2023年河北省秦皇岛市开发区中考（3月份）数学模拟试卷（学生版+解析版）

2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.从原点开始向左移动3个单位，再向右移动1个单位后到达A点，则月点表示数是（）

A.3B.4C.2D.-2

2.下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（）

△

□OΛ7

A.等边三角形B.正方形C.圆D.平行四边形

3.如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图,这几个几何体的摆搭方式可能是（）

左侧快SE

A.[1—/B.C.

‰∕⅛i~Z

4.下列各式计算正确的是（）

23266233ii

Aa+2〃=B.a-a=aC.a÷a=aD.（ah）=ah

5.在函数y=立亘中，

自变量X的取值范围是（）

X

A.x>OB.χ≥-5C.χ2-5且XHOD.χ>0

x>a+2

6.如果关于X的不等式组CC无解，则a的取值范围是（）

x<3a-2

A.a<2B.a>2C.a>2D.a<2

7.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将RtAABC绕点C按顺时针方向旋转90。，得到

RtAFfC,则点A的对应点F的坐标是（）

C.(1,2)D.(2,1)

8.将含有30°的三角板ABC按如图所示放置，点A在直线。E上，其中∕B4O=15°,分别过点B,C

作直线。石的平行线FG,初点B到直线。E，印的距离分别为%峭则%的值为（）

A.1B.√3-lC.√2-lD.^―=.

9.下列图形中，能确定Nl>/2的是（）

10.若βf-∣,y2L为二次函数y=∕+4x-5的图象上的三点，则弘，为，

力的大小关系是（）

A.X<%<%B.%<X<%C.%<X<%D.凹<%<%

Y2_4

IL化简(9-Y)÷、》的结果是()

1

AX+3B.—x—3C.-D.---------

x÷3x+3

12.若关于工的一元二次方程f—x+m=0有两个不相等的实数根，则加的值可能是（）

A.0B.ɪC.2D.2021

13.将抛物线G：y=V+4χ+3沿X轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得

到抛物线C2.若抛物线G的顶点为4,点B是抛物线C2与y轴的交点，。为坐标原点，则AAOB的面积

为（）

A.IB.2C.3D.4

14.如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,RJOEF绕点、0旋转,在旋转过程中，两个图形重叠部

分的面积是正方形面积的（）

E

3

15.如图，AB是Oo弦，OE±AB,E。的延长线交于点/，若EF=8,SinA=Μ，则AB长

为（）

16.《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问邑

方有几何？”意思是：如图，点〃、点N分别是正方形ABC。的边AO、AB的中点，MELAD，

NhAB,EF过点A,且ME=8（）步，Nr=245步，则正方形的边长为（）

A.140步B.150步C.280步D.300步

二、填空题（本大题共3小题，共9分）

17.分解因式：I2xy2-3x=.

18.如图，正五边形AfiCDE内接于OO,P为AB上一点,连接出,PE,则/4/）石度数为

19.如图，过原点0的直线与反比例函数y=X（A>O）的图像交于点A、P,过点P作X轴的垂线，点8

X

为垂足，连接AB，若ABP的面积是5,则Z=

三、解答题（本大题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.解方程:X2-12X=-32.

21.已知：AC与BD交于点O,AB=CD,AD=CB∙求证：Qr）=OB（规范证明过程）

证明：在z∖ABO和ACDB中,

.∙.∆ABD^∆CDB

.-.Z=Z

在ZXAQD和ACOB中,

:.&AOg.COB

.,.OD=OB.

22.中学生上网现象越来越受到社会的关注，小记者小慧随机调查了某校若干学生和家长对上网现象的看

法制作了如下的统计图1和2.请根据相关信息，解答或补全下列问题.

的态度统计图

(1)补全图1；

(2)求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；

(3)该校共有1600名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对上网持“反对”态度的有多少名？

23.如图1,OP是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并

将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

①如图2,在二ABC中，NACS是直角，/8=60°,A。、CE分别是NBAC和NBC4的平分线，

AD.CE相交于点孔求N£E4的度数；

②在①的条件下，请判断EE与ED之间的数量关系，并说明理由；

③如图3,在.ABC中，如果Z4C6不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结论是否仍然成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

24.如图，抛物线=与X轴交于点A、B,与y轴交于点C,其顶点纵坐标为—2.

