第六章相关与回归

第六章相关与回归第1页，课件共61页，创作于2023年2月相关第一节相关分析第2页，课件共61页，创作于2023年2月蝴蝶翅膀振动候鸟迁徙海啸死亡人数correlation?第3页，课件共61页，创作于2023年2月一、相关关系的概念

1．函数关系它反映现象之间存在着严格的依存关系，在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一个变量的确定值与之相对应，并且这种关系可以用一个数学表达式反映出来。如：圆的面积与半径之间的关系，即第4页，课件共61页，创作于2023年2月2．相关关系它反映现象之间确实存在的，但关系数值不固定的相互依存关系。这一概念表明：（1）相关关系是指现象之间确实存在数量上的相互依存关系。（2）现象之间数量依存关系的具体关系值不是固定的。第5页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-46

【例】

商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系父母亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系身高与体重的关系

第6页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-47

停下来想一想？下列变量之间存在相关关系吗？

1抽烟与肺癌之间的关系

2怀孕期妇女的饮酒量与婴儿出生体重之间的关系

3采光量与植物的生产量之间的关系

第7页，课件共61页，创作于2023年2月

3．相关关系与函数关系的联系由于有观察或测量误差等原因，函数关系在实际中往往通过相关关系表现出来。在研究相关关系时，又常常要使用函数关系的形式来表现，以便找到相关关系的一般数量表现形式。第8页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-49

二、相关关系的种类1.按相关的程度分：完全相关不完全相关不相关(或零相关)例:完全相关:在价格P不变的情况下,销售收入Y与销售量X

的关系;

不相关:股票价格的高低与气温的高低是不相关的;第9页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-410

2.按相关的方向分：正相关负相关正相关：两个变量之间的变化方向一致，都是增长趋势或下降趋势。

例:收入与消费的关系;

工人的工资随劳动生产率的提高而提高。负相关：两个变量变化趋势相反，一个下降而另一个上升，或一个上升而另一个下降。

例:物价与消费的关系;

商品流转的规模愈大,流通费用水平则越低。第10页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-411

3.按相关的形式分：线性相关非线性相关线性相关（直线相关）：当一个变量每变动一个单位时，另一个变量按一个大致固定的增(减)量变动。例:人均消费水平与人均收入水平非线性相关（曲线相关）：当一个变量变动时，另一个变量也相应发生变动，但这种变动是不均等的。例:产品的平均成本与总产量;

农产量与施肥量.第11页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-412

4.按相关的影响因素多少分：单相关复相关偏相关单相关(一元相关)：只有一个自变量。复相关(多元相关)：有两个及两个以上的自变量。如:居民的收入与储蓄额;成本与产量如:某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是一种复相关。第12页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-413

偏相关:

在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。

如:

在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。第13页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-414

5.按相关的性质分：真实相关虚假相关真实相关是现象的内在联系所决定.虚假相关:如某人曾观察过某一国家历年的国内生产总值与精神病患者人数的关系,呈相当高的正相关.第14页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-415

讨论下面的关系是因果关系还是伪关系？

1.冰淇淋的销量与儿童出事故次数之间

2.街上警察数量与犯罪数量之间

3.历史上，妇女裙子的长度与经济的好坏有关系：裙子越短，经济越景气。

4.鹳的数量与丹麦乡间婴儿出生率的关系第15页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-416

不相关

负线性相关

正线性相关

非线性相关

完全负线性相关完全正线性相关

图示第16页，课件共61页，创作于2023年2月1.确定变量之间有无相关关系及其表现形式三、相关分析的主要内容

2.确定相关关系的密切程度3.检验现象统计相关的显著性

4.广义上讲，相关分析还包括拟合回归方程

第17页，课件共61页，创作于2023年2月定性分析是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断定量分析在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数等方法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度四、相关关系的测定第18页，课件共61页，创作于2023年2月1．相关表相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。例：某地区某企业近8年产品产量与生产费用的相关情况如表所示：第19页，课件共61页，创作于2023年2月表产品产量与生产费用相关表

从上表可看出，产品产量与生产费用之间存在一定的正相关关系。第20页，课件共61页，创作于2023年2月某市家庭收入与消费支出相关表

第21页，课件共61页，创作于2023年2月

2、相关图：又称散点图。将x置于横轴上，y置于纵轴上，将（x,y）绘于坐标图上。用来反映两变量之间相关关系的图形。第22页，课件共61页，创作于2023年2月产品产量与生产费用相关图第23页，课件共61页，创作于2023年2月在直线相关的条件下，用以反映两变量间线性相关密切程度的统计指标，用r表示3、相关系数第24页，课件共61页，创作于2023年2月公式可化简为如下公式：或：第25页，课件共61页，创作于2023年2月相关系数r的取值范围：-1≤r≤1r>0为正相关，r<0为负相关；|r|=0表示不存在线性关系；|r|＝1表示完全线性相关；0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：|r|

<

0.3为低度线性相关；0.5≤|r|＜0.8为显著性线性相关；0.8≤|r|＜1.0为高度显著性线性相关。第26页，课件共61页，创作于2023年2月例销售额流通费用第27页，课件共61页，创作于2023年2月∑y＝473，∑x＝662，∑y2

＝26507，∑x2

＝51656，∑xy＝36933，n=10计算得人均可支配收入和消费支出间的简单相关系数为：第28页，课件共61页，创作于2023年2月第29页，课件共61页，创作于2023年2月第二节回归分析

（一）回归分析的概念是指对具有相关关系的现象，根据其相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型（称为回归方程式），用来近似地表达变量间的平均变化关系的一种统计分析方法。一、回归分析概述第30页，课件共61页，创作于2023年2月（二）、回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制第31页，课件共61页，创作于2023年2月（三）、回归模型的类型第32页，课件共61页，创作于2023年2月（四）、回归分析的主要内容

