高考数学二轮复习 大题考法专训二：数列

大题考法专训（二）数列

A级一一中档题保分练

1.已知数列｛a｝为等比数列，首项2=4,数列伉｝满足仇=log2劣,且1十注+列=12.

⑴求数列W的通项公式；

4

⑵令C=------+区，求数列｛◎｝的前〃项和Sn.

nOn*On+l

解：（1）由A7=log2a和61+益+63=12,

得log2（aa2a3）=12,

••@182^3=2.

设等比数列｛2｝的公比为Q,

•.•@=4,515233=4•4q•4（y2=26,q=2）2,

解得。=4,

・・・A=4-4〃T=41

=7?=

（2）由⑴得bnIog242z7,

4111

=-----------4-4〃^------—I—4==-------—I—4〃

2/7•2（7?+1）4（〃+1）n刀+1.

设数列[网刀;]J的前n项和为4,

e1.11..11n

则A=1—7+------F----77=F7，

n223nn+1n+1

设数列｛40｝的前〃项和为民,

4-4”•44

贝1U="P^=y（4"T）

•',Sl=^+T+3（4，i-1）-

4+i-2

2.已知首项为2的数列｛aj的前〃项和为S,S=1,设b"=]og2a

3

(1)求数列｛&｝的通项公式;

(2)判断数列｛4｝是否为等差数列，并说明理由;

(3)求数列的前n项和T.

（4+1）（4+3）n

a一2

解：(1)依题意得为=2,则77=1时，＜$1=7=句,

0

・・/=8.

力——9a+i-2胃，整理得生4.

时，S-尸上「n

贝！Jan=Sn—Sn-l

33，n

a?

又二=4,.♦.数列｛aj是首项为2,公比为4的等比数歹U,

31

"〃=2•尸=2"1.

2，，-1

(2)bn=log2a»=log22=2/7—1,

则bn+i~b„—2n-\-1—(2/7—1)—2,,

且4=1,.•.数列｛4｝是等差数列.

(3)由(2)得4=2〃-1,

.4___________4_________1____1____1_

••(.+1)(4+3)=2仄2〃+2)=〃(〃+1)=]—〃+1'

3=(Ii_2£Ji1+2i3mJ+…+\Pnn+\)n+1

3.(2019•福州模拟)已知数列｛a｝的前〃项和S=3〃2+8〃，｛4｝是等差数列，且a=4

+4+1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令以=(；广]，求数列｛cj的前n项和Tn.

yDn~\乙)

2

解：(1)因为S=3T/+8〃，所以当〃22时，an=Sn—S„-i=3n+8n—[3(/7—1)+8(/?—1)]

=677+5.

当〃=1时，2=S=11也符合上式，

所以a=6刀+5,〃£N*.

于是，bn+i~\~4=2=6刀+5.

因为｛加是等差数列，

所以可设4=加+MA,方均为常数)，

则有A(〃+l)+t+kn+方=6〃+5,

即24〃+4+22=6刀+5对任意的〃£N*恒成立，

2k=6,%=3,

所以解得故4=3刀+1.

4+22=5,-11,

(2)因为a=6〃+5,4=3刀+1,

(2+1产(6刀+6产

所以c—=2”X(6/2+6).

n(4+2)”(3刀+3)，

于是，7；=12X2+18X22+24X23H——F2"X(6〃+6),①

所以27；=12X22+18X23+24X24H----H2"X6〃+2"+i><(6〃+6),②

92—2AX2

①一②得，—7；=24+6(22+23H---F2")—2"+ix(6〃+6)=24+6义「~~—-2"+1X(6〃

1-幺

+6)=—2"+叹6〃,

n+l+2

故Tn=2,X6n=2"X3n.

B级一一拔高题满分练

1.(2020届高三•长沙摸底)已知数列｛a,｝的首项a】=3,a3=7,且对任意的〃GN*,都有

3n—23n+1H-a.n+2=0,数列｛6〃｝?两足,A—N.

(1)求数列｛a｝,｛'｝的通项公式；

(2)求使bi+bi-\---\-b„>2019成立的最小正整数n的值.

解：(1)令〃=1,得国—2a：；+a3=0,解得a?=5.

====

又由3,n—2a”+i+a〃+2=0,知3/1+2—3„+ian+i—d.n""3a.-312,

故数列｛aj是首项为=3,公差d=2的等差数列，

于是a0=2〃+l,

bn—ckn-X-1"1.

(2)由Q)知,4=2〃+L

于是61+为+…+4=(21+22+-"+2,7)+〃=~+??=2"+1+/?-2.

1-z

令f(n)=2"+】+〃―2,易知f(n)是关于n的单调递增函数，

又f(9)=21°+9—2=1031,A10)=2n+10-2=2056,

故使61+友+…+4>2019成立的最小正整数n的值是10.

2.己知｛aj是各项都为正数的数列，其前〃项和为S,且S为a与工的等差中项.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设4=仁立，求伉｝的前n项和

解：(1)由题意知，2s=2+一，即254一4=1,①

当77=1时，由①式可得S=l；

=

当时，anSn—S„-\,代入①式，得2s(S—ST)—(S—S-i)2=l,

整理得双一双T=L

所以｛瑞是首项为1,公差为1的等差数列，£=1+〃一1=〃.

因为｛劣｝的各项都为正数，所以

所以an=Sn—Sn-i=y[n—y[n—i（刀22）.

又a=S=1,所以an=y[~n—yj~n—l.

⑵4T（T）〃3+产）‘

当〃为奇数时，

Tn=-1+（镜+1）-（娟+镜）H---H（.〃-1+/—2）—（币+y/n—l）=一币；

当〃为偶数时，

Tn=-1+（斓+1）—（娟+木）H----（.77—1+，〃-2）+（5+y〃-1）=5.

所以伉｝的前〃项和2=（—1）也

3.（2019•天津高考）设｛aj是等差数列，｛4｝是等比数列，公比大于0.已知&=瓦=3,

Z^=a3,Z^=4az+3.

⑴求｛aj和伉｝的通项公式.

（2）设数列｛以｝满足以=求ag+a2c2H---H&qoCneN*）.

解：（1）设等差数列｛aj的公差为4等比数列｛4｝的公比为《

3(7=3+24d=3,

依题意，得，解得

3</=15+44<7=3,

故4=3+3(〃-1)=3〃，4=3X3"T=3".

所以数列｛&｝的通项公式为4=3〃，伉｝的通项公式为bn=y.

(2)aiCi+a2c2H---FainCin

=(ai+a3+as+…+a2”-)+(a?6i+&/%+36左+…+a2〃6")

=〃X3+2，X6+(6X31+12X32+18X33H----P