(1)求“的值；

(2)求A,8两点的坐标；

(3)以AC,CB为一组邻边作.ACBD,则点。关于X轴的对称点，是否在该抛物线上？请说明理

由.

25.某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车

沿同一路线出行，大客车中途停车等候，5min后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的T

继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程S(单位：km)和行

驶时间f(单位：πτin)之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题.

小轿车

大客车

(1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？

(2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

26.如图，在/DAM内部作Rt△ABC,AB平分NDAM,ZACB=90o,AB=10,AC=8,点N为BC的

中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为

每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作。0.

备用图1备用图2

(1)判断△AEF的形状为,并判断AD与。O的位置关系为；

(2)求t为何值时，EN与。O相切，求出此时。。的半径，并比较半径与劣弧AE长度的大小；

(3)直接写出AAEF的内心运动的路径长为；(注：当A、E、F重合时，内心就是A点)

(4)直接写出线段EN与。O有两个公共点时，t的取值范围为.

33?4247

(参考数据：sin37°=-,tan370=-,tan74o≈-,sin740≈一，cos74o≈-)

5472525

2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.从原点开始向左移动3个单位，再向右移动1个单位后到达A点，则A点表示的数是（）

A.3B.4C.2D.-2

【答案】D

【解析】

［分析］根据数的大小变化和平移变化之间的规律"左减右加''计算即可.

【详解】解：A点表示的数是0-3+1=-2.

故选：D.

【点睛】考查了数轴，注意数的大小变化和平移变化之间的规律“左减右加”.

2.下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（）

A.等边三角形B.正方形C.圆D.平行四边形

【答案】D

【解析】

【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形；

B选项是轴对称图形，也是中心对称图形；

C选项是轴对称图形，也是中心对称图形；

D选项不是轴对称图形，是中心对称图形.

故选：D.

【点睛】本题考查轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，那么这个图形叫做轴对称图形）和中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形），熟练掌握这些知识点是解题关

键.

3.如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这几个几何体的摆搭方式可能是（）

H

左侧视图

【答案】A

【解析】

【分析】根据左视图的概念得出各选项几何体的左视图即可判断.

C选项几何体的左视图为

左侧视图

D选项几何体的左视图为

左侧视图

故选A.

【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握左视图的概念.

4.下列各式计算正确的是()

A.a+2cr=3>a,B././=*c.a6÷a2=aiD.(ab)'=a'b'

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项法则、同底数幕的乘法法则、同底数幕的除法法则及积的乘方与幕的乘方逐一计

算可得.

【详解】解：A、α+2∕不能合并，故选项错误；

B、ai-a2^a5,故选项错误；

b2

C、a÷a=a^故选项错误；

D、（ab）3=a3b3,故选项正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查幕的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幕的乘法法则、同底数幕的

除法法则及积的乘方与暴的乘方.

5.在函数y=立亘中，自变量X取值范围是（）

X

A.x>0B.χ≥-5C.χ>-5H,x≠0D.χ>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】解：依题意，<x+5C>0,

x≠0

X≥-5且x≠0,

故选：C.

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握以上知

识是解题的关键.

x>a+2

6.如果关于X的不等式组《CC无解，则a的取值范围是（）

X<3a-2

A.a<2B.a>2C.a>2D.a<2

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出。的范围即可.

x>a+2

【详解】：不等式组<CC无解，∙∙∙α+223α-2,解得：αW2.

x<3a-2

故选D.

【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键.

7.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将RtAABC绕点C按顺时针方向旋转90。，得到

RtAFEC,则点A的对应点F的坐标是（）

C.(1,2)D.(2,1)

【答案】B

【解析】

【分析】借助格点，将RtAABC旋转得到RtZ∖EEC,再结合网格图即可作答.

