中考数学一轮复习高频考点专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（举一反三）（原卷版）

专题07一元二次方程及其应用（12个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1一元二次方程的定义】 1【考点2一元二次方程的一般形式】 2【考点3一元二次方程的解】 2【考点4配方法解一元二次方程】 3【考点5公式法解一元二次方程】 4【考点6因式分解法解一元二次方程】 4【考点7换元法解一元二次方程】 5【考点8根的判别式】 6【考点9根与系数的关系】 7【考点10配方法的应用】 7【考点11根据实际问题抽象出一元二次方程】 8【考点12一元二次方程的应用】 9【要点1一元二次方程的定义】等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。【考点1一元二次方程的定义】【例1】（2022·山西·盂县第二中学校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（

）A．x2﹣1=0 B．x2+1x+3=0 C．x2+2x+1=0 D．3x2+2x【变式1-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）方程(m+1)xm−1−mx+2=0A．m＝﹣1或3 B．m＝3 C．m＝﹣1 D．m≠﹣1【变式1-2】（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为10−1【变式1-3】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则aA．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1【要点2一元二次方程的一般形式】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx【考点2一元二次方程的一般形式】【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是()A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0【变式2-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）一元二次方程2y2−7=3yA．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7【变式2-2】（2022·湖北黄冈·一模）方程4x2+x=5化为一般形式后，a,b,cA．a=4,b=1,c=5 B．a=1,b=4,c=5C．a=4,b=1,c=−5 D．a=4,b=−5,c=1【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程m−3x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则A．0 B．±3 C．3 D．－3【考点3一元二次方程的解】【例3】（2022·青海·中考真题）已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数A．4 B．−4 C．3 D．−3【变式3-1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3A．−2022 B．0 C．2022 D．4044【变式3-2】（2022·河北·中考真题）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【变式3-3】（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2022，则一元二次方程aA．2020 B．2021 C．2022 D．2023【要点3配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【考点4配方法解一元二次方程】【例4】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为x+a2=bA．103 B．73【变式4-1】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．9【变式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．2解：x2x2x−3x−3x1=5(1)任务一：①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．【变式4-3】（2022·浙江绍兴·一模）将一元二次方程ax2+bx+c=0，化为（xm）2b2【要点4公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程式子叫做一元二次方程ax2一元二次方程的方法叫做公式法.【考点5公式法解一元二次方程】【例5】（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2【变式5-1】（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）设m为整数，且3<m<30，方程x2−22m−3【变式5-3】（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．【要点5因式分解法解一元二次方程】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【考点6因式分解法解一元二次方程】【例6】（2022·内蒙古包头·中考真题）若x1,x2是方程x2A．3或−9 B．−3或9 C．3或−6 D．−3或6【变式6-1】（2022·山东临沂·中考真题）方程x2−2x−24=0的根是（A．x1=6，x2=4C．x1=−6，x2=4【变式6-2】（2022·江苏扬州·二模）已知实数a，b同时满足2a2+b2A．2或−6 B．2 C．−2或6 D．−6【变式6-3】（2022·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝1x和y2＝xC．y1＝﹣1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x【考点7换元法解一元二次方程】【例7】（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．y1=4，y2=−4C．y1=4，y2=−6【变式7-1】（2022·内蒙古包头·一模）若实数x，y满足x+yx+y−1=2，则x+y的值为（A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1【变式7-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．【变式7-3】（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程x22−13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=材料2已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程x4(2)间接应用：已知实数a，b满足：2a4−7a2+1=0，(3)拓展应用：已知实数x，y满足：1m4+1m2=7【要点6一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b①当∆=b②当∆=b③当∆=b【考点8根的判别式】【例8】（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，且m≥−3，则从满足条件的所有整数【变式8-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【变式8-2】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（

）A．x2+x−2=0C．x2+x+5=0【变式8-3】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1A．k>−14 B．k<−14 C．k>−14【要点7一元二次方程的根与系数的关系】如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2，那么x1+x2=−ba,注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【考点9根与系数的关系】【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则1a【变式9-1】（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2A．0 B．－10 C．3 D．10【变式9-2】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x1，x2，若x1A．7 B．−7 C．6 D．−6【变式9-3】（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根x1，x2A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【考点10配方法的应用】【例10】（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【变式10-1】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．当a＝2时，A＝______，B＝______．猜测嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．验证请证明嘉淇猜测的结论．【变式10-2】（2022·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．2018【变式10-3】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式x2x∵x+3∴x+3∴当x=−3时，x2+6x+5有最小值请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式x2(2)求代数式−x2+6x+9(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式2x【考点11根据实际问题抽象出一元二次方程】【例11】（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2(1+x)2C．6.2(1+x2【变式11-1】（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（

）A．3x−1x=6210C．3x−1x=6210 D．【变式11-2】（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于【变式11-3】（2022·山东济宁·一模）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（）A．(x−20)50−x−180C．(180+x−20)50−x【考点12一元二次方程的应用】【例12】（2022·湖北荆门·中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣110x(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？【变式12-1】（2022·黑龙江·中考真题）2022年