高中数学-18 古代建筑 （以古代建筑为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题18古代建筑

（以古代建筑为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有

圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建

筑，园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截

面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m,顶角为号的等腰三角形，则该屋顶的侧面

积约为（）

A.67rm②B.6后乃C.3\f37rm2D.12x/3^m2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径，•和母线/,根据侧面积公

式71〃即可求解.

【详解】

如图所示为该圆锥轴截面，

由题意，底面圆半径为尸机，母线圆，侧面积乂岛

=3'=-7=27n7=/326=6J?

sin—

3

故选：B.

2.被喻为‘‘世界古代八大奇迹”之一的古埃及胡夫金字塔，约建于公元前2580年，完

工于前2560年.它的规模是在埃及发现的110座金字塔中最大的.它是一种方底尖顶的

石砌建筑物，其形状可视为一个正四棱锥，是一座由一块块大小不等的石料堆砌而成

的几乎实心的巨石体，塔底边缘正方形的边长的230米，塔高约147米.每块石料的体

积平均约为1.12立方米，则建造胡夫金字塔一共大约需要多少块石料（）

A.23万B.69万C.230万D.690万

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出金字塔的体积，然后根据石块的体积可数所需要的石块的块数.

【详解】

金字塔的体积为gx2302x147=2592100立方米

建造胡夫金字塔一共需要的石料2592100+1.12=2314375

所以大约需要230万块石料

故选：C

3.扇子最早称“蓼”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇

文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中.图1

为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2）4O=120cm,圆心角为45，且C

为A。的中点，则该扇形窗子的面积为（）

图1图2

B.135O^cm2

C.1350cm2D.1800^cm2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据扇形面积公式进行求解即可.

【详解】

1T

因为C为A0的中点，所以CO=60cm,45化成弧度为9,所以此扇形窗子的面积为

4

—x—x1202X—x602=1350万（cm、）.

2424'）

故选：B

4.江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653

年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流

芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄

鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线。尸，将自制测量仪

器分别放置于。，E两处进行测量.如图，测量仪器高43=2m,点尸与滕王阁顶部平

齐，并测得NCBP=2/C4P=60。，AB=Mm,则小张同学测得滕王阁的高度约为

（参考数据6=1.732）（）

A.50mB.55.5m

C.57.4mD.60m

【答案】C

【解析】

【分析】

先判断出BP=A8,解直角三角形求得PC,由此求得滕王阁的高.

【详解】

在心APC中，NC4P=30°,则AC=GPC,在中，ZPBC=60°,则

BP=AB,PC=BPsin60°«Mx0.866=55.4,故滕王阁的高度尸产为57.4m.

故选：C

5.铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日

军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1.我国古代工匠已经知

道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座

是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长

为1个单位，如图2,则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（）

图I图2

2tan18°

【答案】B

【解析】

【分析】

设。为内切圆的圆心，〃为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得NAOB=36。,

再根据锐角三角函数计算可得；

【详解】

解：如图,

设。为内切圆的圆心，,为内切圆的半径.正十边形的每个外角为360。+10=36。，内

角为180°-36°=144°,所以NO8A='xl44°=72°,所以NAO8=36°,AB=\,

2

故选:B.

6.古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受"八卦”启示设

计的正八边形的八角窗.在正八边形ABCDEFGH中，若AC^xAB+yAH(x,yeR),

则x+y=()

D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，连接CH,作于点M,作于点N,由正八边形的特征可得

C”=(1+&)A8,从而可将用4H.A8表示出来，再结合已知即可得解.

【详解】

解：如图，连接CH,作/于点作BNLC”于点N,

由正八边形的特征可得铀〃C”,ZAHC=ZBCH=45°,

故MH=NCAH=包AB,

22

所以C4=(1+&)A8,

则AC=A4+〃C=A4+(1+&)A8,

又因AC=xA8+yA，(x,y€R),

所以x=l,y=l+\/5,

所以x+y=2+夜.

故选：C.

£

D

AB

7.攒（c〃d〃）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建

筑.下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截

面）是底边长为6,顶角为g的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）

A.36兀B.兀C.12石兀D.6兀

【答案】B

【解析】

【分析】

由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.