【详解】如图借助格点，将RtZ∖ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,得到RtZ∖FEC,如图,

A的对应点F在C正上方1个单位处，

坐标为(-1,2),

故选：B.

【点睛】本题考查了条形的旋转，网格图中的坐标与图形的知识，掌握旋转的性质，是解答本题的关键.

8.将含有30°的三角板ABC按如图所示放置，点A在直线DE上，其中NBAZ)=I5°,分别过点8,C

作直线OE的平行线尸G,印，点8到直线OE,m的距离分别为4,h2,则/■的值为()

鹿2

√6-2

A.1B.√3-lC.—1D.

2

【答案】B

【解析】

【分析】设CE交FG于点M,由NzMC=NBAr>+NC43=45°,得三角形BCM为等腰直角三角形,

再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形边长比，设BC为X,可得肱4为M4=√ix-X,

再由平行线分线段成比例求解.

【详解】解：设CE交FG于点M,

VZCAB=30o,ZBAD=15°,

.∙.ZDAC=ZBAD+ZCAB=45°,

■：FGHDE,

：.NCMB=NDAC=45。,

三角形BCM为等腰直角三角形，

在R/4ABC中，设BC长为*,则CM=BC=X,

∙∙∙ZCAB=30°,

.∙∙CA=道BC=瓜,

∙'∙MA=∖∕3x-X，

,/HIHFGHDE,

』"=®MS1,

h2CMX

故选；B.

【点睛】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含

特殊角的直角三角形的边长比.

9.下列图形中，能确定∕1>N2的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据对顶角相等对选项A进行判断；根据三角形外角性质对选项B进行判断；根据平行线的性质

和对顶角相等对选项C进行判断；根据圆周角定理对选项D进行判断.

【详解】解：A、∙.∙N1与N2是对顶角，.∙.N1=N2,故本选项不合题意；

B、∙.∙N1是N2所在三角形的一个外角，.∙.N1>∕2,故本选项正确；

C、若两条直线平行，则N1=N2,若所截两条直线不平行，则Nl与N2无法进行判断，故本选项不合题意；

D、∙.∙∕1∖/2是同弧所对的圆周角，.∙./1=/2.故本选项不合题意.

故选B.

【点睛】本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知

识是解答此题的关键.

10.若A(一?,yJ,-为二次函数y=∕+4x-5的图象上的三点，则%，内，

力的大小关系是()

A.X<%<%B,%<%<%C.%<X<%D.X<%<%

【答案】B

【解析】

【分析】由于H,y2,%是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛

物线的对称轴，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随X的增大而增大，便可得出y,%，%的大

小关系.

【详解】解：：抛物线y=∕+4χ-5=(x+2)2—9,

.∙.对称轴为x=—2,

0=1>(),

.∙.当x>-2,y随X的增大而增大，

••』<,<为，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数的增减性比较二次函数值的大小.

11.化简(9一/)十三史的结果是()

11

A.χ+3B.—X•-3C.D.

x+3x+3

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【详解】解：(9-x2)÷^≡^

iT(x+3)X目

=—(x+3)

=—%—3,

故选：B

【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

12.若关于X的一元二次方程f—x+m=O有两个不相等的实数根，则相的值可能是()

A.OB.1C.2D.2021

【答案】A

【解析】

【分析】根据判别式的意义得到A=(-1)M∕∕7>0,然后解关于根的不等式，最后对各选项进行判断.

【详解】解：根据题意得Δ=(-1)2-4m>0,解得

4

故选A.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根的判别式.

13.将抛物线Ccy=f+4χ+3沿X轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得

到抛物线C2.若抛物线Cl的顶点为A,点8是抛物线C2与y轴的交点，。为坐标原点，则AAOB的面积

为()

A.ɪB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】首先求得顶点A的坐标，然后求得平移后的解析式，进而求得顶点B的坐标，最后根据三角形面

积即可求得.

