2023-2024学年湖北省宜昌市点军区九年级上册数学期末监测试题含解析

2023-2024学年湖北省宜昌市点军区九上数学期末监测试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，在AA3C中，ZABC=90°,A3=8,点尸是A3边上的一个动点，以为直径的圆交CP于点Q,若

线段AQ长度的最小值是4,则A8C的面积为（）

B

2.一元二次方程x2-2x+3=0的一次项和常数项分别是（）

A.2和3B.-2和3C.-2x和3D.2x和3

3.一元二次方程x2-x-2=0的解是（）

A.xi=-1,X2=-2

B.xi=l,X2=-2

C.xi=l,X2=2

D.xi=-1,X2=2

D,E分别是△ABC的边A8,AC上的中点，CD与BE交于点O,则的值为（

1111

A.-B.-（:.—D.一

2349

5.在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45。,cos30。）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）

A.相交E相切

C.相离t）.以上三者都有可能

6.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置80绕。点旋转到AC位置，已知CD±BD,垂足分别为

B,D,A0=4m,Afi=1.6m,CO=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(

A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m

7.如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去1圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么

3

这个圆锥的底面半径为（）

英去

A.2cm

8.将6497.1亿用科学记数法表示为（

A.6.4971X10,2B.64.971X1O10C.6.5x10”D.6.4971x10"

9.如图，矩形。45c的顶点4、C分别在x、），轴上，反比例函数y="（x>0）的图象经过矩形0A8C对角线的交

点M,分别交A8、BC于点D、E.若四边形OOBE的面积为9,贝UR的值为（

12y=1(x>o)

10.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF±AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、

CF.贝！|四边形AECF是（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，矩形ABCO中，AB=6,BC=8,M是AO边上的一点，且40=2,点P在矩形ABCQ所在的平面

中，且NBP£>=90。，则PM的最大值是

12.某公园平面图上有一条长12cm的绿化带.如果比例尺为1：2000,那么这条绿化带的实际长度为.

13.如图，两个同心圆，大圆半径。4=4c加，ZAOB=ZBOC=GO°,则图中阴影部分的面积是

14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,八48。的每个顶点都在格点上，则tan/B4C=.

15.如图，是AABC的中线，点E是线段A£>上的一点，且CE交AB于点F.若AE=2c〃?,

3

则AB=cm.

16.如图，某景区想在一个长4O〃z,宽32根的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的

纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）.已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积

为1140m2,如果横向小桥的宽为x加，那么可列出关于x的方程为.（方程不用整理）

17+.如图，在半径AC为2,圆心角为90。的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D,连接CD,则图中阴影

部分的面积是

A

CB

18.已知二次函数,丫=(2-3)/+28+1的图象与*轴有交点，则A的取值范围是

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，AB是。的直径，。过8C的中点O.垂足为E.

(1)求证：直线OE是。的切线；

(2)若8C=6,。0的直径为5,求OE的长及cosC的值.

20.(6分)已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S(单位：cm?)随其中一条对角线的长工(单位：cm)

的变化而变化.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(2)当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？

21.(6分)在平面直角坐标系xOy(如图)中，抛物线)=。必+取+2经过点A(4,0)、B(2,2),与y轴的交点为C.

(1)试求这个抛物线的表达式；

(2)如果这个抛物线的顶点为M,求AAMC的面积；

(3)如果这个抛物线的对称轴与直线8c交于点£>,点E在线段48上，且NOOE=45。，求点E的坐标.

-10

-1

22.（8分）已知二次函数图象的顶点在原点。，对称轴为y轴.直线《：），=丘+人的图象与二次函数的图象交于点

3

A（—3,2）和点8（工⑼（点A在点3的左侧）

2

（1）求加的值及直线4解析式；

（2）若过点P（O,〃）的直线4平行于直线4且直线〃与二次函数图象只有一个交点。，求交点。的坐标.

23.（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连接0E.过点C作CF//BD交

OE的延长线于点F,连接DF.

求证：（1）AODE^AFCE;

（2）四边形OCFD是矩形.

24.（8分）下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程.

c

图1

已知:如图1,4ABe.

