2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图重点中学高二(下)期末数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合A={x∣3—X>1},B={0,2,4},则>Cl8=()

A.{4}B.{2,4}C.{0}D.[0,2

2.某质点沿直线运动，位移y(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系为y(t)=3t2+2t+3,

则该质点在t=2秒时的瞬时速度是()

A.14米/秒B.17米/秒C.19米/秒D.21米/秒

3.下列结论正确的是()

11

若

贝U

Q<u->-

A.若a>b,则ɑ?>b2ð,Qð

C.若。3>匕3,则cι2>b2D.若Iga>Igb,则α>b

4.已知函数/(x)=%3+ax2+X+b在X=1处取得极值5,则α一b=()

A.B.-3C.3D.7

5.已知α=logo.3θ∙2,b=O.3o∙2.C=IOgo,912，则()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>ObD.a>b>c

6.在等比数列{arι}中，若4>0,则“”是“。2。5>。3。6”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/(x)=+%+2,则不等式/-3)+/(2x)<4的解集是()

A.(—1,3)B.(—3,1)

C.(-∞,-1)U(3,+∞)D.(-∞,-3)U(1,+∞)

8.小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月

付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率为1%,按复

利计算，则小华每期付款金额约为(参考数据：LON≈1.05,1.016≈1.06,1.017≈1.07)()

A.764元B.875元C.883元D.1050元

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列求导正确的是()

A.若y=χ3,nχ,则j√=3∕hιχ+χ2β若y=则>=（二）2

C.若y=sin2x,则y'=cos2xD.若y=；,则y'=—妥

10.设等差数列｛斯｝的前n项和为Sn,公差为d,若αι=30,S12=S19,则（）

A.d=—2B.S71≤Si5C.α15=0D.S30=0

11.一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是

始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排

列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八

塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山

势自上而下，前六层依次建1,3,3,5,5,7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座

数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号

为OOl号塔；第二层从左至右依次编号为002,003,004；第三层从左至右依次编号为005,

006,007；...；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米,具有塔心

室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座

间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第般

层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为c⅛米，则以下说法正确的是（）

A.一百零八塔共有12层塔B.088号塔在第11层

C.an-αjl-ι=4（n≥6,neN+）D.%的值约为53.2

12.已知函数/"（x）=炉一7χ2+i4χ—α有3个零点X1，x2,x3（x1<x2<x3）>则（）

A.x1>0

B.X3<4

C.存在实数α,使得打，x2,与成等差数列

D.存在实数α,使得与，x2,与成等比数列

Ξ^填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数f（x）=xlnx+/'（I）/+2,则/⑴=.

14.李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案.方案一：一次购买水果的

总价达到100元，顾客就少付X元.方案二：每笔订单按八折销售.在促销活动中，某顾客购买

水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额,

则X的最大值为.

15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”或“中国余数定理”，讨论的是关于整除的问题.现

有这样一个整除问题：被2除余1且被5除余3的正整数从小到大排成一列，构成数列｛αrι｝,则

数列｛a71｝的前50项和是.

16.已知点4在函数/(x)=/一2尢的图象上，点B在直线I：X+y+3=0上，则力，B两点

之间距离的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/(x)=∣x3-ax2—bx+2在X=3处取得极值—7.

(1)求α,b的值；

(2)求/(%)在［-4,4］上的最大值和最小值.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=2x-2-x.

(1)求/(2)的值，判断/(x)的奇偶性并证明；

(2)求不等式∣∕(x)∣>|的解集.

19.(本小题12.0分)

设数列｛αn｝的前Ti项和为Sn,α1=2,且Sn+】=3Sn+2.

(I)求｛arι｝的通项公式；

(2)若bn=nan,求数列出“｝的前n项和

20.(本小题12.0分)

近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节

能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇.某仪器公司

的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产X百台检测仪器还需要投入y万元，其

(3x2+14x,0<X<50

中0<X≤100,%6村且丫=｛»八,8000∕1C(√每台检测仪售价2万元，

(220xH-----7500,50≤x≤100

kx—40

且每年生产的检测仪器都可以售完.

(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润L(X)(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式；

(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=(x2—X—5)ex.

(1)求/(x)的极值；

(2)若函数g(x)=/(x)+m,讨论g(x)的零点个数.

22.(本小题12.0分)

α=nk

在数列｛αn｝中，a3=3,a4+812»且α∏+ι=2αn-an-ι(,≥2).设玩为满足k≤an<2

的a“的个数.

