2024届河北省望都中学数学高二年级上册期末监测模拟试题含解析

2024届河北省望都中学数学高二上期末监测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数“X)的导函数为/'(九)，对任意xeR,都有f\x)>-/(x)成立，若/'(In2)=g,则满足不等式“X)>J

的x的取值范围是()

A.B.(0,1)

C(ln2,4w)D.(0,ln2)

2.设等比数列｛凡｝的前几项和为S“，且%=4为，贝()乎=()

916

A.—B.——

1017

178

C.—D.—

1617

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()

正视图侧视图

俯视图

A.8B.16

\PF\

4.已知R是抛物线V=4y的焦点，尸为抛物线上的动点，且A的坐标为(0,-1),则质的最小值是

C巫D.在

22

5.已知。为坐标原点，OA=(1,2,-2),OB=(2,-1,4),OC=(1,1,4),点尸是0C上一点，则当PR.取得最小值

时，点尸的坐标为()

B•以"

D.(2,2,8)

6.已知A,3是圆C:/+y2=1上的两点，P是直线X—y+/n=。上一点，若存在点A,B,P,使得Q4_LP3,

则实数机的取值范围是。

A.[-l,l]B,[-2,2]

C.[-A/2,A/2]D.[-2>/2,2V2]

丫225

7.如图，双曲线C：二—3=1伍〉0,6〉0),A3是圆M：。+2)2+(〉—1)2=—的一条直径，若双曲线C过A,

ab2

B两点,且离心率为&,则直线AB的方程为()

A.3x+y+7=0B.4x+y+6=0

C.x+y+5=0D.2x+y+3=0

8.已知〃x)=4nx+!x2,若对于V%,0G(O,+8)且石Nx,都有了(')―，(”2)>4成立,则实数。的取值范围是

2Xy~X2

()

A.[l,+oo)B.(0,4]

c.(0,1)D.[4,+oo)

9.在ABC中，角A、B、C的对边分别是。、b、c,若（a+c—〃）（a+c+〃）=3ac.则A+C的大小为（）

A5兀2万

A.——B.——

63

7171

C.—D.-

36

11

10.已知数列｛4｝中，q=2，a.+i=i，则生=()

31一为

13

A.-B.一一

32

3

C.-2D.-

2

+工］的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中x的系数为

11.已知无2

A5B.10

C.20D.40

12.直线14的斜率是方程d—x—2=0的两根，则乙与4的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.相交但不垂直D.垂直

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.已知数列｛｝的前n项和为Sn=n+2n,则该数列的通项公式an=.

14.设向量&=（%」/），b=（1,j,l）,c=（2,-4,2）,且aJ_G,bile，贝！1k+,=.

15.正四棱柱的高为底面边长的后倍，则其体对角线与底面所成角的大小为.

16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，A8是一条侧棱，£。=1,2,、8）是上底面上其余的八个点,

则集合卜卜=43丛£"=1,2,3,.,8｝中的元素个数为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知直线/:（2a—l）x+（a+2）y—5=0.

(1)若a=2,求直线/与直线/i：x+2y—3=0的交点坐标;

(2)若直线/与直线4：2x-y+3=0垂直，求。的值.

18.(12分)某快递公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).

(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；

(2)在这60天中包裹件数在［100,200)和［200,300)的两组中，用分层抽样的方法抽取30件，求在这两组中应分别

抽取多少件？

19.(12分)平面直角坐标系xOy中，点耳(—1,0),耳。,0),点M满足+|九码=2夜.记M的轨迹为C.

(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；

(2)已知经过工的直线/与C交于A,B两点,若仙闻•忸胤=?,求

20.(12分)如图所示，在三棱柱ABC—AgG中，CCi，平面ABC，AC1BC,AC=BC=2,CC1=3,点。，

£分别在棱AA和棱CG上，且AD=1,CE=2,点”为棱A耳的中点.

