历年高考数学（文）知识清单-专题08 平面向量（原卷+解析版）

1专练1．已知△ABC和点M满足++＝0.若存在实数m，使得+＝m成立，则m＝()2．已知向量a＝(32)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()5D3．在平行四边形ABCD中，AC＝5，BD＝4，则·＝()A.BD.-4．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·4，则△ABC的面积为()5.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2=+且||＝||，则向量在方向上的投影为()A1 B. 2D的最大值为()7．在△ABC中，ℼ△ABC为直角三角形”是的()A．充分不必要条件2B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足||+·=0，则点P的轨迹的曲线类型为()A．双曲线B．抛物线9．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是()A．既是奇函数又是偶函数B．非奇非偶函数C．偶函数D．奇函数10．若非零向量且则A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形11．在△ABC中，满足||＝||，(－3)⊥,则角C的大小为()A.B.C.D.12．设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若则∠BAC的度数等于()A．30°B．45°πx+π13．若函数f(x)＝2sin63(－2<x<10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则(＋)·=()A32B16C．16D．32314．已知A、B、C是圆x2＋y2＝1上的三点，且其中O为坐标原点，则口。ACB的面积等cosC，sinCcosC，－sinC且m与n的夹角为.(2)已知cS△ABC求a＋b的值.17．已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC其外接圆的圆心为O，则AO·BC＝.19．设向量a＝(2cosα,2sinα)，b＝(cosβ,sinβ)，其中0<α<β<π,若以向量a＋b与a－2b为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β-α)＝.20．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2S△ABC＝·.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，求a＋c的取值范围.高考押题专练1．已知△ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m＝()【答案】B【解析】由0知，点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则×(＋)＝(＋)，所以+=2．已知向量a＝(32)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()5D5D【答案】B【解析】∵a∥b，∴-2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，9y4x 3＋26＋9y＋4x＋612＋2xy＝9y4x 3＋26＋9y＋4x＋612＋2xy＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立.∴＋的最小值是8.故选B.)3．在平行四边形ABCD中，AC＝5，BD＝4，则·=()A41A414-【答案】C·=·=.4．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·=-4，则△ABC的面积为()【答案】C【解析】∵=(2,2)，∴||2.∵·=||·||cosA＝2×2cosA4，∴cosA∵0＜A<π,∴sinA∴S△ABC＝||·||sinA＝2.故选C.5.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2且||＝||，则向量在方向上的投影为()A1 B.2D【答案】A【解析】由2可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量在方向上的投影为||cos∠ABC＝1×cos60°=.故选A.6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为()【答案】D【解析】由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max=·=·(＋)·=9.7．在△ABC中，ℼ△ABC为直角三角形”是的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若△ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即不一定等于0；若，则AB⊥BC，故角B为直角，即△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是的必要不充分条件.8．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足||+·=0，则点P的轨迹的曲线类型6为()A．双曲线B．抛物线【答案】B【解析】＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，=(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，∴=6.x＋3.2＋y2＋6(x－3)＝0，化简可得y212x.故点P的轨迹为抛物线.9．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是()A．既是奇函数又是偶函数B．非奇非偶函数C．偶函数D．奇函数【答案】C【解析】因为a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝|a|2x2＋2a·bx＋|b|2＝|a|2x2＋|b|2，所以函数f(x)＝(ax+b)2为偶函数.10．若非零向量且则A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形【答案】C知，cosA∴A＝60°.∴△ABC为等边三角形.AπBπC2πD5π7【答案】C【解析】设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，由(－3)⊥,可得(－3)·=(-3)·(－)＝c2＋3b2－4·=c2＋3b2－4cbcosA＝c2＋3b2－2(b2＋c2－a2)＝0，即b2－c2＋2a2＝0.又由||＝|元|可得a＝b，则c2＝3a2，由余弦定理可得cosC＝a2＋2c2＝a212．设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若则∠BAC的度数等于()A．30°B．45°【答案】C【解析】取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.πx+π13．若函数f(x)＝2sin63(－2<x<10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则(＋)·=()A32B16C．16D．32【答案】Dπx+π【解析】函数f(x)＝2sin63(－2<x<10)的图象如图所示．由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，根据对称性可知，A是B，C的中点，所以＋＝2，所以(+)·=2·=2||2＝2×42＝32.14．已知A、B、C是圆x2＋y2＝1上的三点，且其中O为坐标原点，则口。ACB的面积等【解析】如图所示，由||＝||＝||＝1知，▱OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°.8【答案】 2CC15．已知‘ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=且m与n的夹角为.(2)已知cS‘ABC求a＋b的值.C-sincosnC-sincosn=C2,cosC，sinC【解析】(1)因为向量m＝22，n＝cosC，sinC所以m·n＝cos2－sin2，又m与n的夹角为，所以coscos2－sin2因为0<C<π,所以C=.(2)因为S‘ABC＝absinC＝absin＝ab，所以ab所以ab＝6，由余弦定理得，cosC解得a＋b＝.+-sinCsinC|a＋xb|≥|a＋b|恒成立⇒a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·bx－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ=4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0⇒(a·b＋1)2≤0，∴a·b1，∴cos〈a，b与b的夹角的大小为.【答案】π17．已知在‘ABC中，AB＝4，AC＝6，BC其外接圆的圆心为O，则·=.9【解析】如图，取BC的中点M，连OM，AM，则=+,∴·=(＋)·.∵O为△ABC的外心，∴OM⊥BC，即·=0，∴·=·=(＋)·(－)＝(－)＝(62－42)＝×20＝10.【答案】1018．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，〈c－a，c－b〉则的最大值为________.【解析】设＝a，＝b，则＝a－b.∵非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，∴△OAB是等边三角形.设＝c，则＝c－ac－b.∵〈c－a，c－b〉∴点C在△ABC的外接圆上，∴当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，为=.【答案】19．设向量a＝(2cosα,2sinα)，b＝(cosβ,sinβ)，其中0<α<β<π,若以向量a＋b与a－2b为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β-α)＝.【解析】由题意知，|a＋b|＝|a－2b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－4a·b＋4b2，所以2a·b＝b2，即4cos(β-α)＝1，所以cos(β-α)＝.【答案】1420．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2S△ABC＝·.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，求a＋c的取值范围.【解析】(1)由已知得acsinB＝a