重庆市部分区2023-2024学年高二年级上册期末联考数学试题

重庆市部分区2023-2024学年度第一学期期末联考

高二数学试题卷

注意事项：

1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.

2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.

3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm签字笔.

4.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知a=（2,1，—3）,Z>=（T,2,x）,且则x的值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

2.已知直线/：oc+2y—1=0在x轴与y轴上的截距相等，则实数。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

3.若圆G：必+丁2=1与圆G：（X—根y+（y+3）2=16外切，则实数机的值为（）

A.±4B.±2C.2D.4

4.设S”是等差数列｛4｝的前〃项和，若4+%+%=3,则$5=（）

A.1B.3C.5D.10

5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2,反复进行上述两种运算,

经过有限次步骤后，必进入循环圈1一4一2-1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.若

取正整数加=6,根据上述运算法则得出6-3-10-5-16-8-4—2-1,共需经过8个步骤变成（简称为8

步“雹程”），当m=13时，需要的“雹程”步数为（）

A.8B.9C.10D.11

22

6.已知双曲线C：%-吃=1的两个焦点分别是片和工，点尸在双曲线C上，且尸耳•尸耳=0,则点尸

到x轴的距离为（）

23369

A.一B.-C.------D.一

5555

7.已知圆的方程为f+V—8x=0,则该圆中过点P（2,l）的最短弦的长为（）

A.VioB.Tnc.2V10D.2Vn

22

8.已知椭圆C：f+/=l（a〉6〉0）,Af（—2,1）是椭圆。的一条弦45的中点，点N（1,4）在直线上,

则椭圆的离心率为（）

A.也B.V2C.是D.昱

232

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在等比数列｛4｝中，4=1,%=-2,则（）

A.该数列的第5项%=16B.该数列的通项公式2）”

C.数列｛项是等比数列D.设数列｛,[｝的前几项和为北，则7；=1-2"

10.在正方体ABC。—44G2中，下列结论正确的是（）

A.直线AQ与直线AC所成角为]B.直线AD】与平面ABCD所成角为

C.二面角O1—AB—。的大小为jD.平面4旦。_L平面ABC]

11.给出下列命题，其中正确的是（）

A.任意向量〃，b,c满足。（〃•/?）・（?=a•e・c）

B.在空间直角坐标系中，点P（—l,3,5）关于坐标平面Qyz的对称点是P（l,3,5）

C.已知a=q—2%+%，5=—6+34+2%,c=-3e1+7e2,｛6，6，6｝为空间向量的一个基底，则向

量a,b,c能共面

D.已知A（—l,l,2）,3（2,2,4）,C（3,-2,0）,则向量AC在向量A3上的投影向量是《（3,1,2）

12.已知圆。：犬+/=4,点。为直线/：3x+4y—20=0上一动点，过。点向圆。引两条切线QA和。3,

其中A,8为切点，则下列说法正确的是（）

A.|QA|的最小值为2J3

7T

B.NAQB的最大值为:

C.当|。0卜|4目最小时，直线的方程为3x+4y+10=0

D.原点（0,0）到动直线A3距离的最大值是1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线小x+ay+2=0与直线小：2x+（l—2a）y+l=0平行，则实数a的值为.

6,〃=1

14.已知数列4=1,则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为______.

\an_1+3,1<n<6

15.己知直线/：x—冲+3=0和椭圆C：y+y2=1,写出满足条件“直线/与椭圆。有两个公共点”的

m的一个值为.

16.一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1）,沿AD,BC将这两个

三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2）,连接EF,AE,CF,AC,若点G满足£>G=+z。"

且x+y+z=l,贝1EG1的最小值为.

四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）己知数列｛为｝是公差为2的等差数列，且满足%,%，%成等比数列为，%，%

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）已知数列｛4｝的前“项和为S“，求使不等式S”〉4成立的〃的最小值.

18.（12分）已知抛物线C：>2=2/（。>0）过点心（工4）.

（1）求抛物线C的标准方程及准线方程；

（2）过焦点E的直线/与抛物线。相交于A,B两点，再从条件①、条件②中选择一个作为己知，求|AB|的

长.

条件①：直线/的斜率为2；

条件②：线段A3的中点为Q（3,2）.

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

19.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA_L平面ABCD,M为BC中点，N为PA

中点，BC=2PA=2AB=2.

（1）证明：MN〃平面PCD；

（2）求直线MN与平面PBC所成角的正弦值.

20.（12分）已知数列｛6,｝的前几项和为S"，且q=3,4+]=2S“+3（〃eN*）.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）若b”=nan,求数列｛2｝的前n项和Tn.

21.（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=42,PA=PB=PC=AC=2,O为AC的中点.