【详解】

轴截面如图，其中|盟=6,NACB=q,所以=

.\A0\_2_i-

|AC|=

所以-7=3x/=2,3,所以圆锥的侧面枳s=乃〃=3亓x=66兀.

cos—v

6

8.花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的

美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.如图所示是一个花窗图案，大圆为两

个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆.若在大圆内

随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（)

A.5/2-1B.2—>/2

C.3-20D.6-4夜

【答案】D

【解析】

【分析】

设大圆的半径为R,等腰直角三角形的内切圆的半径为，进而得出等腰直角三角形

的边长，利用三角形面积公式列出方程，解出，•的值，根据圆的面积公式求出阴影部

分和大圆的面积，结合几何概型的概率公式计算即可.

【详解】

设大圆的半径为R,则等腰直角三角形的边长分别为2R，无R,0R,

设等腰直角三角形的内切圆的半径为r,

则?2R+0R+扬?）r=g.0R.扬?，解得r=（&-l）R,

则阴影部分的面积为E=2万*，=2万*［（0-1）/?『=2（3一20）万/?2,

大圆的面积为邑=乃齐，

s

则该点取自阴影部分的概率为P=U=2（3-2也）=6-4&•

故选：D

9.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面

以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴

的截面）是底边边长为2Gm,顶角为:的等腰三角形，则该屋顶的体积约为

3,,

()

^3

A.27rm3B.37tmC.4Km3D.6TIm3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.

【详解】

因为轴截面的顶角为4PC=§,所以底角=

在用APO中，依题意，

该圆形攒尖的底面圆半径AO=r=6,高PO=/?=rtan(=3,

3

则V=；乃产h='乃x3x3=3兀(m),

所以该屋顶的体积约为37m3.

10.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角

攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可

近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2,则该正四棱锥的体积为

()

4>/2

D.4正

亍

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得AO、PO的长，根据椎体体枳公式，即可

得答案.

【详解】

如图所示，正四棱锥尸-ABCD棱长均为2,连接AC、8力交于点0,连接P0

根据正四棱锥的性质，可得P0L平面ABCD.

所以ao=gJAB?+8(?2=6,po=-JPA^-AO2=V2>

所以正四棱锥尸-4?8的体积V」x2x2x&=勺g

33

故选：C

11.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：”今有圆

亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长

为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积(单位：平方丈)为

()

.551+/D5J1+4/「5/1+乃2c5〉+4/

47r4乃2%2万

【答案】B

【解析】

【分析】

设圆台的上底面半径为"，下底面半径为R,由已知周长求得r和R,代入圆台的侧面

积公式，即可求解.

【详解】

设圆台的上底面半径为，卜底面半径为R,

13

可得2%r=2,2万R=3,可得r=一,R=—,

7t2)

又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为/=jF+(R-r)2=l±l,

所以圆台的侧面积为S="R+r）•/=犷（，+亘）x"3九l=£l±£.

nIn2万4万

故选：B.

12.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六

角、八角等结构，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，

它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2e,

则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为（）

C.2sinaD.2cosa

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正六边形的几何性质确定其外接圆的半径，再利用等腰三角形中的边角关系求出

侧棱长，计算比值即可.

【详解】

解：如图，正六边形是正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱锥的侧面，设侧棱

SA=SB=b,底面边长底面内切圆半径OC=r,ZASB=2a,

同

则，。LB是等边三角形，r=asin60°=—a,侧面△SAB中，a=2bsma,

2

r=y/ibsina>即:=Qsina.

故选：A

s

o

BB

13.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四

角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主

要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为

2。，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）

3sin。3cos。2sin。2cos0

【答案】C

【解析】

【分析】

设边长为。，得到正六边形的外接圆半径为。，求得侧棱长为/=丁~二，即可得到

2-sin0

侧棱与底面外接圆半径的比.

【详解】

由题意，底面是正六边形，分为六个等边三角形，

设边长为。，根据正六边形的性质，则正六边形的外接圆半径为

在侧面等腰三角形中，顶角为28,两腰为侧棱，底边为

所以侧棱长为/=，故侧棱与底面外接圆半径的比为2s标一1.

2-sin，-----=c•0

a2sin0

故选：C.

