第9章 航空运输问题

第九章Matlab数学建模案例分析第9章航空运输问题第九章Matlab数学建模案例分析航空运输是一个较实际的问题，合理的规划航空公司对运输业的管理，能够提升航空公司的效率，提高企业的利润。本章以航空运输能力出发，考虑飞机货场容积问题和每天的运输量问题，最优化的分析航空公司的最大利润问题和飞机的改装问题。这是一个实际问题，主要针对一个航空运输公司的营业模型的分析及优化处理，在此运用数学建模的相关理论知识可求解得到优化的市场营业模型，以此制定最优化营业方式。此题中，成本是未知量，我们可以不考虑成本的影响，只求出营业额的最大值即可，由于净利润=营业额-成本，故净利润也相应的较高，也就是营业方式的最优化。对于问题一，主要针对求该运输公司的最大利润，我们只需将三种货物在运输公司要求的体积和质量等的多重约束下，按照某个比例搭配得到最优化解，得到利润的最大值，利用线性规划模型便易得到一个数学模型，并利用LINDO软件求解此模型。在此模型中，求得当运输货物一为30吨，货物二16.875吨，货物三50吨时取得最大收益24218.75美元。第九章Matlab数学建模案例分析在问题二中，求解每个约束条件的影子价格，影子价格即是约束条件对利润的影响。在第一问中已利用LINDO软件求解此模型，程序中反映了每个约束条件的影子价格。从程序中可看出，公司每天运输货物的能力100吨无剩余，影子价格为0美元；每天运输货物的总体积的影子价格为0.3125美元，也就是运输的货物总体积增加1立方英尺，利润将会增加0.3125美元；货物一的影子价格是78.125美元，增加一顿货物一，利润将会增加78.125美元；货物二的影子价格为0美元；货物三的影子价格是125，增加一顿货物三，利润将会增加125美元；这些约束条件产生的影子价格是潜在的，放映了每个约束条件增加1时带来的利润的变化。第九章Matlab数学建模案例分析在问题三中，针对改造飞机是否将带来公司的利润增加的问题。在此，只需在满足公司的每天货运能力即约束条件，将改造飞机后公司的收益和改造前公司的收益进行对比，如果收益增加便值得改造。得到要改造1.25架飞机使的收益最大；最终计算可得改造一架旧飞机、改造二架旧飞机、改造三架旧飞机、改造四架旧飞机均使公司利润提升；而改造五架旧飞机时平每天均收益为24200美元，和不改造飞机的24218.75美元收益作对比，可以得到改造五架飞机公司将在原来基础上亏损。故在假设基础上，可以改装四架旧飞机，公司将盈利。但实际中很难保证条件的实现，而且改装也耗时耗力，故公司改装两架旧飞机最好，这时满足公司的最大的运输能力。第九章Matlab数学建模案例分析9.2问题提出一个运输公司每天有100吨的航空运输能力。公司每吨收空运费250美元。粗除了重量的限制外，由于飞机货场容积有限，公司每天只能运50000立方英尺的货物。每天要运送的货物数量如表9-1所示：表9-1数据表货物重量（吨）体积（立方英尺/吨）130550240800350400（1）求使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数。（2）计算每个约束的影子价格，解释它们的含义。（3）公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。在这种情况下，是否值得改装？有多少架飞机时才值得改装？第九章Matlab数学建模案例分析9.5.2模型的建立与求解利用LINGO软件求Q1的最大值，编程如下：max250x1+250x2+250x3stx1+x2+x3<100550x1+800x2+400x3<50000x1<30x2<40x3<50x1>0x2>0x3>0End第九章Matlab数学建模案例分析VariableValueReducedCostX130.000000.000000X216.875000.000000X350.000000.000000公司在这种优化模型下，每天运输的货物吨数为96.875吨，接近每天的运输能力100吨；运输的货物的总体积达到50000立方英尺，正好等于公司的运输体积的极限，故这个结果合理。而在公司在满足吨数-刚好等于100吨的前提下，体积有剩余，而公司的营业额也会相应下降。故这个最优化模型在假设满足的前提下，具有一定的可靠性，最优化方案符合实际，优化的结果也符合实际。第九章Matlab数学建模案例分析9.6问题二RowSlackorSurplusDualPrice

124218.751.00000023.1250000.00000030.0000000.312500040.00000078.12500523.125000.00000060.000000125.0000730.000000.000000816.875000.000000950.000000.000000从程序中可看出，公司每天运输货物的能力100吨剩余3.125，影子价格为0，主要由于公司的限制，可能来自自身的限制等等；每天运输货物的总体积无剩余，总体积的影子价格为0.3125，也就是运输的货物总体积增加1立方英尺，利润将会增加0.3125美元；货物一的影子价格是78.125，增加一顿货物一，利润将会增加78.125美元；货物二的影子价格为0，但货物二有剩余，剩余23.125吨；货物三在此运输条件下无剩余，但它的影子价格是125，增加一顿货物三，利润将会增加125美元。第九章Matlab数学建模案例分析9.7问题三在问题三中，是否改造飞机只需将改造飞机后公司的收益和改造前公司的收益进行对比，如果收益增加便值得改造。改造后公司运输货物的吨数不变，体积也要有限制，求出此时约束条件下三种货物的运输吨数，由于改造后飞机的寿命为五年，计算出相应的收益即可。由于旧飞机剩余的使用寿命约为5年，一架飞机的改造要花费200000美元，故只需要计算公司改造飞机后5年内的总收成即可，可列下列等式，第九章Matlab数学建模案例分析第九章Matlab数学建模案例分析运用LINGO软件求Q2的最大值，max312500x5+312500x6+312500x7-200000x4st2)x5+x6+x7<1003)-2000x4+550x5+800x6+400x7<500004)x4>05)x5<306)x6<407)x7<50end运行程序输出结果如下：VariableValueReducedCostX530.000000.000000X620.000000.000000X750.000000.000000X41.2500000.000000第九章Matlab数学建模案例分析表9-2收益

不改造飞机改造一架飞机改造两架飞机改造三架飞机改造四架飞机改造五架飞机五年的年收益

（美元）302734383085469030850000306500003045000030250000平均每天的收益(美元)24218.7524683.7524680245202436024200飞机总的货运体积（立方英尺/吨）500005200054000560005800060000每天运输货物体积（立方英尺/吨）500005200052500525005250052500每天运输的货物（吨）96.87599.375100100100100从以上可看出，只改造一架飞机，营业额最多，条件都接近最大值；改造两架飞机就有空间剩余了；改造三架飞机，空间有剩余,但营业额不多；当改造四架飞机时，五年的年收益Q2为30450000美元，平均每天的收益为24360美元，空间有剩余，但相对未改造时，营业额不多，几乎无收益；五架飞机时，五年的年收益Q2为30250000美元，小于未改造时的302734