【详解】解:y=χ2+4x+3=(x+2)2-1,

顶点为A(—2,—1),

••・将抛物线G：y=/+4x+3沿X轴对称后的抛物线的顶点为(-2,1),

•••沿X轴对称后的抛物线的解析式为y=-(x+2)2+l,

向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线Gr=-(x+2-3)2+l-3,

即y=_(x-l)2_2,

令X=0,则尸一3,

8(0,3),

.∙.OB=3,

.∙.AAOB的面积为：,x3χ2=3,

2

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得

A、8点的坐标是解题的关键.

14.如图，正方形ABC。的对角线相交于点O,RtOEF绕点、O旋转,在旋转过程中，两个图形重叠部

分的面积是正方形面积的()

【答案】C

【解析】

【分析】如图，记AB,OF的交点为M,OE,BC的交点为N,证明OBMRQCN,从而可得两个图

形重叠部分的面积是正方形面积的

4

【详解】解：如图，记AB,。/的交点为M,OE,BC的交点、为N,

；四边形ABCD是正方形，OFJ_OE,

ΛOB=OC,NOBA=Ne)CB=45°,/BOC=/EOF=90°,

.∙.ZMOB+ZBON=/B0N+ZCON=90o,

.∙.ZMOB=ZCON,

OBM与OaV中,

NOBM=NoCN

OB=OC,

NMOB=NNOC

：.OBMSN(ASA),

.∙.四边形OMBN的面积等于,BOC的面积，

即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的L

故选：C.

【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形

OMBN的面积等于，BOC的面积是解此题的关键.

3

15.如图，AB是；O的弦，OELAB,£。的延长线交。。于点尸，若EE=8,SinA=-,则AB长

为()

C.5D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦的定义求出OE、OF,根据勾股定理求出AE,根据垂径定理解答.

3

【详解】解：在RJAoE中，sinA=-f

.,.OE：OA=3：5,

.,.OE：OF=3：5,

.EF=S,

∙.OE=3,OF=OA=5f

由勾股定理得，AE=JOA2-/2=4,

OEA.AB,

.∖AB^2AE=S,

故选：D.

【点睛】本题考查的是垂径定理以及锐角三角函数的定义，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键.

16.《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问邑

方有几何？”意思是：如图，点〃、点N分别是正方形ABC。的边AO、AB的中点，MELAD,

NF工AB,Eb过点A,且ME=80步，M=245步，则正方形的边长为（）

E（树木）

BC

A.140步B.150步C.280步D.300步

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，可知二SdE4N,从而可以得到对应边的比相等,从而可以求得正方形的边长.

【详解】解：设正方形的边长为X步，

点M、点N分别是正方形ABCo的边A。、A5的中点，

..AM=AD,AN=三AB,

:,AM^AN,

由题意可得，AM//FN,FM//AN,

：.ZEAM=ZF,ZFAN=NE

itAEM^FAN，

,ME_AM

"~AN~~FN,

即AM2=80×245=19600.

解得：AM=i4O,

.∙.AT>=2AM=280步；

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的性质，解题的关键利用相似三角形的性质和数形结合的思

想解答.

二、填空题(本大题共3小题，共9分)

17.分解因式：12xy2-3x=.

【答案】3x(2γ+l)(2γ-l)

【解析】

【分析】直接提取公因式3无，再利用平方差公式分解因式得出答案.

【详解】解：124—3x=3x(4y2—l)=3x(2y+l)(2y-1),

故答案为：3x(2y+l)(2y-1).

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键.

18.如图，正五边形ABSE内接于(O,P为AB上一点，连接∕¾,PE,则乙出E的度数为一.

【答案】36°##36度

【解析】

【分析】连接OAOC,利用中心角的计算公式求出/AOE,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,

即可得解.

【详解】解：连接。4,OC,正五边形ABcDE内接于

.∙,ZAPE=-ΛAOE=36°；

2

故答案为:36°.

360°

【点睛】本题考查正多边与圆.熟练掌握求中心角的度数的公式C=—以及在同圆或等圆中，同弧

n

所对的圆心角是圆周角的2倍，是解题的关键.

k

19.如图，过原点。的直线与反比例函数丁=一（左＞0）的图像交于点A、/过点P作X轴的垂线，点8

X

为垂足，连接AB，若ABP的面积是5,则Z=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据A、P关于原点对称，其纵坐标的绝对值相等，得出—P03与/08面积相等，即可求出上的

值.