(1)求与，坛的值；

(2)设cfl=∙⅛L,数列｛cn｝的前n项和为〃，对任意的neN+，不等式3τ∏2一4m≤6(7n+1)

恒成立，求m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合A={x∣3-X>1},

则A={x∖x<2},

B={0,2,4},

则4∩B={0}.

故选：C.

根据已知条件，先对集合A化简，再结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：某质点沿直线运动，位移y(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为y(t)=3t2+

2t+3,

则y'(t)=6t+2,则y'(2)=6×2+2=14(米/秒).

故选：A.

根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解.

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：当α=l,b=-2时，4显然错误；

当α=-1,b=2时，B显然错误；

当a=l,6=-2时，C显然错误；

由，ga>lgb,得α>b>0,则。正确.

故选：D.

根据已知条件，结合不等式的性质分别检验各选项，即可判断.

本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=X3+ax2+%+6,

则/'(%)=3x2+2ax+1,

因为/(%)在％=1处取极值5,

/'⑴=3+2α+l=0.

所以a=-2

/⑴=l+α+l+b=5腓传∙Ib=5

经检验满足题意.

故α—b=-7.

故选：A.

求出函数的导数，得到关于α,b的方程组，解出即可.

本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：α=log030.2>log030.3=1,

故α>1,

0<b=O.3O∙2<1,

故0<b<1,

C—∣0gθ,91∙2<IOgo.91=0，

故C<0,

故ɑ>b>c.

故选：D.

根据指数函数，对数函数的性质判断即可.

本题考查了指数函数，对数函数的性质，考查数的大小比较，是基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由%>(12，得αι>α∙ιq,则q<L

由α20⅛>。3。6，得域qS>αjq7,即q5(i_q2)>。,则q<-l或0<q<l,

,n

故"%>α√是“。2。5>a3a6的必要不充分条件.

故选：C.

根据等比数列基本量的计算可分别得%>和ɑ2。5>。3。6满足的条件，即可根据必要不充分条

件的定义求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设g(x)=f(x)-2=χ5+χ,易得g(χ)是R上的奇函数，且在R上单调递增，

由f(χ2-3)+f(2x)<4可得f(χ2-3)-2+/(2x)-2<0,

即g(∕-3)+g(2χ)y<0,

因为g(χ)为奇函数，

所以g(/-3)<g(-2x),

则/-3<-Ix,解得—3<X<1.

故选：B.

设g(x)=f(x)-2=χ5+χ,易得g(x)是R上的奇函数，且在R上单调递增，然后结合单调性及奇

偶性即可求解不等式.

本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：设小华每期付款金额为X元，第〃期付款后欠款为4„(>1=1,2,3,4,5,6)元，

则4L=5000×(1+1%)-X=5000X1.01-x,

2

A2=(5000X1.01-X)X(1+1%)-X=5000X1.01-1.01x-%,

232

A3=(5000×1.01-1.01x-X)X(I+1%)-X=5000X1.01-1.01x-1.01x-x,

65432

A6=5000X1.01-(1.01+1.01+1.01+1.01+1.01+l)x,

因为“6=0.所以5000X1.016-(1.015+1.014+1.013+1.012+1.01+I)X=0,

5000×1.0165000×1.0165000X1.065300CCC

MIX=------ξ--------1--------5--------5------------=--------------τ^≈—r-i-n⅛-=~~r~≈oɑɔ

11.015+1.014+1.01∙3+1.01z+1.01+ll×(l-1.01b)6•

1-1.011-101

所以小华每期付款金额约为883元.

故选：C.

设小华每期付款金额为X元，第n期付款后欠款为Al(n=1,2,3,4,5,6)元，根据已知条件，依次写出

a,A2,4，…，4,结合4=0及等比数列的前几项和公式即可求解.

本题考查等比数列相关综合应用，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于A,y=/"工的导数为V=3%2⅛LV+%2,故选项A正确;

对于氏y=絮的导数为V=型黑U=看，故选项B错误；

ʌIɪIʌIXJIʌIɪJ

对于C,y=sin2x的导数为y'=(sin2x)'=2cos2%,故选项C错误；

对于D,y=；的导数为y'=—9，故选项。正确.

故选:AD.

根据求导公式分别检验各项即可得出结果.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：等差数列｛αn｝满足的=30,S12=S19,

由等差数列前n项和公式有12×30+ɪɪXd=I9X30+登竺Xd,解得d=-2,

2

・•・an=-2n+32,Sn=-n+31n,

对于A,d=—2,故选项A正确；

22

对于B,Srl=-n+31n=-(n-y)+平■,当n取与与最接近的整数即15或16时,Sri最大，ʌSn≤

S15,故选项B正确；

对于C,α15=-2×15+32=2≠0,故选项C错误；

2

对于D,S30=-30+31×30=30≠0,故选项。错误.

