第五章几何变换

第五章几何变换第1页，课件共87页，创作于2023年2月5.1基本变换几何变换的定义：改变对象坐标描述的变换称为几何变换，例如改变对象的方向、尺寸和形状在坐标系不变的情况下，由对象的几何位置或比例改变等引起的变换第2页，课件共87页，创作于2023年2月几何变换的基本原理几何变换：变换图形就是要变换图形的几何关系，同时保持图形的原拓扑关系第3页，课件共87页，创作于2023年2月5.1

二维基本变换基本几何变换的类型平移旋转变比第4页，课件共87页，创作于2023年2月5.1.1平移平移定义：对象沿直线运动产生的变换平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换，物体的大小、方向、形状和位置不变参数：平移向量(Tx,Ty)公式： x'=x+Tx y'=y+Ty第5页，课件共87页，创作于2023年2月2D平移举例5010050100(-20，20)308070120xyxy平移向量第6页，课件共87页，创作于2023年2月5.1.2旋转旋转定义：对象沿圆弧路径运动产生的变换参数:旋转角θ，约定：逆时针为正旋转点(基准点)：(xr，yr)旋转变换也是一种刚体变换。物体的大小、形状不变，但方向和位置要改变第7页，课件共87页，创作于2023年2月针对坐标原点旋转公式:

x'=x*cosθ-y*sinθ

y'=x*sinθ+y*cosθ5.1.2旋转xyPP'θФ

第8页，课件共87页，创作于2023年2月5.1.2旋转x'=rcos(θ+Ψ)

=rcosθcosΨ-rsinθsinΨy'=rsin(θ+Ψ)=rsinθcosΨ+rcosθsinΨ因为：x=rcosΨy=rsinΨ则：上两个方程组可得到x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθ第9页，课件共87页，创作于2023年2月针对任意点（xr,yr）旋转

x'=xr+(x-xr)*cosθ-(y-yr)*sinθy'=yr+(x-xr)*sinθ+(y-yr)*cosθ旋转变换的计算效率改进：小角近似5.1.2旋转第10页，课件共87页，创作于2023年2月变比定义：改变对象尺寸的变换参数：缩放系数(Sx,Sy)，固定点(Xf,Yf)公式:针对坐标原点缩放 x'=x*Sx

y'=y*Sy

5.1.32D缩放(变比，比例变换)第11页，课件共87页，创作于2023年2月2D缩放举例11缩放变换(2，1)12xyxy1oo第12页，课件共87页，创作于2023年2月2D缩放讨论如果|Sx|或|Sy|大于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向放大；如果|Sx|或|Sy|小于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向缩小；如果|Sx|=|Sy|，则表示均匀缩放；如果|Sx|<>|Sy|，则表示差值缩放；如果|Sx|或|Sy|等于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向不变；如果Sx或Sy小于零，则表示图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。第13页，课件共87页，创作于2023年2月2D缩放讨论缩放变换后，对象可能被重定位11缩放变换(2，1)12xyxy1第14页，课件共87页，创作于2023年2月2D变换的矩阵表示对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为普通距阵形式：

P'=M1*P+M2

P’、P表示变换前后两个点的坐标的列向量M1是一个包含乘法系数的2×2距阵M2是一个包含平移项的两元素列距阵第15页，课件共87页，创作于2023年2月2D变换的矩阵表示平移：M1是单位距阵；旋转或缩放：包含与基准点或缩放固定点相关的平移项。为了利用这个方程实现先缩放、再旋转后平移这样的变换顺序，必须每次一步一步地计算点在变换后的坐标。有效方法是最后坐标位置能从初始坐标位置得到，这就消除了中间坐标值的计算。引入齐次坐标技术对点的坐标重新表示第16页，课件共87页，创作于2023年2月2D变换的矩阵表示齐次坐标：Maxwell.E.A在1946年从几何的角度提出来的基本思想是把一个n维空间的几何问题转换到n+1维空间中去从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空间中的点。第17页，课件共87页，创作于2023年2月2D变换的矩阵表示如：二维空间中点的坐标(x,y)的齐次坐标表示为(h*x，h*y，h)(h≠0的任意实数)。只要给定一个点的齐次坐标表示(xh，yh，h)，就能得到唯一的笛卡儿坐标(x,y)x=xh/h，y=yh/h第18页，课件共87页，创作于2023年2月2D变换的矩阵表示一个笛卡儿坐标表示的点，用齐次坐标表示时，是无穷的，但一个齐次坐标表示的点，用笛卡儿坐标表示时，是唯一的齐次坐标表示不是唯一的，通常当h=1是时，称为规格化齐次坐标用齐次坐标技术，可改写平移变换、缩放变换和旋转变换为统一的乘积形式第19页，课件共87页，创作于2023年2月平移变换 x'10txx y'=01tyy10011

