2023-2024学年河北省卓越联盟高二数学第一学期期末调研试题含解析

2023-2024学年河北省卓越联盟高二数学第一学期期末调研试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是一个程序框图,执行该程序框图，则输出的“值是（）

A.2B.3

C.4D.5

2.在抛物线y2=2px（p〉0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为（）

1

A.—B.2

2

C.1D.4

3.设aeH,若函数y=e"'+3x,xeH有大于零的极值点，则

A.a>—3B.〃<—3

11

C.a>—D.〃<----

33

4.已知椭圆C：工+==1（。〉6〉0）的左，右焦点用，心，过原点的直线/与椭圆C相交于V,N两点.其中M

ab

W制〉/

在第一象限.=|可闾则椭圆C的离心率的取值范围为（）

'I阿—3

A/6-1

A.(0,B.(0,76-2]

2

C.(0,73-1]

5.一个动圆与定圆E:（x-3）2+/=4相外切，且与直线/：光=—1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A.y=6xB.y=4x

C.y=8%D.y2=12x

6.矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物

线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线

£:*=_2加+4（2>0）的焦点为FQ-万），则这次爆破时，矿石落点的最远处到点R的距离为（）

安全施物线q-已二

C.2aD.-

2

7.已知平面口的一个法向量为“=（1,2,1）,A（l,0,—1）,5（。,—1,1）,且A三则点A到平面a的距离为（）

8.设等差数列｛4｝的公差为d,且4=3,%=15,则4=（

9.已知点P是椭圆工+工=1上一点,点。［了oj,则|PQ|的最小值为

43

3A/6

丁

10.如图，在长方体ABCB—44。。］中，AB=BC=2,CCt=1,则直线AQ和四。夹角的余弦值为（）

DiG

BB3

V,3

11.等差数列｛4｝中，S“是｛%｝的前〃项和，%+。8=10,则$9=()

A.40B.45

C.50D.55

12.在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点尸分别向圆G：(%-1)?+(V+4I=7和圆:(x—2)2+(y—5)2=9引

切线，记切线长分别为4,4.则4+d2的最小值为()

A.20B.3/

C.40D.56

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在四棱锥P—ABC。中，。是边中点，底面455.00=1.在底面ABC。中，BC//AD,

CD±AD,BC=CD=1,AD=2.

P

(1)求证：A3〃平面POC；

(2)求直线PC与平面BIB所成角的正弦值.

22

14.已知曲线三+乙=1的焦距是10,曲线上的点P到一个焦点的距离是2,则点尸到另一个焦点的距离为

a16

15.已知直线4:（a-3）x+（4—a）y+l=O与4：2（a-3）x-2y+2=0平行，贝!.

+

16.已知数列｛4｝的前几项和为S”"=1,4+1—%+1+%（%>0），贝!!不+《+~^.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知以点A（—1,2）为圆心的圆与直线机：x+2y+7=0相切，过点8（—2,0）的动直线/与圆A相交于跖

N两点

（1）求圆A的方程

（2）当MN=2M时，求直线/方程

18.（12分）如图所示，在直三棱柱ABC—431G中，AB=2,AC=AAl=4,1ABC=90

（1）求三棱柱ABC—的表面积S；

（2）求异面直线48与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）

19.（12分）已知点尸为抛物线「：y2=2px（。>0）的焦点，点P（1J）在抛物线「上且在x轴上方，|尸耳=2.

（1）求抛物线「的方程;

（2）已知直线/：%=冲+1与曲线F交于A,5两点（点A,3与点尸不重合），直线物与x轴、y轴分别交于C、D

两点，直线网与x轴、y轴分别交于M、N两点，当四边形的面积最小时，求直线/的方程.

20.（12分）已知椭圆£：?+孑=1（。〉6〉0）过点。）,-乎j,且离心率6=等，。为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）判断是否存在直线/,使得直线/与椭圆E相交于两点，直线/与丁轴相交于点C,且满足

CN=-2CM，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.(12分)已知椭圆C：工+二=1(。>/,〉0)的左、右焦点分别为耳、F2,焦距为2n，过点工作直线交椭

ab

圆。于V、N两点，△耳MN的周长为8后.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若斜率为:的直线/与椭圆相交于A3两点，求定点尸(2,1)与交点A,3所构成的三角形钻面积的最大值.