【详解】由题意得：A、P关于原点对称,

则A、P的纵坐标的绝对值相等,

即APOB与的高相等，底都是OB,

∙'∙S'POB=^MAOB'

•∙S+jS-5

•°POBT^AOBJ，

5

,∙SPOB

2

根据％的几何意义，可得Z=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了反比例函数的系数％的几何意义，反比例函数和一次函数的交点问题，关于原点对称

的点的坐标特征，根据图象找出面积的相等关系是解答本题的关键.

三、解答题(本大题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.解方程：χ2-12x=-32.

j

【答案】∙⅛=8,X2=4

【解析】

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解.

【详解】解:%2-12%=-32.

，Y—12X+32=0,

即(X-4)(X-8)-0,

解得：玉=8,々=4.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

21.已知：AC与3。交于点O,AB=CD,AD=CB.求证：Or)=OB(规范证明过程)

4zX-----

证明：在AABO和ACDB中,

：.ΛABD^ΛCDB

在AAQO和aCOB中,

.∙.Ao哙COB

.*.OD-OB.

【答案】AB=CD,AD^CB,BD=DB,(SSS),1,2,ZAOD=ZCOD,Z1=Z2.AD=CB,

(AAS).

【解析】

【分析】利用SSS证明ZSA8Γ＞且Z∖CO3,可得N1=N2,再利用AAS证明且ACOB,进而可

得OD=OB.

【详解】证明：在ZxABO和B中，

AB=CD

AD=CB

BD=DB

ABD^XDB(SSS)

.∙.Z1=Z2

在aAOD和Z∖CO8中，

ZAOD=ZCOD

<N1=N2

AD=CB

.∙.AOD^COB(AAS)

.,.OD=OB.

故答案为：AB=CD,AD=CB,BD=DB,(SSS),1,2,ZAOD=ZCOD,Nl=N2,

AD=CB,(AAS).

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解决问题的关键.

22.中学生上网现象越来越受到社会的关注，小记者小慧随机调查了某校若干学生和家长对上网现象的看

法制作了如下的统计图1和2.请根据相关信息，解答或补全下列问题.

家侬中学生帝的

的态度统计图

(I)补全图1；

(2)求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；

(3)该校共有1600名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对上网持“反对”态度的有多少名？

【答案】(1)见解析；(2)36°；(3)240人.

【解析】

【分析】(1)由家长“无所谓”的人数除以占的百分比求出调查的总家长数，再加上调查的学生数即是调查的

总人数；进而求出家长“反对”的人数，补全图1即可；

(2)求出家长“赞成”的百分比，乘以360即可得到结果；

⑶用1600乘以调查的持“反对意见”的学生的百分比即可.

【详解】⑴根据题意得：80÷20%=400(人)，

400+140+80+30=650(人),

故这次调查的总人数为650人;

家长‘‘反对”的人数为400-(40+80)=280(Λ),

(2)根据题意得：/x36(T=36。,

则图2中家长“赞成”的圆心角的度数为36°；

30

(3)1600×=240(A),

140+30+30

答：估计全校持“反对意见'’的学生约有240人.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的

百分比大小.

23.如图1,OP是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以。P所在直线为对称轴的全等三角形，并

将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

B

①如图2,在cABC中，NAce是直角，/8=60。，A。、CE分别是ZBAC和NBC4的平分线，

AD，CE相交于点F,求/瓦A的度数；

②在①的条件下，请判断FE与ED之间的数量关系，并说明理由；

③如图3,在二43C中，如果NAeB不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结论是否仍然成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【答案】见解析；①60°；②FE=FD，理由见解析；③成立，证明见解析

【解析】

【分析】根据SAS可知：在NMON的两边上以。为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线

上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于OP对称；

①根据三角形内角和定理可求NB4C,NEE4是AAC户的外角，根据外角的性质计算求解；

②根据图1的作法,在AC上截取AG=AE,则EP=FG；根据ASA证明./C。空/CG,得OR=FG,

故判断EF="）；

③只要NB的度数不变，结论仍然成立.证明同②.