（1）证明：平面ABC；

（2）若点E在线段BC上（异于点B,C）,平面PAE与平面PAC的夹角为色，求匹的值.

6EC

22

22.（12分）已知双曲线C：鼻—0]〉0）的实轴长为2,且其渐近线方程为y=±岛.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点P（—2,0）且斜率不为0的直线1与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B,点Q在线段AB上,

PA\AQ\

且~=吕,T为线段AB的中点，记直线OT,OQ（O为坐标原点）的斜率分别为左，鼠，求匕•42是

\PB\\QB\

否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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高二数学参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.

12345678

ADACBDDA

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9101112

ACACDBCABD

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.一；14.3；15.3(答案不唯一、,满足m2>5即可)；16.2^/3

4

四、解答题：本大题共有6个小题，共70分.

17.(10分)解：(1)*.*ax,%，为成等比数列，

••ctya

..•数列｛an｝是公差为2的等差数列，

(q+4)-=(q+6)

解得；=-8

cin=—8+(/z—1)x2=2〃—10

n(n-\\n(n-\\,

(2)由⑴可得，S=na,H----------d=-8n-----------x2=n~-9n

n22

由S">可得，"—9“>2n-10

〃<1或〃>10

又”eN*,”的最小值为11.

18.(12分)解：(1)由已知可得，42=2/?x2,：.p=4

所以抛物线C的标准方程为/=8x

抛物线C的的准线方程为x=-2

(2)选条件①：由(1)可知，焦点坐标为E(2,0)

直线/的的方程为y=2(x—2),即y=2x—4

y2=8x,

由消去y,整理可得J—6x+4=0

y=2%-4

设5(%2，%)，，玉+々=6

|AB|=%+%2+2=6+4=10

选条件②：设叔/乂)，5(%,%”线段AB的中点为0(3,2)

；・玉+%=3x2=6

\AB\—%++?=6+4=10

19.（12分）方法不唯一.（1）证明：取PD中点E,连接NE,CE.

：N为PA的中点NE〃AD且NE=工AD

2

又底面ABCD为矩形，M为BC中点

MC〃AD且VC=工AD7VE〃A/C且NE=MC

2

四边形MNEC为平行四边形

:.MN〃EC，：MNU平面PCD,ECu平面PCD

MN//平面PCD

(2)解：以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系.则M(1,1,0),N(0,0,g

5(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,l)

...MN1—L—1,；1,BC=(0,2,0),PB=(l,0,-l)

/、[m-BC=0f2y0=0

设平面PBC的一个法向量为加=(%,%,z°),贝叫，・•・1

m•PB=0-z°二°

取z。=1,则%=1,y0=0m=(1,0,1)

设直线MN与平面PBC所成角为a.

则sina-cos(MN,m)=7----r-p-y=--------=——

\'H-H全行6

20.(12分)解：(1)由题可知4+i=2S“+3①

an=25/1+3(〃N2且〃wN*)②

由①一②得4+i-q=2an即an+i=3an(n>2且〃£N*)

又当〃=1时，a2=2sl+3/.a2=2q+3

*/q=3a2=9a2=3a[an+1=3an（〃21且〃£、*）

所以数列｛%｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

3〃T=3〃

(2),/bn-nanbn=n-3"

2

：.Tn=bx+b2++bn-1x31+2x3++,3"①

A37；=1X32+2X33+■+(n-l)3"+nBn+l@

2nn+1

由①一②得~2Tn=3+3++3-/i?

,"3(3--1).33"+1n-3"+1

..-21=------------n-5!+1..1=----------------1-------------

n3-11"442

21.(12分)(1)证明：：Q4=PC且O为AC中点

PO±AC

又：K4=PC=AC=2且O为AC中点；.PO=6

又；.钻=3。=0且4。=2

AB-+BC~=AC2ZVIBC为等腰直角三角形

又为AC中点，OB=l

又,：PB=2,BPPB~=OB-+OP2,：.POVOB

又,：OBAC=O

：.PO±平面PAB

(2)解：以。点为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

,1•03，AC且Ofi，O尸/.OB±平面PAC

平面PAC的一个法向量〃2=(1,0,0)

设E®l—a,O)(OWa«l),A(0,-l,0),P(0,0,V3)

/.AP=(0,1,73),AP=(«,2-tz,0)

设平面PAE的一个法向量为"=(%,%,z°)

y+V3z

则AP-〃=0且AE-”=0得『°n°n

2a=0

%o+(~)y0

3(。一2)

令z0=—vr3，则%=3,%=----------

a

（3（〃-2）厂）

・♦n=——匕,-近

Ia7

兀=走回=走

又・・,平面PAE与平面PAC的夹角为一，J・cos（m,n

6HH

BPcos（m,n

2|m||n|2

2