22.(10分)已知椭圆C的两焦点分别为耳卜28,0)、耳(2夜,0),长轴长为6

⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.

【详解】初始值：5=0,〃=1

当〃=1时，S=S+(〃—g)=0+(1—g)=；<4,进入循环；

当〃=1+1=2时，s=S+(〃—g)=；+(2—3)=?<4,进入循环；

当〃=2+1=3时，(IX210(1\235,

S=S+(九-9=彳+(3-9=—>4

终止循环，输出〃的值为3.

故选：B

2、B

【解析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得4+4=5,解之可得0值

2

【详解】解：由题意可得抛物线y2=2px(0〉0)开口向右，

焦点坐标或，0),准线方程x=-g,

由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5,

即4-(-9=5,解之可得p=2.

故选：B.

3、B

【解析】设>=/'+3%，则/'(x)=3+ae",若函数在xCR上有大于零的极值点

即尸(x)=3+ae&'=0有正根，当有/'(%)=3+4/工=0成立时，显然有a<0,

13

此时x=—ln(-一).由％>0,得参数a的范围为a<—3.故选B

aa

考点：利用导数研究函数的极值

4、D

【解析】由题设易知四边形片为矩形，可得|峥|2-2。|“凡|+2/=0,结合已知条件有

a>\MF2|>(6—1)。

即可求椭圆C的离心率的取值范围.

△=〃—2〃〉0

【详解】由椭圆的对称性知：|NKI=|Mg|,^\MF2\+\MFi\=2a,

又|AW|=|£闾，即四边形8为矩形，

所以I4『+|MK|2=4C2,则2|峥『—4a|"J+4a2=4°2且M在第一象限，整理得

2222

\MF2\-2a\MF2\+2b=0,A=a-2b>0

所以|叫="庐记又骗=需=署褊邛即四叫“向3

产用="-^^"百一叫整理得工<3=。”25

[a2>2a2-2c22«2

所以正<e〈百—1.

2

故选：D.

【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得IMEJ2-2。|晔|+2/=0,由已知条件得到

<"〉|MF21>,进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.

A>0

5、D

【解析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.

【详解】定圆/：（》—3）2+/=4的圆心/（3,0）,半径为2,

设动圆圆心尸点坐标为（x,y）,动圆的半径为r,d为动圆圆心到直线I=-1的距离，即r,

则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，PF-2=r,d=r

所以而—1+/_2=x+l，

化简得：y2=12x

二动圆圆心轨迹方程为y2=Ux

故选：D

6、D

【解析】根据给定条件求出抛物线E的顶点，结合抛物线的性质求出P值即可计算作答.

小2、p23

【详解】依题意，抛物线E的顶点坐标为（。，一），则抛物线的顶点到焦点R的距离为£=一+彳，P>0,解得P=4,

p2p2

于是得抛物线E的方程为d=-8y+4,由y=。得，%=±2,即抛物线E与x轴的交点坐标为/（±2,0）,

因此，|ME|=J（±2'+§）2=（,

所以矿石落点的最远处到点F的距离为

2

故选：D

7、B

【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出

【详解】VA（l,0,-l）,B（0,-l,l）,

UUU

AAB=（-1,-1,2）,又平面a的一个法向量为〃

\AB-n\屈

点A到平面a的距离为=火

同6

故选：B

8、B

【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.

【详解】32=%-4=15—3=12,所以d=4.

故选：B

9、D

z[\2z[x2(2、[Ac

【解析】设P(x,y),贝！I,PQ2=x—+/=%--+3=^(%-l)2+—.

\4JI14J416

所以当x=l时，|P0的最小值为店=空.

故选D.

10、D

【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出明4。的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.

【详解】如图：以。为原点，分别以DA,DC,。口所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),

4(2,0,0),2(0,0,1),4(2,2,1),

所以叫=(一2,0,1),^£>=(-2,-2,-1),

/4nRn\ARBD4-1亚

所以\।।//|也向V5XV4Z4ZT5，

所以直线和耳。夹角的余弦值为g,

【解析】应用等差数列的性质“若n+m=k+/,则为+(=%.+0”即可求解

【详解】

5^±^X9=^^X9=—x9=45

222

故选：B

12、D

【解析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.