(1)求证：//平面DB*；

(2)求直线AB与平面。与E所成角的正弦值.

21.(12分)如图1,在边长为2的菱形ABC。中，ZBAD=60°,将△BCD沿对角线50折起到△30。的位置，如

图2所示，并使得平面50a，平面ABO,E是80的中点，E4J_平面A3O,且取=2&.

图1图2

(1)求平面PBC'与平面尸R4夹角的余弦值；

(2)在线段4。上是否存在一点M,使得c'M，平面EBC?若存在，求器的值；若不存在，说明理由.

3

22.(10分)在①勾,出成等差数列；②％，4-4,%成等比数列；③S3=7这三个条件中任选一个，补充在下面的

问题中，并对其求解.

问题：已知S”为数列｛q｝的前几项和，S"=2a“-ai(nwN*),a“#。,且___________.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记2=log2an,求数列出｝前2项和T“.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】构造函数g(x)=e"(x),利用导数分析函数g(x)的单调性，将所求不等式变形为g(x)>g(ln2),

结合函数g(x)的单调性即可得解.

【题目详解】对任意xeR,都有了'(力>-〃力成立,即-(x)+/(x)>0

令g(x)=e"(x),则g'(x)=+/(%)]>0,

所以函数g(x)在R上单调递增

不等式/(x)>《即即g(x)>l

因为/'(1112)=3,所以g(ln2)=*2"ln2)=2xg=l

所以，g(x)>l=g(ln2),解得%>ln2,

所以不等式g⑴>1的解集为(In2,-+w)

故选：C.

2、C

【解题分析】根据给定条件求出等比数列｛4｝公比q的关系，再利用前“项和公式计算得解.

【题目详解】设等比数列｛%｝的的公比为会由%=4%o得：%=4%^,解得

%(1-产)

所以'=J1=]+.=1+(+=—,

S6一(1Y)”'416

i-q

故选:c

3、C

【解题分析】画出直观图，利用椎体体积公式进行求解.

【题目详解】画出直观图，为四棱锥A-5C0E,其中BC=4,BE=2,AE=2,且BE,AE,Z>E两两垂直，故体积为

V=lx4x2x2=—.

33

故选：C

4、C

【解题分析】由题意可得，抛物线好=4丁的焦点尸(0,1),准线方程为y=-l

PF\\PM\.

过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PE|=归〃|,则p^=]p^=smzpAM9ZPAM

为锐角

PFPF

当"4"最小时，焉最小，则当24和抛物线相切时，行最小

陷陷

设切点PQO,由一#的导数为/=I-则"的斜率为卜GG詈.

：.a=l,则尸(2,1).

：.\PM\^2,|B4|=2V2

\PM\_V2

，sinZPAM=

西=3

故选C

点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与抛物线的定义有关，解决这

类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,

这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.

5、A

【解题分析】根据三点共线，可得=然后利用向量的减法坐标运算，分别求得最后计算R4.P3,

经过化简观察，可得结果.

【题目详解】设OP=2OC=（Z；l,4/l）,则

PA=(l-2,2-2,-2-42)

Pfi=(2-2,-1-2,4-42)

2

贝!|总"3=1822-122-8=18(；1」|-10

3

.,.当％=g时，PA.P3取最小值为-10,

此时点P的坐标为

故选：A

【题目点拨】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题.

6、B

【解题分析】确定尸在以A3为直径的圆上，|。。『+|94「=1,根据均值不等式得到圆。上的点到。的最大距离为

m

、巧，得到d=\\<72,解得答案.

正

【题目详解】PA1PB,故P在以A3为直径的圆上，设A3中点为O,贝!||。0『+|94「=1,

圆E>上的点到0的最大距离为十|八4|,

mi1|+|DA|<^2（|DO|2+|DA|2）=&，当|DO|=|DA|=^时等号成立.

