2023-2024学年衢州市重点中学九年级上册数学期末达标检测试题含解析

2023-2024学年衢州市重点中学九上数学期末达标检测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.已知抛物线y=/+（2«+1）x+a2-a,则抛物线的顶点不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟.刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑.“你

们笑什么？”妈妈问.“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为（）

11八1

A.-B・—C.—D.1

432

3.正三角形外接圆面积是64万cn?,其内切圆面积是（）

A.32^-cm2B.8^cm2C.97rcm2D.16万cm?

4.方程x2=x的解是()

A.x=lB.x=0C.xi=LX2=0D.xi=-1,X2=0

5.对于函数丫=’,

下列说法错误的是（)

x

A.它的图像分布在第一、三象限B.它的图像与直线丫=一*无交点

C.当x>0时，y的值随x的增大而增大D.当xv()时,y的值随x的增大而减小

6.下列等式中从左到右的变形正确的是).

aac

235234

a-a=a、B.=C.-=—D・a4-a-a

bbe

7.已知一组数据共有2（）个数，前面14个数的平均数是1（）,后面6个数的平均数是15,则这2（）个数的平均数是（）

A.23B.1.15C.11.512.5

8.在△A8C中，NC=RtN,AC=6,BC=8,则cos8的值是（）

3244

AB.-

5453

9.下列事件中，属于必然事件的是（

A.明天太阳从北边升起实心铅球投入水中会下沉

C.篮球队员在罚球线投篮一次，投中D.抛出一枚硬币，落地后正面向上

10.如图，AE是四边形ABCD外接圆。。的直径，AD=CD,ZB=50°,则NDAE的度数为（）

D

A.70°B.65°C.60°D.55°

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.如图，将二次函数(*—2)2+1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中4(1,m),8(4,n)

平移后对应点分别是A，、BS若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是

12.等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转____度才能与它本身重合

13.如图，利用我们现在已经学过的圆和锐角三角函数的知识可知，半径r和圆心角。及其所对的弦长1之间的关系

为/=2rsin°,从而sin&=1-,综合上述材料当sin2=，时，sin6=_____.

222r23

14.若抛物线丁=2/+6^+[〃与x轴有两个交点，则m的取值范围是.

|

15.对于抛物线y=-](x+l9)+4,下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=l；③顶点坐标为(—1,4)；

④尢＞1时，图像从左至右呈下降趋势.其中正确的结论是(只填序号).

16.已知cos(a-15°)=^-9月B么a=

2

17.已知士=一,则——-=___.

x2x

18.某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天

轮的示意图.摩天轮以固定的速度绕中心。顺时针方向转动，转一圈为18分钟.从小刚由登舱点P进入摩天轮开始计

时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点处（填A,B,C或。），此点距地面的高度为m.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=2,E为BC上一点，且BE=LNAED=90。，将AED绕点E顺时针旋转

得到△A££>'，A，E交AD于P,D，E交CD于Q,连接PQ,当点Q与点C重合时，AED停止转动.

（1）求线段AD的长；

（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与A'D的位置关系，并说明理由；

（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长.

20.（6分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且

获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售

量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售量为y本，销售单价为x元.

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

21.（6分）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，

剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种

铁皮每平方米需20元钱，算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了_______元钱.

1米

。「丁中米

22.(8分)某市2012年国民经济和社会发展统计公报显示，2012年该市新开工的住房有商品房、廉租房、经济适用

房和公共租赁房四种类型.老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，

请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)求经济适用房的套数，并补全图1;

(2)假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符合购买条件，老王是其中之一.由于购买人数超过房子套数，购

买者必须通过电脑摇号产生.如果对2012年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？

(3)如果计划2014年新开工廉租房建设的套数要达到720套，那么2013-2014这两年新开工廉租房的套数的年平均

增长率是多少？

23.(8分)AABC在平面直角坐标系中如图:

(1)画出将AABC绕点O逆时针旋转90。所得到的△AgG，并写出A点的坐标.

(2)画出将AABC关于x轴对称的△Az^G，并写出A点的坐标.

(3)求在旋转过程中线段OA扫过的图形的面积.