22

详解】C1：(x-l)+(y+4)=7,圆心(1,T),半径八="

22

C2:(x-2)+(y-5)=9,圆心(2,5),半径々=3

设点P(xo,O),

2222

则4+4=^(%0-1)+(0+4)-7+^(XO-2)+(O-5)-9

=1)，9+加厂2『+16='(%一丁+(0+3(+J(x°―2)2+(0—4)2,

即(七,0)到(L—3)与(2,4)两点距离之和的最小值，

当伉,0)、(1,-3),(2,4)三点共线时,4+4的和最小，

即&+d2的和最小值为J(l—2)2+(—3-4『=回=5&.

故选：D

【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1)证明见解析

⑵-

3

【解析】(1)由题意，证明3aM是平行四边形，从而可得然后根据线面平行的判断定理即可证明；

(2)证明是平行四边形，从而可得O5LAT),由题意，可建立以08,。。,OP为苍％z轴建立空间直角坐标

\n-PC\

系，求出平面A5P的法向量w=(x,y,z),利用向量法即可求解直线PC与平面所成角的正弦值为」------L.

\n\-\PC\

【小问1详解】

证明：由题意BC=Q4,又BC〃OA,所以8aM是平行四边形，所以A5〃0C,

又A3C平面POC,OCu平面POC,所以〃平面POC；

【小问2详解】

解：BC=OD,BC//OD,所以是平行四边形，所以05〃。。，OB=CD,而CDLA。，

所以05,AT),以05OP为x，%z轴建立空间直角坐标系，如图，

X

则B(l,0,0),A(0,-l,0),尸(0,0,1),AB=(1,1,0),AP=(0,1,1),

设平面A3P的一个法向量为n=(x,y,z),

,n-AB=%+y=0_,,~

则〈取x=i,则y=—l,z=l,所以〃=(1,—1,1),PC=(1,1,-1)

n-AP=y+z=0

\n'PC\i

设直线PC与平面PAB所成角为0,贝Usin0=」-----L=L,

\n\-\PC\3

所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为1.

14、2面一2或m

【解析】对参数。进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.

【详解】由题意，曲线的半焦距为5,若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则"16,所以a—16=25na=41,而椭圆

上的点P到一个焦点距离是2,则点P到另一个焦点的距离为2d-2；

若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16,所以16—a=25na=—9,舍去；

若曲线是双曲线，则a<0,容易判断双曲线的焦点在y轴，所以16+(—a)=25na=-9,不妨设点P在双曲线的上

半支，上下焦点分别为耳(0,5),6(0,-5),因为实半轴长为%容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2,

不合题意，所以点尸到上焦点的距离为2,则它到下焦点的距离|咫卜尸耳1+8=10.

故答案为：2屈-2或10.

15、3

【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.

【详解】因为直线//(a—3)x+(4—a)y+l=0与4:2(。一3)x—2y+2=0平行，

所以—2(a—3)—2(4—a)(a—3)=0,解得夕=3或。=5,

又因为a=5时，4:2x—y+1=0,l2:4x—2y+2=0,

所以直线3重合故舍去，

而a=34：y+l=0,/2：—2y+2=0,所以两直线平行.

所以a=3,

故答案为：3.

【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情

况.同时还要注意X,y的系数不能同时为零这一隐含条件

⑵在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论

1c」1、

【解析】根据题意求得4+1-4=1,得到%,=〃，利用等差数列的求和公式，求得《=2-(---------),结合裂项法求

nn+1

和法，即可求解.

【详解1由%—«„+i=«,；+。”，可得a；什「a；=an+i+an，即(an+l-an)(an+l+an)=an+1+an,

因为为〉0,所以4=1,

又因为q=l,所以=1+("-1)义1=”，

可得I

所以£=后J=2x(丁力)

111C»1、/1、11、rc-1、2n

所以不+不++F=2X[(1_J)+(]_1)++z(---------7)]-2x(1--------)=-----.