根据研究目的和现象之间的内在联系，确

定自变量和因变量确定回归分析模型的类型及数学表达式对回归分析模型进行评价与诊断根据给定的自变量数值确定因变量的数值第33页，课件共61页，创作于2023年2月二、一元线性回归1、定义：一元线性回归预测是在一个因变量与一个自变量之间进行的线性相关关系的回归预测。2、回归步骤一元线性回归的基本步骤如下：第一步：绘制散点图，观察自变量与因变量之间的相互关系；第二步：建立一元线性回归模型；第三步：对预测模型进行检验；第四步：进行预测。第34页，课件共61页，创作于2023年2月3、一元线性回归模型的一般形式（1）总体一元线性回归模型的一般形式Y的数学期望E（Yi）随机误差也称一元线性回归方程，是对应于自变量X某一取值时因变量Y的均值。未知参数Yi=α+βXi+εi

第35页，课件共61页，创作于2023年2月回归系数b表明自变量x每变化一个单位因变量y的平均增（减）量。（2）样本的一元线性回归模型和回归方程一元线性回归模型:一元线性回归方程:截距斜率（回归系数）第36页，课件共61页，创作于2023年2月整理得：最后解得：设估计模型为（3）参数估计第37页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-438

相关系数与回归系数的关系r＞0r＜0r=0b＞0 b＜0 b=0第38页，课件共61页，创作于2023年2月例：某企业对车间9名学徒工进行调查，得到学徒期限与每天产量情况如右表所示，要求建立以日产量为因变量的回归方程。

所以回归方程为yc=0.83+87.5x第39页，课件共61页，创作于2023年2月（4）回归估计标准误

在散点图上可以拟合一条与各观测点配合最佳的直线，但这些观测点所代表的若干对观测值，只是从总体中抽取的一个样本。由观测值求出的回归直线称为样本回归直线，它只是总体回归直线的一个估计线，因此在做回归分析时需要对拟合的回归方程的代表性进行衡量。估计误差的大小能反映估计值的准确性。第40页，课件共61页，创作于2023年2月

n-2为自由度，这是因为按最小二乘法求解两个参数a和b，受到两个正规方程的约束，失去了两个自由度。

离差平方和的平均数称为剩余方差，即对剩余方差开方即得回归估计标准误，又称估计标准误差

，即第41页，课件共61页，创作于2023年2月变差的产生在直线回归中，因变量y的大小取值是不同的，它围绕平均值上下波动。y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面:一是由于自变量

x的取值不同造成的；二是除

x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响造成的。

（5）回归方程判定系数

第42页，课件共61页，创作于2023年2月两边平方得两边求和并化简得第43页，课件共61页，创作于2023年2月变差的分解反映由于

x与

y之间的线性关系引起的

y的取值变化，也称可解释的变差。回归变差(SSR)

TSS=SSR+SSE总变差(TSS)

剩余变差或残差(SSE)

第44页，课件共61页，创作于2023年2月回归变差占总变差的比例，称为判定系数。*也称可决系数或确定系数。是反映回归直线的拟合优度的统计指标。R2

1，说明回归方程拟合得越好；R2

0，说明回归方程拟合越差。

*R2的取值范围在

[0,1]之间，在一元线形模型中，判定系数就等于相关系数的平方，即R2＝r2判定系数第45页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-446

三、多元线性回归分析1、多元线性回归定义一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归.描述因变量y如何依赖于自变量x1

，x2

，…，xp

和误差项

的方程称为多元线性回归模型涉及p

个自变量的多元线性回归模型可表示为

b0

，b1，b2

，

，bp是参数

常数项，和Y构成的平面与Y轴的截距偏回归系数，表示在其他固定时每变化一个单位引起的Y的平均变动；第46页，课件共61页，创作于2023年2月2、多元线性回归模型

多元线性回归的一般方程式为：

同样根据最小二乘法原理，可得：

一般都要用统计软件来计算参数

第47页，课件共61页，创作于2023年2月3·多元线性回归模型的判定系数和估计标准误判定系数修正的判定系数：第48页，课件共61页，创作于2023年2月估计标准误

r2和Sy（x1、x2）都是对回归模型拟合优度的评价指标。Sy（x1、x2）也是用自变量对因变量进行区间估计的抽样误差。第49页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-450

四、非线性相关与回归分析（一）、非线性函数形式的确定在对实际的客观现象进行定量分析时，选择回归方程的具体形式应遵循以下原则：首先，方程形式应与有关实质性科学的基本理论相一致。例如，采用幂函数的形式，能够较好地表现生产函数；采用多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等等。第50页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-451

-其次，方程有较高的拟合程度。因为只有这样，才能说明回归方程可以较好地反映现实经济的运行情况。

-最后，方程的数学形式要尽可能简单。如果几种形式都能基本符合上述两项要求，则应该选择其中数学形式较简单的一种。一般来说，数学形式越简单，其可操作性就越强。

第51页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-452

（一）抛物线函数（二）双曲线函数（三）幂函数（四）指数函数（五）对数函数（六）Ｓ形曲线函数（七）多项式方程第52页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-453

几种常见的非线性模型

指数函数线性化方法两端取对数得：lny

=ln

+

x令：y'=lny，则有y'

=ln

+

x基本形式：图像

第53页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-454

幂函数线性化方法两端取对数得：lgy=lg

+

lgx令：y'=lgy，x'=lgx，则y'=lg

+

x'

基本形式：图像0<

<1

1

=1-1<

<0

<-1

=-1第54页，课件共61页，创作于2023年2月2008-1-455

双曲线函数线性化方法令：y'=1/y，x'=