14.鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分

（即桦卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相

同，一般都是易拆难装，如图（1）,这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁

玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1,则该鲁班锁玩具的表面积为

图（1）图⑵

A.2(6+6拒+G)B.8+8应+GC.2(6+6石+&)D.8+86+夜

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出正八边形的面积，再由该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8

个边长为1的正三角形的面积和计算表面积即可.

【详解】

由图可知：该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三

角形的面积和，如图为正八边形的平面图，易得

ABAD=ZADC=^8-2^180=135，作尸，8C,垂足为瓦尸，则

8

AE=3E=DF="=立，则八边形的面积为

2

1x(l+^+l)x^x2+(>/2+l)xl=2+2>/2.则该鲁班锁玩具的表面积为

(2+2^)x6+-xl3x^-x8=2(6+6>/2+^).

故选:A.

15.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该

四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方

形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为()

A.75+1B.75-1C.D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知，画出正四棱锥的图像，根据题意条件，找到正四棱锥的高〃，侧面三角形的

斜高/?,底面边长。之间的等量关系，然后带入R/尸。”中，借助勾股定理列出等量

关系，即可求解出/的值.

【详解】

由已知，可画出正四棱锥的图像，底面45CO是边长为。的正方形，顶点尸在底面的

投影为。，OP=h,H为BC中点、,尸”为侧面，P8C的高，设PH=后,由已知可

得：

h2=，h2—(h)2-(—)2=,BP/?2--=LaJz,

22242

则|_£」巴，BPA2+14-1=0,解得

4h22h4h2h

二=石-1或==一石-1（舍去）.

hh

故选：B.

16.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角

攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图1,它的屋顶部分

的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥P-ABC。，其中底面边长和攒尖高的比值

为若点E是棱的中点，则异面直线尸8与CE所成角的正切值为（）

3J323

A.-B.9C.-D.-

4232

【答案】C

【解析】

【分析】

连接皿，设。为的中点，则异面直线尸8与CE所成角为NOEC或其补角，再根据

几何关系求解即可.

【详解】

解：如图，连接3£>,设。为8。的中点，

异面直线PB与CE所成角为NOEC或其补角.

连接OC,0P,

所以，在正四棱锥P-ABC短中，OPJ_OC,8O,OC,OPcBD=O,

.,.OCL平面尸

s.OCVOE,设48=兄。P二〃，则由题意得g=LoB=OC=也〃，

h22

OE=-BPJylOB?+OP?=-J-a2+h2,

222V2

0

——a

2

•,在R/OEC'\',tanZO£C=—=-

OE£%+/

2

故选：c.

17.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.依

其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多

见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑的屋顶为六角攒尖，它的主要部分的轮廓

可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧棱长为2,且与底面所成的角为

7.则此正六棱锥的体积为（）

O

JX

A.更B.c.46D.正

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意分别求得锥体的底面积和高度，然后计算其体积即可.

【详解】

解：将原问题抽象为如图所示的正六棱锥P-^CDEF,设底面的中心为。，连结

0P,0C,

由题意可得PC=2,NPCO=J,则PO=1,OC=后,

6

即六棱锥的高〃=尸。=1，六棱锥的底面是由6个边长为相的等边三角形组成的,

从而其体积丫十叱朱（厨］、1=芋.

故选：A.

18.虎殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和

两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦6

层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多2,等腰三角形中下一层铺的瓦数

是上一层铺的瓦数的2倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其

瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦82块，整个屋顶需铺瓦666块，则最底层需铺

瓦块数为（）

A.82B.114C.164D.228

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{%},等腰三角

形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{〃,},故得到

’2（4+伉）=82,

'L6x5.“进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个

26a.4----x2+--------=666,

121-2

数列的第6项，2（4+4）=2（50+25）=164可得到最终结果.

【详解】

由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成•个公差为2的等差数列{4},

等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成-个公比为2的等比数列{〃,},

,(4+仇)=82,

由条件可知，6X5.40-26)]解之得4=40的=1,

26〃1+-^-x2+—―二666,

所以4=40+2(〃-1)=2〃+38也=2"-',

所以2(%+4)=2(50+25)=164,故最底层需铺瓦块数为164,

故选：C.

19.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如

图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只

有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为()

A.180B.240C.420D.480

【答案】C

【解析】

【分析】

分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法

原理可求解.