【详解】解：在NMON的两边上以。为端点截取OB=OC,在OP上任意取一点£>,连接3D、CD,

则AOBD与AOCD即为所求作的三角形，如图1所示：

图1

①如图2,∙.∙N?ICB=90°,4=60°,

^BAC=3Qo，

,.∙AD、CE分别是NBAC和ZBCA的平分线，

.∙.ZDAC=-ZBAC=∖5o,NECA=INACB=45。,

22

/EE4=/ZMC+∕EC4=15°+45°=60°;

②FE=FD.理由如下：

在AC上截取AG=AE,连接FG,如图2所示:

图2

：A。是NB4C的平分线，

∙∙∙ZEAF=ZGAF,

在AE4尸和G4尸中，

'AE=AG

•：<ZEAF=ZFAG,

AF=AF

.∙γE4FRG4F(SAS),

：.FE=FG,^EFA=^GFA=ωo,

ʌNGFC=180°-60°-60o=60o,

又,/NDFC=∕EF2g,

.∙.ΛDFC=ZGFC,

在AEDC和.FGC中

ZDFC=ZGFC

•：∖FC=FC,

NFCG=/FCD

：.,FDCmFGC(AS0,

：.FD=FG,

∙∙∙FE=FD.

③在②中的结论FE=FD仍然成立.

在AC上截取AH=AE，连接切，如图所示:

B

同②可得：_石4尸g_以4尸，

'FE=FH,ZEFA=ZUFA,

又由①知/eC=LNBAC,ΛFCA=-ZACB,

22

.∙.FAC+^FCA=-(ZBAC+ACB)=ɪ×120o=60o,

.∙.∕AM7=180。一(∕Λ4C+NJFe4)=120。，

ZEF^ZHFAF-1800-120o=60o,

同②可得一Ee)C空FHC,

FD=FH,

∙∙∙FE=FD.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的

辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大.

24.如图，抛物线y=]/一%+。与X轴交于点A、B,与y轴交于点C,其顶点纵坐标为-2∙

V

(1)求。的值；

(2)求A,3两点的坐标；

(3)以AC,CB为一组邻边作，Ae30,则点。关于X轴的对称点。是否在该抛物线上？请说明理

由.

3

【答案】(1)。=一士

2

(2)A的坐标(T,0),8的坐标(3,0)

(3)A在抛物线上，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的顶点纵坐标为-2,运用待定系数法求解：

(2)由(1)得抛物线的解析式，因为A,B的坐标在X轴上，所以纵坐标为0,代入抛物线的解析式，

解一元二次方程可求得A,8的坐标：

(3)由平行四边形知C,。关于对角线交点对称，求得。的坐标，进而根据点。，点。关于X轴的对称

得出D1的坐标，进而即可得出结论.

【小问1详解】

解：抛物线y=1+。其顶点纵坐标为一2

1191

；・抛物线y=QY-χ÷6z=—(x-l)^-—÷6z,

•,3

.∙CL------;

2

.123

•∙y=-X—X—

22

【小问2详解】

1,3

解：由（1）知，抛物线表达式为y=//—X-1,

令y=0,得一1/一ʌ工一二3=o

22

解得：Xl=-1,⅞=3.

.∙∙A的坐标（―1,0）,B的坐标（3,0）；

【小问3详解】

133

解：由y=二∙χ--x—，令X=0,解得：y=—>

222

如图所示，连接CD交AB于点E，连接后。1，

'∙∙A的坐标（TO）,8的坐标（3,0）；

.∙.对角线交点E坐标为（1,0）,抛物线的对称轴为直线X=1,

点C,。关于对角线交点E（LO）对称,

・•・《。,一|,则。0,∙∣

又；点A是点。关于X轴的对称点,

.・㈤

133

当X=2时，ʃ=—×22—2=,

222

3在抛物线上.

【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出。点的

坐标是解决问题的关键.