求作:AB边上的高线.

作法:如图2,

①分别以A,C为圆心，大于‘AC长

2

为半径作弧，两弧分别交于点O,E；

②作直线OE,交AC于点入

③以点F为圆心，用长为半径作圆，交AS的延长线于点M；

④连接CM.

则CM为所求AB边上的高线.

根据上述作图过程，回答问题:

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形

(2)完成下面的证明:

证明：连接OA,DC,EA,EC,

■:由作图可知DA=DC=EA=EC,

.•.OE是线段AC的垂直平分线.

：.FA=FC.

...AC是。尸的直径.

:.ZAMC=°()(填依据),

:.CM1,AB.

即CM就是A5边上的高线.

25.(10分)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,

某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17,12,15,20,17,

0,7,26,17,1.

(1)这组数据的中位数是,众数是

(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;

(3)若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.

26.(10分)如图，四边形ABCD的外接圆为。O,AD是。O的直径，过点B作。O的切线，交DA的延长线于点E,

连接BD,且NE=NDBC.

(1)求证：DB平分NADC；

(2)若CD=9,tan/ABE=L,求。O的半径.

2

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【分析】连接BQ,证得点Q在以BC为直径的。O上，当点O、Q、A共线时，AQ最小，在应.AOB中，利用勾

股定理构建方程求得。。的半径R,即可解决问题.

【详解】如图，连接BQ,

VPB是直径，

...NBQP=90°,

AZBQC=90°,

.,.点Q在以BC为直径的。O上，

二当点O、Q、A共线时，AQ最小，

设。。的半径为R,

在RfAOB中，OA—4+RtOB—R»AB=8,

OA2=AB2+BO2，即(4+R)2=82+R2,

解得：R=6,

S,.=-AB^BC=-AB^2R=AB*R=8x6=48

ABRC22

故选：D

【点睛】

本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式.解决本题的关键是确定Q点运动的规律，从而把问题转化为圆

外一点到圆上一点的最短距离问题.

2、C

【分析】根据一元二次方程一次项和常数项的概念即可得出答案.

【详解】一元二次方程x2-2x+3=0的一次项是-2x,常数项是3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的一次项与常数项，注意在求一元二次方程的二次项，一次项，常数项时，需要先把一元

二次方程化成一般形式.

3、D

【解析】试题分析：利用因式分解法解方程即可.

解：(x-2)(x+1)=0,

x-2=0或x+l=0,

所以X1=2,X2=-1.

故选D.

考点：解一元二次方程-因式分解法.

4、C

【分析】DE为AABC的中位线，贝!|DE〃BC,DE=-BC,再证明AODEs^OCB,由相似三角形的性质即可得到结

2

论.

【详解】解：•.,点D、E分别为AB、AC的中点,

；.DE为AABC的中位线，

，DE〃BC,DE=-BC,

2

.,.ZODE=ZOCB,ZOED=ZOBC,

.'.△ODE^AOCB,

.S-E/叫」

,•sB℃\BC)"

故选：c.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.

5^A

【解析】试题分析：本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，

判定点A和圆的位置关系是解题关键.设直线经过的点为A,若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外

则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择.

设直线经过的点为A,

,点A的坐标为(sin45°,cos30°),

•••OA=j(4)2+g)2邛,

•.•圆的半径为2,

/.OA<2,

...点A在圆内，

二直线和圆一定相交.

故选A.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标与图形性质；3.特殊角的三角函数值.

6、C

【解析】分析：根据题意得△AOBs^cOD,根据相似三角形的性质可求出CD的长.

详解：'：AB±BD,CD1BD,

：.ZABO=ZCDO,

VZAOB=ZCOD,

/.△AOB^ACOD,

.AOAB

'~CO~~CD

VA0=4m,AB=1.6m,CO=lm,

AB-CO_1.6xl

=0.4/T?.

AO-4

故选C.

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOBs^cOD是解题关键.

7、B

【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即

可.