【详解】

分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原

理可求解，由题设，四棱锥S-4BCD的顶点S,A8所染的颜色互不相同，它们共有

5x4x3=60种染色方法；

当S,4,8染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则。可染3或4或5,有

3种染法；若C染4,则。可染3或5,有.2种染法；若C染5,则。可染3或4,有-2

种染法，即当S,A,8染好时，C,C还有7种染法.

故不同的染色方法有60x7=420种.

s

故选：C

20.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.攒尖

建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒

尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.辽宁省实验中

学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱

锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2。，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之

比为（）.

-1J7-i11

A.B.C.-j=——D.-f=-------

sin。cos。,2sin®J2cos9

【答案】A

【解析】

【分析】

分别用1s4和e表示出AB的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构

特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果.

【详解】

设。为正八棱锥S-A88所G"底面内切圆的圆心，连接。4,08,

取A8的中点连接SM、OM,则OM是底面内切圆半径R,如图所示：

设侧棱长为X,底面边长为。，

L

2

由题意知ZAS8=26,ZASM=6,

X

由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心。到各边的距离,

.AOS中，ZAQB=45。，所以NAOM=22.5°,

7tin??5。

由tan45。=解得tan22.5。=&-1，

1一tarr22.5

£

所以^-=—=tan22.5°=&一1'

R2R

所以也吆=无-1,解得土=至二1,

2RRsin。

即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为1.

sin。

故选:A.

21.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已

知该四棱锥的高与斜高的比值为力，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是

()

4「3「12-5

A.-B.-C.—D.—

55512

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，设四棱锥底面的边长为2a,高为力，斜高为々.由四棱锥的高与斜高的比值

为］,找出。与九的关系式，结合面积公式，即可得到该四棱锥的底面面积与侧面面

积的比值.

【详解】

设该四棱锥底面的边长为加，高为九，斜高为九，

h4

一二—3

根据题意得九5,即九，

h2+a2=h；

从而该四棱锥底面面积为4a2=||6，侧面面积为4x；x2的=4x］吁=£〃；，

故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是||照十/月=|.

故选：B.

二、多选题

22.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角

攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋

顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角

为30%侧棱长为®米，则该正四棱锥的（)

A.底面边长为6米B.侧棱与底面所成角的余弦值为也

7

C.侧面积为246平方米D.体积为120立方米

【答案】ACD

【解析】

【分析】

画出几何体的直观图，结合己知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.

【详解】

如图所示，在正四棱锥中，。为正方形ABCD的中心，且

设底面边长为2a,正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°,

所以NP”O=30,

33

在直角VPHC中，可得"CjPH?=PC?，即。2+（¥“）2=21,解得a=3,

所以正四棱锥P-A8C£＞的底面边长为6,所以A正确；

因为POJ_平面ABCZ）,所以NP8。为侧棱尸8与底面所成的角，

在直角。POB中，可得cosNP3O=也=坐=叵，所以B错误；

正四棱锥尸-ABCD的侧面积为S=；x4x6x2百=246平方米，所以C正确；

正四棱锥尸-ABCD的侧体积为V=；x6x6xG=126立方米，所以D正确.

故选：ACD.

p

23.古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响.下图是受“八卦''的

启示，设计的正八边形的八角窗，若。是正八边形45coEFGH的中心，且内［=1,

则（）

A.4月与CF能构成一组基底B.ODOF=Q

C.OA+OC=y/3OBD.ACCD=—

【答案】BD

【解析】

【分析】

连接BG,CF,由正八边形的性质可知，AH//BG,CF//BG,可判断选项A；从

IJT

而可得NDOF=：x2乃=9,可判断选项B；连结AC交08于点M,可判断选项C；

42

先判断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D.

【详解】

连接8G,CF,由正八边形的性质可知，AH//BG,CF//BG,

所以AH〃CF,所以A”与C尸是共线向量，所以A月与C尸不能构成一组基底，A项

错误；

又NDOF=、2兀=三,所以。£＞，。尸.所以OD.OF=0，B项正确；

42

由上过程可知OALOC,连结AC交OB于点

在直角•:角形。4C中，M为AC的中点，则。4+OC=2QW.