P'=T(tx,ty)*P 2D变换的矩阵表示第20页，课件共87页，创作于2023年2月旋转变换 x'cosθ-sinθ0x y'=sinθcosθ0y10011

P'=R(θ)*P2D变换的矩阵表示第21页，课件共87页，创作于2023年2月变比变换 x'sx00x y'=0sy0y10011

P'=S(sx,sy)*P2D变换的矩阵表示第22页，课件共87页，创作于2023年2月5.3复合变换利用距阵表示，就可通过计算单个变换的距阵乘积，将任意顺序变换的距阵建立为组合变换距阵。形成变换距阵的乘积被称为距阵的合并或组合第23页，课件共87页，创作于2023年2月5.3复合变换连续平移连续旋转连续变比针对任意点的变换针对任意方向的变换实现第24页，课件共87页，创作于2023年2月5.3.1连续平移两个连续的平移向量(tx1,ty1)和(tx2,ty2)被用于点P，那么最后的点坐标可计算为 P'=T(tx2,ty2)·

{T(tx1,ty1)·P} ={T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·

P计算时，可先计算两个平移变换距阵的乘积 T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)=T(tx2+tx1,ty2+ty1)这表明：两个连续平移变换是相加的第25页，课件共87页，创作于2023年2月5.3.2连续旋转应用于点P的两个连续旋转，得到的点P'的坐标可计算为

P'=R(θ2)·{R(θ1)·P}={R(θ2)·R(θ1)}·P可以证明：两个连续旋转是相加的 R(θ2)

·

R(θ1)=R(θ1+θ2) 则P’的坐标可计算为 P'=R(θ1+θ2)·

P第26页，课件共87页，创作于2023年2月5.3.3连续变比两个连续缩放操作的变换距阵连接，产生的组合变换距阵 S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)=S(sx1·sx2,sy1·sy1)表明：连续缩放操作是相乘的，非叠加的第27页，课件共87页，创作于2023年2月5.3.4针对任意点变换对于绕任意基准点(xr,yr)的旋转，通过平移－旋转－平移变换这样的序列变换操作来完成方法平移对象使基准点移动到坐标原点针对原点做指定变换反向平移对象使基准点回到原位置第28页，课件共87页，创作于2023年2月(1)针对固定点缩放

10xf

01yf

001

sx000sy0001

10-xf

01-yf

001举例

sx0xf(1-sx)0

syyf(1-sy)001

=第29页，课件共87页，创作于2023年2月(1)针对固定点缩放xy(xf,yf)yxxyxy第30页，课件共87页，创作于2023年2月(2)针对固定点旋转

利用距阵连接可得到这个变换序列的组合变换距阵

R=T(xr,yr)·R(θ)·T(-xr,-yr)

其中：T(-xr,-yr)=T-1(xr,yr)第31页，课件共87页，创作于2023年2月(2)针对固定点旋转

10xr

01yr

001

cosθ-sinθ0sinθcosθ0001

10-xr

01-yr

001

cosθ-sinθxr(1-cosθ)+

yrsinθsinθcosθyr(1-cosθ)+

xrsinθ001

=第32页，课件共87页，创作于2023年2月(2)针对固定点旋转xy(xf,yf)yxxyxy第33页，课件共87页，创作于2023年2月(3)针对任意方向变换方法旋转对象使指定方向与坐标轴方向重合针对坐标轴方向做指定变换反向旋转使方向回到原方向例第34页，课件共87页，创作于2023年2月例:沿指定方向缩放xyS2S1θ第35页，课件共87页，创作于2023年2月例:沿指定方向缩放cos-θ-sin-θ0sin-θcos-θ0001Sx000Sy0001cosθ-sinθ0sinθcosθ0001s1cos2θ+

s2sin2θ(s2

-s1)cosθsinθ0(s2

-s1)cosθsinθs1sin2θ+

s2cos2θ0001

=第36页，课件共87页，创作于2023年2月例cos-45-sin-450sin-45cos-450001100020001S1=1,S2=2θ=45(0.5,1.5)cos45-sin450sin45cos4500011.50.500.51.50001T=xy(2,2)(1.5,0.5)xy11(1,1)第37页，课件共87页，创作于2023年2月通用变换矩阵 x'rsxxrsxytrsxx y'= rsyxrsyytrsyy10011 rsij是变换中（仅包含旋转角和缩放系数）的多重旋转-缩放项trsx、trsy是平移项 计算效率