故选：AB.

由等差数列前n项和公式求出d,再结合通项公式和前n项和公式逐项辨析即可.

本题主要考查等差数列的前H项和公式，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：设数列1,3,3,5,5,7.“为｛bn｝,

由题意，b6,b7,既…构成等差数列，公差d=2,b6=7,

设塔共有n层，

则1+3+3+5+5+7(n—5)+(…乎…)χ2=108>

解得n=12,故选项A正确;

由于第12层有瓦2=7+6×2=19座塔，108-19=89>88,

所以088号塔在11层最后第二个，故选项B正确；

由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，

所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，

即有t⅛-αn.1=2×2+1.2×2=6.4(n≥6,n∈N+),故C选项错误；

由选项C的分析可知，。6，a7,c⅛∙∙∙构成等差数列，公差d=6.4,α6=2x7+1.2x6=21.2,

所以％ι=α6+5d=53.2,故选项D正确.

故选：ABD.

由等差数列的求和公式可判断选项A;可先求出第12层有19座塔，进而可判断选项8；由题意，

从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的

长和两个间距的长，即可判断选项C；由等差数列通项公式计算即可判断选项。.

本题考查了等差数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由/(x)=0，得炉—7X2+14x=a,

设g(χ)=X3-7X2+14%>

则g'(x)=3χ2-14x+14=3(X-7-J)(χ-7+J),

则g(x)的极小值为g(F)，极大值为g(上7)，

因为g(X)=x(x2-7x÷14)=x[(x-1)2+3，

所以g(7+；7)>0,当且仅当XVO时，g(%)<0,

所以Xi>0,A正确；

因为g(x)在(宁,匕P)上单调递减，且g(2)=g(4),

所以。(宁)>趴4)，

所以的<4未必成立，B错误；

因为g(x)=X3-7x2+14X的图象存在对称中心(Xo,y°),

所以存在实数α=g(x°),使得xi，x2,久3成等差数列，C正确;

因为g(l)=g(2)=g(4)=8,

所以存在实数a=8,使得与，x2,久3成等比数列，D正确.

故选：ACD.

由/(x)=0，得/一7/+I4x=α,设g(x)=7一7/+14%,利用导数研究函数g(x)的性质，

然后再逐项分析判断即可.

本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】-1

【解析】解：根据题意,函数/(x)=x∕nx+尸(I)X2+2,

则r(X)=InX+2∕(l)x+l,令X=I可得:∕,(1)=2∕,(1)+1,则((I)=一1.

故答案为：—1.

根据题意，求出函数的导数，令x=l,计算可得答案.

本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题.

14.【答案】24

【解析】解：由题意可得120-X≥120x80%,解得X≤24,

所以X的最大值为24元.

故答案为：24.

根据条件比较两种方案所付的金额，即可求解.

本题主要考查根据实际问题选择函数类型，不等式的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】12400

【解析】解：能被2除余1的正整数集合为：4={x∣x=2k+l,k6N},

能被5除余3的正整数集合为：B=(x∖x=5∕c+3,∕c∈N},

所以被2除余1且被5除余3的正整数集合为：AHB=(x∖x=10∕c+3,∕c∈N},

∙∙∙{<⅛}是以3为首项，10为公差的等差数列，

故通项公式α7l=α1+(n—l)d=IOn-7,α50=10×50—7=493,

根据等差数列前n项和公式：Sn=迎誓，

求得S50=(3+4j3)x50=1240θ

故答案为:12400.

先利用数列的数据关系求出数列的通项公式为即=IOn-7,再利用等差数列的前n项和公式Sn=

幽抖，求出数列的和.

本题考查等差数列的通项公式和前n项和，属于中档题.

16.【答案】2√^1

【解析】解：因为/(x)=ex-2x,

所以尸(X)=1一2.

令/'(x)=eX-2=-l,B∣Jex=1,解得X=0.

因为"0)=1,所以点(0,1)到直线为+y+3=0的距离d=言=2√^7即为力，B两点之间的最短

距离.

故答案为：2/五.

先对函数求导，结合导数的几何意义可求.

本题主要考查了导数的几何意义及点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(1)因为/"(x)=∣x3-ax2-bx+2,

所以f'(x)=X2—2ax—b,

ʃf(3)=9-9α-3b+2=-7

λjl∕,(3)=9-6α-6=0

解得α=1,6=3.