UliUUU1_ULU

,所以OA+OC=Jigc项错误:

134

又正八边形的每一个内角为：:(8-2)X)=9，

84

TT7T

延长。C,AB,相交于点N,则NCBN=NBCN=一，所以NBNC=—,故ABJLCD，

42

uuuULHUUBuunuimumuunurnuimuun(、元、Jo

所以ACC£>=(A8+8C)C£)=ABCL>+8CCr>=|8CTcos(;r-7j=W，D项正

确.

故选:BD.

24.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常

有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，六角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多

见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以六角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似

看作一个正六棱锥已知此正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为仇这个角接近

30°,若取小30。，侧棱长为2石米，则（）

A.正六棱锥的底面边长为2米

B.正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为g

C.正六棱锥的侧面积为48平方米

D.正六棱锥的体积为16g立方米

【答案】BCD

【解析】

【分析】

如图，设正六边形的中心为0，A8的中点为连接PO,设AB=x,根据

题设条件可得4Mo=30。，从而可求x,再逐项计算并判断各项的正误，从而可得正

确的选项.

【详解】

如图，设正六边形的中心为0,A3的中点为M,连接。“，PO,

则P01平面ABCDEF,故/PA。为侧棱与底面所成的角.

设A8=x,

由正六棱锥的性质可得必=P8,PMA.AB,

由等边三角形。钻可得，A3，

故/PM0为二面角的平面角，故NPMO=30。，

所以PMx立=0M,而。故尸M=X,

22

在Rf.PMB中,有PM?+MB，=PB?，故/+亍=（2石J,故x=4,故A错.

,_____?1

又在RfPAO,P0=V20-16=2,故tan/PAO=w=5，故B正确.

正六棱锥的侧面积为S=6xgx4x4=48（平方米），故C正确.

正六棱锥的体积为V」x6x1xl6x2=16e（立方米），故D正确.

34

故选：BCD.

三、双空题

25.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.古希

腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平

方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为：侧面与底面

所成二面角的余弦值为.

【分析】

画出图形,设正四棱锥的底面边长为a=2,高为〃，斜高为"，E为CD的中点，可

得

h2=-x2h'

2，求出后，从而可求出答案

h,2=h2+1

【详解】

解：如图，设正四棱锥的底面边长为。=2,高为a,斜高为"，E为的中点,

则由题意得

[,1

/r=-x2//Z11,2

<2><>j-h~~\=h>

h'2=层+1

解得方=亚±1或"=*±1（舍去）,

22

所以A=回

24

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为叵也

4

因为PE_LCD,OE±CD,所以NPEO是侧面与底面所成二面角的平面角,

,SE。造=4-4

因为PE石+12

2

所以侧面与底面所成二面角的余弦值为空

75+1

故答案为:

42

四、填空题

26.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9

相关的设计.例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中

心是一块天心石，围绕它的第圈有,9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块

共有9圈，则第六圈的石板块数是

【答案】54

【解析】

【分析】

由题可知从第1圈到第9圈石板数形成首项为9,公差为9的等差数列，即可得出所

求.

【详解】

由题可知从第1圈到第9圈石板数形成等差数列{%},且首项q=9,公差d=9,

则第6圈的石板数为“6=9+5x9=54,

故答案为：54

27.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的桦卯结构，这种三

维的拼插器具内部的凹凸部分（即梯卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的

十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三

组，经90。桦卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该

鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为.（容器

壁的厚度忽略不计）

【答案】4答

【解析】

【分析】

转化为几何体的外接球问题，求出外接球的半径和表面积即可.

【详解】

由题可知，当鲁班锁的顶点与球面相接时，球的体积最小，此时

2R=>J（r+2i+\2=5/4?-所以R=5=4万斤=屈万・

故答案为：41万.

28.鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的梯卯结构，其内部的凹

凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正

三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任

意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为.

图1图2

【答案】168+96亚##96夜+168

【解析】

【分析】

计算出该玩具任意两点间最大距离，可得出正方体的棱长，即可求得正方体的表面积.

【详解】

将鲁班锁补成正方体ABCD-ABCR,然后以点A为坐标原点,

AB.AD.AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点P（0,0,2+20）,

观察图形可知，尸到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在归国、归日、