25.某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人2（）min后乘坐小轿车

沿同一路线出行，大客车中途停车等候，5min后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的与

继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程S（单位：km）和行

驶时间4单位：min）之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题.

小轿车

大客车

(I)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？

(2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

【答案】(1)15km

50,

(2)—km

7

【解析】

【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小轿车的速度，然后即可得到。的值，从而可以得

到大客车在途中等候时距学校的路程有多远；

(2)根据题意，可以计算出大客车开始的速度和后来的速度，从而可以计算出在小轿车到达景点入口时，

大客车离景点入口还有多远.

【小问1详解】

解：(1)由图象可得,

小轿车的速度为：40÷(60-20)=l(km∕min),

«=1x(35-20)=15,

即大客车在途中等候时距学校的路程有15km：

【小问2详解】

大客车开始的速度为：15÷30=0.5(km∕min),

大客车后来的速度为：0.5XT=1(km∕min),

40-15-∣×(60-35)=y(km),

即在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有型km.

7

【点睛】本题考查从函数图象中提取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

26.如图，在/DAM内部作Rt△ABC,AB平分/DAM,ZACB=90o,AB=10,AC=8,点N为BC的

中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为

每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作。0.

备用图1备用图2

（1）判断^AEF的形状为,并判断AD与。O的位置关系为

（2）求t为何值时，EN与©0相切，求出此时。。的半径，并比较半径与劣弧AE长度的大小；

（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

（4）直接写出线段EN与。0有两个公共点时，t的取值范围为.

3324247

（参考数据：sin37°=—,tan37°=—,tan74o≈一,sin74o≈——,cos74o≈—）

5472525

【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=l,半径为亮，劣弧AE长度大于半径；（3）5叵；（4）l≤t<∣∣

【解析】

【分析】（1）过点E作EHLAF于H,连接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC=JAB=6,设运

AEAB

动时间为t，贝IJAE=5t,AF=8t,证明△EAHs∕∖BAC,得出——=——，求出AH=4t,贝IJFH=AF-AH

AHAC

=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形，证明E、H、0三点共线，得出NoAF+NAOE=90。，由AB平

分/DAM,得出NDAE=NEAF=NEFA,由圆周角定理得出NAoE=2NEFA,则NDAF+NOAF=90。=

ZDAO,即OAJ_AD,即可得出AD与。0相切；

（2）连接OA、OF、OE,C）E于AC交于H,易证四边形EHCN为矩形，得出EH=NC,由勾股定理得出

EH=-JAE2-AH2=3t>则NC=3t,BC=2NC=6t,由BC=6,得出t=l,则AH=4，EH=3,设0。

257

的半径为X,则OH=X-3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得X=—，得出OH=一，tan∕AOH=

66

24

—,得出/AOH=74。，由NAe）H=60。时，AAOE是等边三角形，AE=OA,74°>60°,得出AE>

7

OA,则劣弧AE长度的大于半径；

（3）当点E运动到B点时，t=2,AF=16,AE=EF=AB=IO,此时△AEF的内心记为G,当A、E、F

重合时，内心为A点，AAEF的内心运动的路径长为AG,作GPJ_AE于P,GQJ_EF于Q,连接AG、

GF,则CG=PG=NQ,SΔAEF=ɪAF∙BC=48,设CG=PG=NQ=a,P!∣JSΔAEF-SΔAGF÷SΔAEB+SΔFEG=y

8

AF∙CG+ɪAE«PG+ɪEF∙NQ=ɪ×(16+10+10)a=48,解得a=-，由勾股定理得出AC2+CG2=AG?,得出

2223

AC.8√W

3

(4)分别讨论两种极限位置，①当EN与。。相切时，由(2)知，t=l；②当N在OO上，即ON为。O

的半径，连接OA、ON,OE,OE交AC于H,过点O作OKJ_BC于K,则四边形OKCH为矩形，OA=

OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,设。O的半径为X,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得

25773

X=-t,则OH=CK=-t,由勾股定理得出OK2+K7V2=02,解得t=一，即可得出结果.

66v57

【