(2)由(1)可知f'(x)=x2-2%-3=(x+1)(%-3),

由/'(X)>0，得X<—1或X>3，由/'(x)<0，得一l<x<3,

则/(外在(一8,-1)和(3,+8)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，

故/(x)在［-4,-1)和(3,4］上单调递增，在(-1,3)上单调递减，

因为/(-4)=一等/(-1)=y,/(3)=-7,/(4)=-⅛,

所以/(%)mαx=f(×)min=~y∙

【解析】(1)先对函数求导，结合极值存在条件可求a，R

(2)结合导数分析函数的单调性，然后利用导数与最值关系即可求解.

本题主要考查了导数与单调性及极值，最值关系的应用，属于中档题.

18.【答案】解：⑴由题意得，/(2)=22—2-2=4—；=今

f(x)是奇函数，证明过程如下：

因为f(x)的定义域为R，/(-X)=2~x-2x=-(2x-2-χ)=-f(x),

所以/(x)为奇函数.

(2)由If(X)I>|)得f(x)>I或"x)<一|,

因为〃1)=∣,f(-l)=一∣,

所以f⑴>/⑴或/O)</(T)，

因为函数y=2才是增函数，y=2r是减函数，

所以“X)在R上是增函数，

所以久>1或％<-1,

故不等式∣∕(χ)∣>I的解集为｛x∣x<一1或%>1].

【解析】(1)代入求值可计算/(2),证明f(-x)=-f(χ),可判断/(%)是奇函数：

(2)结合函数的单调性与奇偶性解绝对值不等式，即可.

本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，熟练掌握基本初等函数的单调性，函数奇偶性的定义

是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)因为&+1=3Sn+2,

所以当n≥2时，Sn=3Sn.1+2,

两式相减得,αn+ι=3an(π≥2),

=

又S2=3S1+2,α1=2,所以%+α2ɜɑi+2,

所以g=6=3α1,满足上式，

所以数列｛册｝是首项为2,公比为3的等比数列，

n1

所以an=2∙3^.

n

(2)由(1)知，bn=nan=2n×3-ι,

所以7；=2×(l+2×3÷3×32+4×33÷-+n×3n-1),

37^=2×(3+2×32+3×33+4×34+∙∙∙+n×3n),

n1nn

两式相减得，-27n=2X(1+3+32+33+34+…+3--n×3)=2×(甘-n×3)=

(l-2π)×3n-l,

所以(2n-'3"+l

n2

【解析】(I)利用αrj=Srι-Sχ5≥2),并结合等比数列的定义，可证数列｛an｝是首项为2,公比

为3的等比数列，再由等比数列的通项公式，得解;

(2)利用错位相减法，即可得解.

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等比数列的定义、通项公式，错位相减法是

解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意知，当0<X<50时，L(x)=200x-3x2-14%-500=-3x2+186x-

500,

当50≤X≤100,L(x)=200x-220x-鬻+7500-500=-(20x+毁)+7000,

—3x2+186x—500,0<x<50,x∈N

综上,L(X)=-(20x+鬻)+7000,50≤%≤100,x∈N'

(2)当0CX<50时，L(x)=-3X2+186x-500=-3(X-31)2+2383,

所以当X=25时,L(X)取得最大值2383,

当50≤x≤100,L(x)=-(20x+鬻)+7000,

、“，8000

L(X)=-20+逐前

令一2°+等=°，贝H=6。,

当50≤x<60时，L'(x^)>0,L(X)递增，当％>60时,L,(x)<0,L(X)递减,

故当X=60时，L(X)取得最大值L(60)=5400,因为5400>2383,

故当X=60(百台)，该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.

【解析】(1)根据利润=销售收入-固定成本-投入成本，即可得到年利润L(X)(万元)关于产量双百

台)的函数关系式;

(2)当0<x<50时，利用二次函数的性质，求出L(X)的最大值，当50≤x≤100时利用导数求得

L(X)的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.

本题考查了函数模型的问题，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为/(x)=(χ2一"一5)婚，

所以/'(X)=(x2+X—6)ex=(x+3)(x—2)ex.

由/'(x)>0,得％<—3或%>2；由［(X)<0,得一3<x<2,

则/(x)在(-8,-3)和(2,+8)上单调递增，在(-3,2)上单调递减.

故F(X)极大值=〃-3)=Mf(X)极小值=/(2)=-3e2.

(2)因为g(%)=f(x)+m,所以g(x)的单调性与/(%)的单调性一致，

即9(%)在(一8,-3)和(2,+8)上单调递增，在(一3,2)上单调递减，

则g(χ)极大值=⅛+m>9(乃极小值=^3e2+m-