\m\r~

直线x—y+根=。到原点的距离为往二发《企，故—24加〈2.

bb

【解题分析】由离心率求得一，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线.斜率与一的关系得结论

aa

【题目详解】由题意工=0,贝!!6=77彳=“，即2=1,由圆方程知M(—2,1),

aa

设A(M，M),B(x2,y2),则石+/=—4,%+%=2,

\22

9—近=1

2

a白（乂-%）（%+%）=o

又,,,两式相减得

22

x2y^._iab

〔/一瓦一

x—%'0+%2「—4

所以。==

2

Xj-x2a%+为2

直线AB方程为y-l=—2（无+2）,即2x+y+3=0

故选：D

8、D

【解题分析】根据题意转化为对于%,为€((),”)且可<电时，都有/(%)-4%</(9)-4%恒成立，构造函数

g(x)=/(x)-4x,转化为xe(O,s)时，g'(x)»O恒成立，求得g(x)的导数，转化为a2—V+©在(0,+。)上

恒成立，即可求解.

【题目详解】由题意，对于％,为e(0,y)且x产x,都有"、)—"/)>4成立,

一玉一々

不妨设玉<%，可得/(%)-/(X2)<4%一4兀2恒成立，

即对于«。,+°°)且再时，都有了(七)一4%</(无2)-4x2恒成立，

构造函数g(x)=/(x)-4x=alnx+^x2-4x,

可转化为xe(O,+s),函数g(x)为单调递增函数，

所以当xe(0,+8)时,g'(x)20恒成立，

又由g'(x)=q+x—4,所以q+x—420在(0,+。)上恒成立，

即a之—X2+4x在(0,+00)上恒成立，

又由—f+4x=—(》一2)2+4<4,所以。24,

即实数。取值范围为［4,+8).

故选：D

9、B

【解题分析】利用余弦定理结合角8的范围可求得角3的值，再利用三角形的内角和定理可求得A+C的值.

【题目详解】因为(a+c—b)(a+c+b)=3ac,贝！|(a+c『一/=3ac,贝1|储+。2-52=4(?,

〃2।„2_121

由余弦定理可得cosB=巴士——二-,

2ac2

TT2TC

因为0<3<〃，则3=—,故A+C=71—3=—.

33

故选：B.

10、D

【解题分析】由数列｛%｝的递推公式依次去求，直到求出为即可.

11

【题目详解】由4=二，%+1=;------,

1_1_311「

可得％=0=口=1生=0=彳=一2,

32

1_1_i…„=3

%_]_%_1-(-2)F51-。41-12

故选：D.

11、B

【解题分析】首先根据二项展开式的各项系数和G,°+CJ+G：+C/=2'=32,求得〃=5,再根据二项展开式

1

的通项为1+1=£：(19>(一求得厂=2,再求二项展开式中X的系数.

【题目详解】因为二项展开式的各项系数和6°+。/+。/+篇=2〃=32,所以〃=5,

又二项展开式的通项为)'4)"-，=CJx"f,3r-5=l,r=2

2

所以二项展开式中X的系数为c5=10.答案选择B

【题目点拨】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题

12、C

【解题分析】由韦达定理可得方程的两根之积为-2,从而可知直线4、4的斜率之积为-2,进而可判断两直线的位

置关系

【题目详解】设方程d—x—2=0的两根为占、巧，则工/2=-2

二直线4、4的斜率左芯=-2,故4与4相交但不垂直

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2n+l

【解题分析】由4=，-»1(〃22)计算，再计算%可得结论

22

【题目详解1由题意〃之2时,an=S〃—S〃_]=n+2n—(n—I)—2(n—1)=2n+1,

又。i=3适合上式，

所以为=2〃+l

故答案为：2〃+1

【题目点拨】本题考查由S,求通项公式，解题根据是4=S〃-S“T522),但要注意此式不含4,q=4

14、3

【解题分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出X,》，再由空间向量坐标运算法则求出0+6,由此

能求出|a+b|

【题目详解】解：设x,y^R,向量&=(x,l,l),b=(l,y,l),c=(2,-4,2),

且a_L。，bile»

2x-4+2=0

.・.<工_2_工，解得x=l,>=-2,所以a=b=(l,-2,l),

5-^4-2

«+&=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),

」.|a+b|=j4+l+4=3

故答案为：3

n

15、45##—

4

【解题分析】如图所示，其体对角线与底面所成角为NZMC,解三角形即得解.