2D变换的矩阵表示第38页，课件共87页，创作于2023年2月5.3.6实现P154~P155第39页，课件共87页，创作于2023年2月5.42D其他变换反射：产生对象的镜像沿X轴反射沿Y轴反射沿原点反射沿y=x反射错切:使对象发生形变沿X方向错切沿Y方向错切第40页，课件共87页，创作于2023年2月5.4.1反射沿x轴反射1000-100011232'3'1'xy第41页，课件共87页，创作于2023年2月沿y轴反射-1000100011231'3'2'xy5.4.1反射第42页，课件共87页，创作于2023年2月

沿(0,0)反射

-1000-100011231'3'2'xy5.4.1反射第43页，课件共87页，创作于2023年2月沿直线y=x反射cos-45-sin-450sin-45cos-4500011000-10001cos45-sin450sin45cos450001xyS1y=x010100001第44页，课件共87页，创作于2023年2月010100001沿直线y=x反射y=x121'2'xy33'第45页，课件共87页，创作于2023年2月0-10-100001沿直线y=-x反射y=-x121'2'xy33'第46页，课件共87页，创作于2023年2月5.4.2错切错切：是一种使对象形状发生变化的变换参数：错切系数yxyx第47页，课件共87页，创作于2023年2月5.4.2沿x轴方向错切公式：

x'=x+y·shx(shx≠0)y'=yshx为错切系数yxyx1shx0010001第48页，课件共87页，创作于2023年2月沿x轴方向错切1shx0010001xy1123(2,1)(3,1)shx=2xy11(1,1)第49页，课件共87页，创作于2023年2月100shy100015.4.2沿y轴方向错切shy=2xy11(1,1)xy11232(1,3)(1,2)第50页，课件共87页，创作于2023年2月5.5坐标系间的变换xyX'Y'x0y0θ从xy坐标变换到x'y'坐标平移:(x0,y0)到(0,0)旋转:使x'轴与x轴重合M=R(-θ)·T(-x0,-y0)第51页，课件共87页，创作于2023年2月光栅系统的特殊能力为变换物体提供另一种方法。光栅系统将图像信息作为像素样式存储在帧缓冲器中。一些简单的变换可通过简单地将储存的像素值的长方形数组在帧缓冲器内从一个位置移到另一个位置而快速地执行，仅需很少的算术操作，因此像素变换特别有效操纵长方形像素数组的光栅功能通常称为光栅操作，将一块像素从一个位置移到另一位置称为像素的块移动。在二值系统中，这个操作称为位块移动5.8变换的光栅方法第52页，课件共87页，创作于2023年2月5.8变换的光栅方法从指定光栅矩形区域中将像素亮度读入到另一个数组，而后将数组复制回到光栅新的位置。原始物体可通过用背景亮度来填充其矩形区域而删除平移的块移动：所有在矩形区域显示的位作为一块复制到光栅的另一部分。第53页，课件共87页，创作于2023年2月

旋转用块移动可完成90度的倍数的旋转。将阵列的每一行的像素值颠倒，而后交换其行和列来将物体逆时针旋转90度；将阵列的每一行中元素的次序颠倒，而后将行的次序颠倒来得到180度的旋转对于不是90度倍数的阵列旋转，需要完成更多的计算。变换的光栅方法第54页，课件共87页，创作于2023年2月369122581114710R(90)121110987654321R(180)变换的光栅方法初始阵列123456789101112

旋转第55页，课件共87页，创作于2023年2月缩放通过缩放原始像素区域并映射到一组目标像素区域上，然后根据两个区域的重叠情况设置目标像素的亮度8×6Sx=Sy=0.5变换的光栅方法第56页，课件共87页，创作于2023年2月5.9