24.（8分）已知）'是x的反比例函数，下表给出了x与）'的一些值.

X•・・-4-2-1134•••

y…-263.・・

（1）求出这个反比例函数的表达式；

（2）根据函数表达式完成上表；

（3）根据上表，在下图的平面直角坐标系中作出这个反比例函数的图象.

25.（10分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面

A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30。和45。，试确定

生命所在点C的深度.（精确到0.1米，参考数据：Mx143,旷«）

22

26.（10分）化简求值：（上r4±-4t—+r—4其中犬=近I—+2

xr+2x

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、D

【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得.

【详解】抛物线y=x2+(2a+l)x+“2-。的顶点的横坐标为：x=-------=-a-―,

...,1,x,4(a~—a)—(2a+1

纵坐标为：J=」_____LJ______L=-2a--，

44

3

...抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y=2x+±,

4

二抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.

2^A

【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可.

【详解】解：此事件发生的概率L

4

故选A.

【点睛】

本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键.

3、D

【分析】aABC为等边三角形，利用外接圆和内切圆的性质得NOBC=30。，在Rt^OBD中，利用含30。的直角三角

形三边的关系得到OD=，OB,然后根据圆的面积公式得到AABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比，即可得解.

2

【详解】aABC为等边三角形，AD为角平分线，。。为AABC的内切圆，连OB,如图所示：

•••△ABC为等边三角形，。。为△ABC的内切圆,

:.点O为AABC的外心，AD±BC,

AZOBC=30°,

在RtZiOBD中，OD=』OB,

2

...△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1.

•.•正三角形外接圆面积是64%cm2,

•••其内切圆面积是16乃cm?

故选：D.

【点睛】

本题考查了正多边形与圆：正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆.也考查了等边三角形的性质.

4、C

【解析】试题解析：x2-x=0,

x(x-1)=0,

x=0或x-l=0,

所以Xl=0,X2=l.

故选C.

考点：解一元二次方程-因式分解法.

5、C

【解析】A.k=l>0,图象位于一、三象限，正确；

B.•.、=-x经过二、四象限，故与反比例函数没有交点，正确；

C.当x>0时，y的值随x的增大而增大，错误；

D.当x<0时，y的值随x的增大而减小，正确,

故选C.

6、A

【分析】根据同底数幕乘除法和二次根式性质进行分析即可.

【详解】人././=。5,正确；

B.J(—3)2=卜3|=3,错误；

C.@=竺，c必须不等于0才成立，错误；

hbe

D.a2?a3G,错误

故选：A.

【点睛】

考核知识点：同底数嘉除法，二次根式的化简，掌握运算法则是关键.

7、C

【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数.

【详解】解：由题意得：(10x14+15x6)4-20=11.5,

故选：C.

【点睛】

此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.

8、C

【分析】利用勾股定理求出A3,根据余弦函数的定义求解即可.

BC=S,

AB=^BC2+AC2=V62+82=10，

:.cosB=^84

AB105

故选：C.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

9、B

【解析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断.

【详解】A、明天太阳从北边升起是不可能事件，错误；

B、实心铅球投入水中会下沉是必然事件，正确；

C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，错误；

D、抛出一枚硬币，落地后正面向上是随机事件，错误；

故选B.

【点睛】

考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件.

10、B

【分析】连接OC、OD,利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得NAOD=50。，然后根据的等腰三角形的性

质以及三角形内角和定理即可求得NDAE=65。.

【详解】解：连接OC、OD,

VAD=CD,

,AD=CD，

AZAOD=ZCOD,

VZAOC=2ZB=2x50°=100°,

.\AOD=50°,

VOA=OD,

/.ZDAO=ZADO=180-5°=65°，即NDAE=65。,

2

本题考查了圆中弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理和三角形内角和，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟

练掌握圆心角，弧，弦之间的关系.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、y=0.2(x-2)2+2

【解析】解：••,函数尸g(x-2)2+1的图象过点

A(1,m),B(4,n),(1-2)2+l=l-,n=-(4-2)2+l=l,：.A(1,1-),B(4,1),过A作

2222

AC〃x轴，交力8的延长线于点C,则C(4,11)，.•.AC=4-1=1.•.•曲线段48扫过的面积为12(图中的阴影部

2

分)，.•.4C・AA，=144，=12,.•.44，=4,即将函数产J(x-2)2+1的图象沿了轴向上平移4个单位长度得到一条新函

数的图象，，新图象的函数表达式是(x-2)2+2.故答案为尸0.2(x-2)2+2.

