BC

X1

/.一=---

1x+1

.∙.x2+x-l=O

-1±√5

解得：X—

2

x>O

.r-1+ʌ/ʒ

2

.∙.8C=x+1=^ʌɪ

2

.∙.A⅞+PC=2^11

2

・・・当点P运动到。点时，南+PC的值最小，此时PA+PC=巫士ɪ;

2

(3)

如图，过点A作A"L8C于点H,过点。作。GLBC于点G,连接AG,设。尸与A。交于

点、M，

:.CH=-BC=^^-

24

由（2）知，DC=AC=I

CF平分NACB

:.CMlAD

1√5-1

DM=AM=-AD=-——

24

.∙.sinNMCD=阻=也=石一1

CQCD4

GQ=J^-CQ

:.AQ+^^-CQ=AQ+GQ≥AG

4

AG≥AH

•・Q点落在AG上时，点G与点H重合,

即此时AQ+或二ɪeQ的值最小，最小值为AH

4

.∙.AQAC=AHAC

AB=AC,AHVBC

,叫/号

.∙.sinZQAC=sinZHAC=—=避ʌɪ

AC4

∙∙∙∕QAC的正弦值为县I

4

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂宜平分线的性质，两点之间

线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键.

21.在长方形ABCf）中，Aβ=4,8C=8,点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q

的左侧，P、。均不与顶点重合），PQ=2

图③

（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当。移动到BC边上的中点时，求证：AP=QE;

（2）如图②,若点E为CQ边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时,

求B尸的长；

（3）如图③，若M、N分别为AO边和CO边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP

=3,且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积.

【答案】（1）见解析

(2)4

(3)4

［分析］（1）由“SAS'可证△ABP^∕∖QCE,可得AP=QEi

（2）要使四边形APQE的周长最小，山于AE与PQ都是定值,只需AP+EQ的值最小即可.为

此，先在BC边上确定点RQ的位置，可在Ao上截取线段AF=QE=2,作尸点关于BC的

对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作产。的平行线交8C于一点，即为P

点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作8C的平行线交OC的延长线于，点，那么先

证明/GE〃=45。，再由Cβ=EC即可求出8P的长度；

（3）要使四边形PQVM的周长最小，由于P。是定值，只需PM+MN+QV的值最小即可，

作点尸关于AD的对称点凡作点。关于Cz）的对称点H,连接FH,交AO于M,交CD于

N,连接PM,QN,此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解.

(1)

解：证明：∙.∙四边形ABCO是矩形，

：.CD=AB=A,BC=AD=S,

；点E是C。的中点，点Q是BC的中点，

：.BQ=CQ=A,CE=I,

LAB=CQ,

'JPQ=I,

.∖BP=2,

：.BP=CE,

又∙.∙∕8=∕C=90°,

ΛAABP^ΔQCE(SAS),

：.AP=QE-.

(2)

如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一

点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作8C的平行线交

OC的延长线于〃点.

•：GH=DF=6,£77=2+4=6,/4=90°,

NGEH=45。,

：.NCEQ=45。,

设BP=x,则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,

在ACQE中，VZβCE=90o,NCEQ=45°,

：.CQ=EC,

6-x=2,

解得Λ=4,

.∙.BP=4;

(3)

如图③，作点P关于A0的对称点凡作点。关于CO的对称点，，连接尸从交4。于M,

交CD于N,连接PM,QN,此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交A。于T,

图③

.∙.PT=FT=4,QC=BC-BP-PQ=S-3-2=3=CH,

.".PF=S,PH=S,

：.PF=PH,

又∙.∙∕FPH=90°,

ΛZF=ZW=45o,

VPFLAD,CDLQH,

：.ZF=ZTMF=45°,NH=NCNH=45。,

.".FT=TM=4,CN=CH=3,

：.四边形PQNM的面积=TXpFxpzy-TxpFxTTw-TxQHxcN=Txgxg-Txgxd-TxGxS=7.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最

短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点尸和点Q位置是解题的

关键.

22.在ABe中，？890?,。为BC延长线上一点，点E为线段4C,Co的垂直平分线的

交点，连接EA,EC,ED.

E

E

图3

(2)当Zfi4C=60。时,

①如图2,连接AQ,判断△/!££＞的形状，并证明;

②如图3,直线b与即交于点尸,满足NCFD=ZCAE.P为直线CF上一动点.当PE—PD

的值最大时，用等式表示PE,Po与AB之间的数量关系为，并证明.

【答案】（1）80；（2）△?!££）是等边三角形；（3）PE-PD=2AB∙

【分析】（1）根据垂直平分线性质可知Af=EC=ED,再结合等腰三角形性质可得

ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,利用平角定义和四边形内角和定理可得∕4W=2NACB,

由此求解即可;

（2）根据（1）的结论求出/A£D=2NAeB=60°即可证明AAEO是等边三角形;

（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边,找到当PE-阳的值最大时的P点位置,

再证明对称点。《与AO两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明

ACD^EDfD,从而可知PE—PD=PE-PD=ED'=AC,再根据30。直角二角形性质可

知AC=2Afi即可得出结论.

【详解】解：（1）：点E为线段AC,C。的垂直平分线的交点,

,AE=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,

二ZEAC+ZEDC=ZACE+ZECD=ZACD,

,.∙ZEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

2ZACD+ZAED=360°，

'：AACD+ZACβ=180o,

ZAED=2ZACB,

；在，ABC中，?B90?,Z