【详解】解：•••从半径为6cm的圆形纸片剪去!圆周的一个扇形，

3

2

J剩下的扇形的角度=360°X§=240°,

，留下的扇形的弧长=240"二6=8万，

180

...圆锥的底面半径厂=吧=4cm；

2万

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长

等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

8、D

【分析】科学记数法的表示形式为axl（r的形式，其中iqalVlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值VI时,

n是负数.

【详解】解：6497.1亿=649710000000=6.4971x1.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.

9、C

【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、。入手，分别找出AOCE、A04O、45c的面积与阳的关系，列

出等式求出A值.

【详解】解：由题意得：E、。位于反比例函数图象上，则SA加,=；冈，

过点M作MG_Ly轴于点G,作MN_Lx轴于点N,则S°ONMG=|川，

又为矩形48co对角线的交点，则S矩形A8CO=4SQVMC=4|A|,

由于函数图象在第一象限，

«>0,则—I----F9=4Z,

【点睛】

本题考查了反比例函数系数A的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面

积就等于阳.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.

10、C

【详解】•••在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,

.,.AO=CO,ZAFO=ZCEO,

\,在△AFO和△CEO中，ZAFO=ZCEO,ZFOA=ZEOC,AO=CO,

.".△AFO^ACEO(AAS),

.•,FO=EO,

:.四边形AECF平行四边形，

VEF±AC,

二平行四边形AECF是菱形，

故选C.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11>5+713.

【分析】由四边形是矩形得到内接于,0,利用勾股定理求出直径BD的长，由N8PD=90。确定点P在上，连接

MO并延长，交0。于一点即为点P,此时PM最长，利用勾股定理求出OM,再加上OP即可得到PM的最大值.

【详解】连接BD,

,•,四边形ABCD是矩形，

二ZBAD=ZBCD=90°,AD=BC=8,

.*.BD=10,

以BD的中点O为圆心5为半径作）0,

VZBPD-90°,

.,.点P在。上，

连接MO并延长，交。于一点即为点P,此时PM最长，且OP=5,

过点O作OH_LAD于点H,

1

.,.AH=-AD=4,

2

VAM=2,

；.MH=2,

•点O、H分别为BD、AD的中点，

AOH为AABD的中位线，

I

.,.OH=-AB=3,

2

0M=y/MH2+OH2=V22+32=屈，

:.PM=OP+OM=5+V13.

故答案为：5+>/13•

【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，确定PM的位置是重点，再分段求出OM及OP的长，即可

进行计算.

12、240m

【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离可得实际距离，再进行单位换算.

【详解】设这条公路的实际长度为xcm,贝！|：

1：2000=12：x,

解得x=24000,

24000c帆=240m.

故答案为240m.

【点睛】

本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺=图上距离：实际距离.

8%,

13、——cm"

3

【分析】根据题意可知，阴影部分的面积等于半径为4cm,圆心角为60。的扇形面积.

【详解】•••ZAOB=ZBOC=60°,OA=4cm,

...阴影部分的面积为扇形OBC的面积：S="匚=,。'为二=包,加2,

3603603

故答案为：--cm2.

3

【点睛】

本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键.

14、2

【分析】如图，取格点E,连接EC.利用勾股定理的逆定理证明NAEC=90。即可解决问题.

【详解】解：如图，取格点E,连接EC.

易知AE=V^,4。=如，EC=2也,

.*.AC2=AE2+EC2,

.".ZAEC=90o,

.•.tan/BAC=%=¥=2.

AEV2

【点睛】

本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

15、10

【分析】过点A作AG〃BC交CF的延长线于G,根据平行即可证出△AGEsaDCE,AAGF^ABCF,列出比例

式，根据已知条件即可求出AB.

【详解】解：过点A作AG〃BC交CF的延长线于G,如下图所示

/.△AGE^ADCE,△AGF^ABCF

.AGAEAF_AG

''~DC~~DE'~BF~~CB

•••AE=-AD

3

.AGAE]

"~DC~~DE~2

：.AG=-DC

2

,:AD是AABC的中线,

:.AG=-DC=-x-BC^-BC

2224

1BC

：.AFAG4\

CB-4

21

.*.----...-

BF4

解得：fiF=8cm

.*.AB=AF+BF=lcm

故答案为：L

【点睛】

此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握构造相似三角形的方法是解决此题的关键.

