微专题：共焦点椭圆、双曲线离心率问题

1秒杀结论秒杀结论已知椭圆C11(其中a＞b＞0)与双曲线C21(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ=∠F1MF2，则【方法技巧】结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中然后使用结论Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后.结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2(6)，对点练5，6然后使用结论Ⅱ:s＋c＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值(如例2(5)，对点练4，6)或用柯西不等式(选修4－5)．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方.2【例题选讲】[[例1](1)椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°,则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()=故选B.(2)(2)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈3，5，则双曲线的离心率e2的范围是() 24答案C秒杀设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，设双曲线方程为－＝1(m>0，(3)(3)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围为()A．(1，+∞)B．(，+∞)C．(，+∞)D．(，+∞)答案B秒杀设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，设双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝10，a－311故选B.【对点训练】，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第一象限的交点，且AF∠AF1F2=1与C2的离心率之积为()61．答案A秒杀设椭圆方程为1(a>b>0)，双曲线方程为1(m>0，n>0)，22．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为479D2．答案A秒杀设椭圆方程为1(a>b>0)，双曲线方程为1(m>0，n>0)，33．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是()3．答案C秒杀设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，设双曲线方程为－＝1(m>0，4n>0)，由题意有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，因为双曲线的离心率的1<144．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2＋e2的最小值为e124．答案A通解设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意 ＋|PF2|＝2a， ＋|PF2|＝2a，+4＝6，当且仅当c＝2a′时取“=ℽ,故选A.秒杀设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，根据题意，55．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O=，则C1与C2的离心率之和为()5．答案A通解设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B5代入椭圆方程＋＝12＝a2－c2及e整理可得，e4－8e2＋代入椭圆方程＋＝1∴e1．同理可求得双曲线的离心率e11，∴e＋e1＝2.秒杀设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，根据题意，2．故选A.【例题选讲】[[例2](1)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且e1e2A．3B2C522.答案B通解以AC边所在的直线为x轴，AC中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为＋＝1，设双曲线方程为－＝1，焦距都为2c，不妨设|AB|>|BC|，椭圆和双曲线都过点B，则|AB|＋|BC|＝2a1，|AB|－|BC|＝2a2，所以|AB|＝a1＋a2，|BC|＝a1－a2，又因为△ABC为直角三角形，|AC|＝2c，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即a＋a2＝2c2，所以＋＝2，即＋＝2．故选B.秒杀由已知=，又由sin+cos=1，得＋＝2．故选B.e1e222(2)(2013浙江)已知F1，F2为椭圆C1：x＋y2＝1和双曲线C2的公共焦点，P为它们的一个4公共点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若四边形AF1BF1为矩形，则C2的离心率是()2 6答案D秒杀由已知=，又由sin+cos=1，得2，又e1∴e2e1e2故选D.6(3)(2016(3)(2016全国高中数学联赛四川预赛)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=π,则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为()3 33答案B秒杀由已知=，又由sin+cos=1，得＋＝4，4＝＋＞，e1e2e1e2≥(当且仅当e2＝e1时取等号)，故选B.22222(4)已知椭圆C1：2＋2＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：2－2＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4e＋e2的最小值是()72D+)＝＋＋42≥(当且仅当e2＝2e时取等号)，故选C.(5)(2014(5)(2014湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()3433233答案A秒杀由已知=，又由sin+cos=1，得＋＝4，可利用三角换元=e1e22cosθ,＝2sinθ,则＋＝sin(θ+φ)≤．故选A.222(6)(2016浙江)已知椭圆C1：x2＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：x2－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，mne2分别为C1，C2的离心率，则()7AA．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1答案A通解由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2=秒杀由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b2tan=b2,即，tan=,解得θ【对点训练】11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝2π,记椭圆3和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋12等于()e1e21．答案A通解如图所示，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据设|F1F2|＝2c，∠F1PF2则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1+a2)(a1－a2)cos，化简得3a＋a2＝4c2，该式可变成＋＝4．故选A.秒杀由已知=，又由sin+cos=1，得＋＝4．故选A.e1e222．已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)与C2：px2－qy2＝1(p>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°,若圆锥曲线C1的离心率为3，则C2的离4心率为()43228mnpq=t，由椭圆的定义可得s＋t＝2a1，由双曲线的定义可得s－t＝2a2，解得s＝a1＋a2，t＝a1-a2，由∠F1MF2＝90°,运用勾股定理，可得s2＋t2＝4c2，即为a＋a2＝2c2，由离心率的公秒杀由已知θ=π,又由sin2+cos2=1，得1＋1＝2∵e1＝e1e2选B.33．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)具有相同焦点F1，F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2=，则e＋e2的最小值是()43．答案A4通解根据题意，可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2m，解得|PF1|＝a＋m，根据余弦定理，可知(2c)2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos，整理得所以e＋e21≥1(当且仅当a2＝m2时取等号)，故选A.秒