点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA，是解题的关键.

12>120

【分析】根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于120°.

【详解】解：等边△ABC绕着它的中心，至少旋转120度能与其本身重合.

【点睛】

本题考查旋转对称图形及等边三角形的性质.

13、逑

9

gQI\

【分析】如图所示，ZAOB=0,OA=r,AB=1,ZAOC=ZBOC=—,根据sin—=—=—,设AB=l=2a,OA=r=3a,

222r3

aAp

根据等量代换得出NBOC=NBAE=—,求出BE,利用勾股定理求出AE,即可表达出sin夕=sinNAOE=—,代

2OA

入计算即可.

g

【详解】解：如图所示，ZAOB=0,OA=r,AB=1,NAOC=NBOC=一，

2

VAO=BO,

.*.OC±AB,

22r3

:.设AB=l=2a,OA=r=3a,

过点A作AELOB于点E,

VZB+ZBOC=90°,NB+NBAE=90°,

e

.,.ZBOC=ZBAE=-,

2

,0BE1anBE1〜k2

:.sin—==—,即—=一,解得：BE=­a,

2A832a33

由勾股定理得：AE=ylAB2-BE2=—«,

3

472

.Q./eAE亍。4V2

sin0=sinZAOE=——=———=----

OA3。9

故答案为：晅

9

【点睛】

本题考查了垂径定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，作出辅助线，求出AE的值.

9

14、m<—

2

【分析】由抛物线与X轴有两个交点，可得出关于，”的一元一次不等式，解之即可得出，”的取值范围.

（详解】V抛物线y=2x2+6x+m与x轴有两个交点，

/.△=62-4X2,n=36-8机>0,

9

：.ni<一.

2

故答案为：机<=9.

2

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△="-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键.

15、①@@

【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.

1,

【详解】解：在抛物线y=——（x+1）+4中，

a=——<0,

2

二抛物线的开口向下；①正确；

二对称轴为直线x=—l;②错误；

二顶点坐标为（一1,4）；③正确；

...x>l时，图像从左至右呈下降趋势；④正确；

.•.正确的结论有：①③④；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性.

16、45"

【分析】由题意直接利用特殊角的三角函数值，进行分析计算进而得出答案.

【详解】解：,:cos(a-15>=与,

.,.a-15°=30°,

.,.a=45°.

故答案为：45°.

【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记是特殊角的三角函数值解题的关键.

3

17、-

2

【分析】由已知可得x、y的关系，然后代入所求式子计算即可.

y1-x+y2y+y3

【详解】解：,.••x=2y,--=

x2x2〉2

............3

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键.

18、C78

2

【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了§圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和特

殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.

2

【详解】•••转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了］圈

二乘坐的座舱到达图2中的点C处

如图，连接BC,OC,OB,作OQ1.BC于点E

Q

由图2可知圆的半径为44m,ZBOC=\20°

即O8=OC=OQ=44

VOQ±BC

AZEOC=-ZBOC=-xl20°=60°

22

AOE=0c.eos60。=44x1=22

2

:.QE=OQ-OE=44—22=22

...点C距地面的高度为100—22=78m

故答案为C,78

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）5；（2）PQ//A1>,理由见解析；（3）或

2

A。AE

【分析】（1）求出AE=J^,证明△ABEsaDEA,由——=——可求出AD的长；

AEBE

（2）过点E作EFJ_AD于点F,证明△PEFS^QEC,再证△EPQS/\A'E。，可得出NEPQ=NEA'DT则结论得

证；

（3）由（2）知PQ〃A'D，,取A'D7的中点N,可得出NPEM为定值，则点M的运动路径为线段，即从AD的

中点到DE的中点，由中位线定理可得出答案.