三维几何变换基本变换：平移、缩放、旋转矩阵表示法特殊变换：反射、错移变换组合变换第57页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.1平移平移定义：参数：平移矢量(tx,ty,tz)公式： 100tx010ty001tz0001x'y'z'1x'y'z'1=第58页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2旋转旋转定义：参数:旋转轴，旋转角θ，方向公式:

绕z轴旋转

cosθ-sinθ0 0sinθcosθ000 0 100

001第59页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2旋转绕x轴旋转 1 0 000cosθ-sinθ00sinθcosθ00 0 0 1第60页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2旋转

绕y轴旋转cosθ0sinθ 00 1 0 0-sinθ0 cosθ 00 0 0 1第61页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2.1一般三维旋转旋转轴平行于某坐标轴平移物体使其旋转轴与平行于该轴的一个坐标轴重合完成指定的旋转反向平移物体使其旋转轴回到原来的位置第62页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2.1一般三维旋转举例旋转轴平行于X轴xyzL复合变换矩阵M=T-1RX(θ)T第63页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2.1一般三维旋转旋转轴不平行于任何坐标轴平移物体，使旋转轴通过原点旋转物体使旋转轴与某一坐标轴重合完成指定旋转反向旋转使旋转轴回到原始方向反向平移使旋转轴回到原始位置第64页，课件共87页，创作于2023年2月5.9.2.1一般三维旋转旋转轴由两个坐标点确定

P1(x1,y1,z1)

P2(x2,y2,z2)旋转轴矢量V=P2－P1=(Vx,Vy,Vz)沿旋转轴的单位向量u=V/|V|=(a,b,c)a=(x2-x1)/|V|、b=(y2-y1)/|V|c=(z2-z1)/|V||V|=sqrt(Vx2+Vy2+Vz2)P1P2xzyu第65页，课件共87页，创作于2023年2月第一步：平移物体，使旋转轴通过原点

平移矢量T1=T(tx,ty,tz)=T(-x1,-y1,-z1)

=xzyP1'P2'1 0 0 -x10 1 0 -y10 0 1 -z10 0 0 1第66页，课件共87页，创作于2023年2月第二步:旋转物体使旋转轴与z轴重合旋转物体使旋转轴与z轴重合分两步将向量U绕x轴旋转到xz平面上:Rx(α)将向量U绕y轴旋转到z轴上:Ry(β)xzyu(a,b,c)αxzyβu''(a,0,d)u''(a,0,d)uz(0,0,1)第67页，课件共87页，创作于2023年2月第二步:旋转物体使旋转轴与z轴重合第二步的第一小步将向量U绕x轴旋转到xz平面上:Rx(α)u'为u在yz平面上的投影u'(0,b,c)αxzyu(a,b,c)αu''(a,0,d)uz(0,0,1)第68页，课件共87页，创作于2023年2月将向量U绕x轴旋转到xz平面上:Rx(α)cos(α)，sin(α)求解利用向量的点乘运算确定余弦项cos(α)=u'.uz/(|u'|.|uz|)=c/d|uz|=1及|u'|=d=sqrt(b2+c2)利用向量的叉乘运算确定正弦项u'×uz=ux|u'|.|uz|sin(α)=b.uxsin(α)=b/d第69页，课件共87页，创作于2023年2月将向量U绕x轴旋转到xz平面上：Rx(α)

Rx(α)=1 0 0 00c/d-b/d 00b/dc/d 00 00 1第70页，课件共87页，创作于2023年2月第二步：旋转物体使旋转轴与z轴重合第二步的第二小步将向量U绕y轴旋转到z轴上:Ry(β)xzyβu''(a,0,d)uz(0,0,1)第71页，课件共87页，创作于2023年2月将向量U绕y轴旋转到z轴上：Ry(β)cos(β)，sin(β)求解利用向量的点乘运算确定余弦项cos(β)=u''.uz/(|u''|.|uz|)=d|uz|=1及|u''|=sqrt(d2+a2)=|u|=1利用向量的叉乘运算确定正弦项u''×uz=uy|u''||uz|sin(β)=-a.uysin(β)=-a第72页，课件共87页，创作于2023年2月将向量U绕y轴旋转到z轴上：Ry(β)

Ry(β)=d 0 -a 00 1 0 0a 0 d 00 0 0 1第73页，课件共87页，创作于2023年2月第三步：完成指定旋转Rz(θ)

Rz(θ)=cosθ-sinθ 0 0sinθ cosθ 0 0