16、（40-2x）（32-x）=1140

【分析】横向小桥的宽为R”，则纵向小桥的宽为2xm,根据荷花的种植面积列出一元二次方程.

【详解】解：设横向小桥的宽为xm,则纵向小桥的宽为2初？

根据题意,（40—2x）（32-x）=1140

【点睛】

本题关键是在图中，将小桥平移到长方形最边侧，将荷花池整合在一起计算.

17、7T-1.

【详解】解：在R3ACB中，AB=V22+22=272>

•••BC是半圆的直径，

ZCDB=90°,在等腰RtAACB中，CD垂直平分AB,CD=BD=72»

；.D为半圆的中点，S阴影部分=5崩彩ACB-SAA«C=—x2'——x(A/2)'=n-1.

42

故答案为n-1.

考点：扇形面积的计算.

18、k*且厚1

【分析】根据二次函数的定义和图象与x轴有交点则△"),可得关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集即可.

【详解】解：根据题意得k-1#且A=22-4X(k-1)xi>0,

解得K4且后1.

故答案为：仁4且k#l.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a/)),A=bz-4ac决定抛物线

与x轴的交点个数：A>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=()时，抛物线与x轴有1个交点；AVO时，抛物线与x

轴没有交点.

三、解答题(共66分)

123

19、(1)见解析；(2)—,—

【分析】(1)欲证直线。£是。。的切线，需连接OD,证NEDO=90。，根据题意，利用平行线的性质即可证得;

(2)先构造直角三角形，需要连接AD,利用三角形的面积法来求出DE的长，再在Rt^ADC中来求cosC.

【详解】(1)证明：如图，连接8.

QO为8c的中点，。为A3的中点

:.OD//AC,

又。

:.DE±OD.

.•.OE是圆。的切线

(2)解：连AO.

QAB是直径，

:.ZADB^ZADC^90°.

Q。为8C的中点，

CD=BD=3.

在aAABD中

AD7AB2_BD?='52—32=4

在RA4CD中

AC=ylAD2+CD2=V42+32=5

由面积法可知

SA4sCO^-2AC>DE^-2AD-CD

即，x5xDE=，x4x3

22

DE=—

在&AABO中

cosi3

AC5

【点睛】

本题考查了切线的判定定理及直角三角形直角边与斜边的关系，证明圆的切线的问题常用的思路是根据利用切线的判

定定理转化成证垂直的问题；求线段长和三角函数值一般应构造相应的直角三角形.

20、(1)S=--x2+20x,0<x<40；(2)当x=2()时，菱形的面积最大，最大面积是1.

2

【分析】(1)直接利用菱形面积公式得出5与x之间的关系式；

(2)利用配方法求出最值即可.

1I,

【详解】(D由题意可得：S=-x(40—x)=--X2+2QX,

22

•••x为对角线的长，

.*.x>0,40-x>0,

即0VxV4()；

(2)S=-x(40-x)=--x2+20x,

22

~~2

=-1[(X-20)2-400]

=-1(X-20)2+200,

即当x=20时，菱形的面积最大，最大面积是1.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，熟练掌握菱形的性质，建立二次函数模型是解题的关键.

21、(1)j=；(1)；(3)点E的坐标为(3,1).

a:22-

【解析】(D根据点4,B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

(1)利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点M作/轴，

垂足为点”，利用分割图形求面积法可得出A4A/C的面积；

(3)连接。3,过点8作3G_Lx轴，垂足为点G,贝！U8G4,△0C8是等腰直角三角形，进而可得出NA4O=NOBO,

由NDOB+NBOE=45。，/50后+//。4=45。可得出/£：。4=2008,进而可证出AAOES/^BQD,利用相似三角

形的性质结合抛物线的对称轴为直线x=l可求出AE的长，过点E作E凡Lx轴，垂足为点F,贝为等腰直角三

角形，根据等腰直角三角形的性质可得出4尸、E尸的长，进而可得出点E的坐标.