【详解】解：（1）VAB=2,BE=1,ZB=90°,

:，AE=JAB。+BE2=>/22+12=亚，

VZAED=90°,

AZEAD+ZADE=90°,

:矩形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°，

.,.ZBAE+ZEAD=90",

/.ZBAE=ZADE,

...△ABES2XDEA,

ADAE

•9•一_9

AEBE

.AD也

•■-,----,

V51

，AD=5；

(2)PQ〃A'D',理由如下：

VAD=5,AE=加,ZAED=90°

•*-DE=y/DA2-AE2=对一(石尸=2石,

VAD=BC=5,

.".EC=BC-BE=5-1=4,

过点E作EF_LAD于点F,

则NFEC=90°,

VZA'ED'=ZAED=90°,

.,.ZPEF=ZCEQ,

VZC=ZPFE=90°,

/.△PEF^AQEC,

•_E_P___E_F___2__1

"EQ~EC~

..EAE4_75_1

,宙―面一访一5'

EPEA

----=----79

EQED

：.PQ//A'D'；

(3)连接EM,作MN_LAE于N,

由(2)知PQ〃A'D',

...NEPQ=NA'=NEAP,

又•••△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，

.,.PM=ME,

，NEPQ=NPEM,

VZEPF=ZEAP+ZAEA,,NNEM=NPEM+NAEA'

...NEPF=NNEM,

XVZPFE=ZENM-90°，

/.△PEF^AEMN,

NMEM_PQ

为定值,

~EF2PE

又•.•EF=AB=2,

/•MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，

•••M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，

AM的轨迹为△ADE的中位线，

二线段PQ的中点M所经过的路径长=工AE=@.

22

【点睛】

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

20、(1)y=-lOx+740(44WxW52)；(2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；(3)将足球

纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元.

【分析】(1)售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨(x-44)元，每天销售量减少10(x-44)

本，所以y=300-10(x-44),然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x-40)(-lOx+740)=2400,然后解方程后利用x的范围确定销

售单价；

(3)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=(x-40)(-lOx+740),再把它变形为顶点式，然后利用二次函

数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可.

【详解】(1)y=3()0-10(x-44),

即y=-10x+740(44<x<52)；

(2)根据题意得(x-40)(-lOx+740)=2400,

解得xi=50,X2=64(舍去),

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利240()元；

(3)w=(x-40)(-10x+740)

=-10X2+1140X-29600

=-10(x-57)2+2890,

当xV57时，w随x的增大而增大，

而44<x<52,

所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10(52-57)2+2890=2640,

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的

解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

21、1.

【解析】试题分析：设长方体的底面长为x米，则底面宽为(x-2)米，由题意，得x(x-2)xl=15,解得：演=5,%2

=-3(舍去).底面宽为5-2=3米.矩形铁皮的面积为：(5+2)(3+2)=35/,这张矩形铁皮的费用为：20x35=1元.故

答案为1.

考点：一元二次方程的应用.

22、(6)665套；(5)-；(5)55%.

2

【解析】试题分析：(6)根据扇形统计图中公租房所占比例以及条形图中公租房数量即可得出，衢州市新开工的住房

总数，进而得出经济适用房的套数；

(5)根据申请购买经济适用房共有955人符合购买条件，经济适用房总套数为665套，得出老王被摇中的概率即可；

(5)根据5565年廉租房共有6555x8%=555套，得出555(6+x)5=655,即可得出答案.

试题解析：(6)6555+56%=6555

6555x6.6%=665

所以经济适用房的套数有665套;

如图所示：

(5)设5565-5566这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为x

因为5565年廉租房共有6555x8%=555(套)

所以依题意，得555(6+x)5=655…

解这个方程得，X6=5.5,xs=-5.5(不合题意，舍去)

答：这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为55%.

考点：6.一元二次方程的应用；5.扇形统计图；5.条形统计图；6.概率公式.

13

23、⑴“3,2）；⑵似2田⑶S十

【分析】(1)根据题意利用旋转作图的方法画出将^ABC绕