Ji〜〜zzJnn+1〃+l〃+l

2n

故答案为:

n+1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(x+1)2+(y-2)2=20；(2)3x-4y+6=0或x=—2.

【解析】(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；

(2)根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程

【详解】(1)由题意知4(—1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r,

1-1+4+71广

所以r=J——=~\=2非,

A/5

所以圆A的方程为(x+iy+(y—2)2=20

(2)设MN的中点为0,则由垂径定理可知/MQA=90。，且MQ=M，

在RtAAMQ中由勾股定理易知AQ=^AM--MQ1=1,

设动直线/方程为：丁=左(％+2)或彳=-2,显然彳=-2符合题意

/、\-k+2k-2\3

由A(—1,2)到直线I距离为1知।।=1得左=]

所以3x-4y+6=0或彳=-2为所求直线/方程

【点睛】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

18、(1)24+1273;(2)arccos—

10

【解析】(1)利用S=2SAABC+S恻，可得三棱柱ABC-AiBC的表面积S；

(2)连接BG,确定NBAC就是异面直线AB与AC所成的角(或其补角)，在△AB3中，利用余弦定理可求结论

【详解】(1)在aABC中，因为AB=2,AC=4,ZABC=90°,所以BC=2/.SAABC=^-ABXBC=2

所以S=2SAABC+S恻=4垢+(2+273+4)X4=24+12/

(2)连接BG,因为AC〃AC,所以NBAC就是异面直线AiB与AC所成的角(或其补角)

尺

在△ABC中，A】B=2\石，BQ=2'历，AC=4,由余弦定理可得cosNBA©=土，

即异面直线A3与AC所成角的大小为arccos正

所以ZBAiCi=arccos

10

【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题

19、(1)>2=4%；

(2)y=x-l^y=-x+l.

【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义求出P即可作答.

⑵联立直线，与抛物线F的方程，用点A,5坐标表示出点C,D,M,N的坐标,

列出四边形面积的函数关系，借助均值不等式计算得解.

【小问1详解】

抛物线「的准线：x=-g由抛物线定义得附=l+g=2,解得p=2,

所以抛物线「的方程为V=4x.

【小问2详解】

因为点P(Lt)在r：y2=4x上，且，＞0,贝！k=2,即尸(1,2),依题意，加w0,设B(x2,y2),

y2-4%

由「'消去X并整理得y2—4my—4=0,则有%+%=4加，％%=-4,

x=my+l

k=%—2==44

直线物的斜率是丛x,-lK।x+2,方程为V—2=-^%—1),

1/iy.+2

4

令y=。，贝！|x=—%,令x=0,则y=2以。,即点c(—1,0),点1)(0,2%。),

2%+22必+2

同理点M(-匹,0),点N(0,—七)，

则|cM」“r,|DN|=4?1二%)四边形SW的面积S有：

112(%+2)(%+2)

S43」X2X,4「=产出+/一*21

2111122(%+2)(%+2)回+2)(%+2)|E%+2(%+%)+4|

16m2+162m2+2,।।2,I|2,,

=/丁=丁帆十前’当且仅当驷=时即M=i时取"="

所以当772=±1时四边形CDMN的面积最小值为4,直线/的方程为y=x-l或y=—x+1.

2

20、(1)——Fy2=1；

2

⑵存在，方程为y+和y=.

•25-25

【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和”,4c关系可构造方程求得"c,由此可得椭圆方程；

（2）设/：＞="+«5（左/0）,与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得々=-2%，代入韦达定理中

可构造关于左的方程，解方程可求得左，进而得到直线方程.

【小问1详解】

11,

/+万=1

a=E2

由题意得：＜，解得:b=l，，椭圆E的方程为土+V=1；

a2c=l2

a1=b2+c2

【小问2详解】

由题意知：直线/斜率存在且不为零，可设/：＞=日+冷化/0）,加（%,%）,N（%,%），

y=kx+—

-5

由＜得：（1+242）x2=贝!J;

55

—+/=1

12•

CN=-2CM)了2，%一=-2x1,yi-

4限

5(1+2左2)\2

'4小k8

-2x

〔5(1+2公»5(1+2r)'

解得：上2=[,，左=±正,

22