【详解】解：(1)将A(4,0),B(1,1)代入y=o?+6x+l,得：，

fl6a，纤d2=0

14a4-2b*2=2

解得：,，

Li

(b=M

・•・抛物线的表达式为J=-.?+x+1.

42

(1)Vj=-?+x+l=-(…)l+,

1Q

4244

，顶点M的坐标为(L).

9

4

当x=0时，y=-储+x+l=L

1*

...点C的坐标为（0,1）.

过点M作M〃_Ly轴，垂足为点"，如图1所示.

:.SAAMC=S梯形AOJ/Af-SAAOC-S&CHM,

=CHM+AO）・OH・AO-OC-CH-MH,

1£1

222

=x（1+4）x-x4xl-x（-1）xl,

9:。

24224

2

2

（3）连接过点5作3G_Lx轴，垂足为点G,如图1所示.

•・•点〃的坐标为（L1）,点4的坐标为（4,0）,

ABG=1,GA=1,

■,•△3GA是等腰直角三角形，

AZBAO=45°.

同理，可得：ZBOA=45°.

•・•点。的坐标为（1,0）,

：.BC=19OC=L

・••△OC3是等腰直角三角形，

:・NDBO=45。,BO=1

V』

：・NBAO=NDBO.

•：ZDOE=45°9

：.ZDOB+ZBOE=45°.

VZBOE+ZEOA=45°,

:・/EOA=NDOB,

AAOESABOD,

:抛物线y=-，+x+l的对称轴是直线X=l,

41

工点。的坐标为（L1）,

BD=19

ss="

1-KI

­,

过点E作Ek_Lx轴，垂足为点F,则AAEf为等腰直角三角形,

：.EF=AF=1,

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形（梯形）的面积、

相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表

达式；（D利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出AAMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利

用相似三角形的性质求出AE的长度.

1131

22>（1）m=—,y=—x+1；（2）（—,—）

2-348

【分析】（1）由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2,直接将A点，B点的坐标代入抛物线中即可求

出抛物线的解析式以及m的值，进而可知出点B的坐标，再将A,B点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的

解析式.

(2)根据题意可知直线L的解析式y=-gx+〃(〃wl),由抛物线与L只有一个交点，联立直线4与二次函数的解析

式，消去y,得出一个含X一元二次方程，根据方程的判别式为0可求得n的值，进而得出结果.

【详解】(1)解：假设二次函数的解析式为y=Qf2(a>0),

将A(—3,2),j分别代入二次函数的解析式y=ax\a>Q),

3

.••将A(—3,2),B代入丫=丘+人中,

2'2

(2=—3Z+〃f,17—__1

得｛13,,，,解得：\3.

-=-k+b..

122Ib=l

.•.4的解析式为y=—；x+l.

(2)由题意可知：L〃h,

可设直线〃的解析式为：y=—

过点P(0,〃)，则有：b=n.

1,,、

y=—(〃.1).

由题意，联立直线4与二次函数的解析式，可得以下方程组:

1

y=——x+n

3

-9

消元,得：-$+22

n=—x,

9

整理，得：2/+3%-9〃=0，①

2

由题意，得4与丁=§/只有一个交点，

可得：A=32-4x2x（-9n）=0,

解得："=一：.

O

13

将〃=一；；代回方程①中，得X=一二.

84

311

将工二一^代入,2:y=~~中，

得>=）.

O

可得交点。坐标为（-3」）.

48

【点睛】

此题主要考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两函数的交点问题，解决问题的关键是联立方程组求解.

23、（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）根据题意得出NOOE=NCEE,DE=CE,根据AAS即可证明；

（2）由（1）可得到OD=EC,再根据菱形的性质得出NDOC=90°，即可证明平行四边形。。尸。是矩形.

【详解】证明：（1）-CF//BD,

:.ZDOE^ZCFE,.

E是CD中点，；.DE=CE,

又NDEO=NCEF

.-.AODE^AFCE（AAS）

（2）AODE="CE,

OD=FC,.

CF//BD,

四边形OCFD是平行四边形，

平行四边形A3。是菱形，

"00=90°.

二平行四边形OCF。是矩形.

【点睛】

此题考查矩形的判定和全等三