【题目详解】解：如图所示，设AB=BC=x,CD=gx,所以AC=0X.

由题得CD，平面ABC,

则其体对角线与底面所成角为NZMC,

因为AC=CD=41x，所以ZDAC=45°.

故答案为：45

16、1

【解题分析】根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【题目详解】由图像可知，AP^AB+BP,,

则A3AG=+A/+ABBE

因为棱长为1,AB人BPi,所以AB.地=0,

所以=46一1+0=1，

故集合卜卜=A3•A£,，=1,2,3,,8｝中的元素个数为1

故答案为：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17-,(1)(-1,2)

4

(2)a=—

3

【解题分析】(1)联立两直线方程，解方程组即可得解；

(2)根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.

【小问1详解】

解：当。=2时，直线/:3x+4y—5=0,

x+2y-3=0x=-l

联立解得c

3x+4y—5=0b=2

即交点坐标为(—1,2)；

【小问2详解】

解：直线/与直线4：2x—y+3=0垂直，

则2(2a-1)-(a+2)=0,解得a=§.

18、(1)平均数和中位数都为260件；(2)在［100,200)的件数为5,在［200,300)的件数为25.

【解题分析】(1)由每组频率乘以组中值相加即可得平均数，设中位数为％,由落在区间(0,%)内的频率为0.5可得结

果；

(2)先得频率分别为0.1,0.5,由分层抽样的概念即可得结果.

【题目详解】(1)每天包裹数量的平均数为

0.1x50+0.1x150+0.5x250+0.2x350+0.1x450=260；

设中位数为x,易知xe（200,300）,则0.001xl00x2+0.005x（x—200）=0.5,

解得尤=260.

所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.

（2）件数在［100,200）,［200,300）的频率分别为0.1,0.5

频率之比为1：5,所抽取的30件中，在［100,200）的件数为30=5,

6

在［200,300）的件数为30x=25.

6

2

19、（1）（7是以点耳，工为左右焦点的椭圆，y+y2=l

⑵还

2

【解题分析】（1）根据椭圆的定义即可得到答案.

（2）当/垂直于x轴时，|A用・忸制=|#T，舍去.当/不垂直于x轴时，可设/：y=M无—1）,再根据题意结合韦

达定理求解即可.

【小问1详解】

因为|耳闻=2,阳娟+阳司=2血＞内阊，

所以C是以点耳，生为左右焦点的椭圆.

丫2

于是a=后，c=l,故b=l,因此C的方程为］+y2=i.

【小问2详解】

当/垂直于％轴时，q=忸叫=走，但用•忸用舍去.

224

当/不垂直于X轴时，可设/:'=左（九一1）,

2

代入5+V=1可得（1+2公卜2—4左2%+242—2=0.

因为A=8（l+左2）＞0,设B（x,,y2）,

而4k22k「2

贝L+X2=K，中2=币记

因为一＜X]VA/2,

所以1*=历正F=Ja+i），i-J

同理忸用=9（々+2）.因此|的卜|明仁笠+玉+々+2=慝・

,1+942U可得42=工，X,+X=442

由-----T9=19

1

1+24242-1+2?

于是|人£|+忸制=等（芯+々+4）=

根据椭圆定义可知IAK|+忸耳I+|AB|=4血，于是\AB\=竽.

20、（1）证明见解析

⑵B

3

【解题分析】（1）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，进而求G"的方向向量、面。瓦E的法向量，并应

用坐标计算空间向量的数量积，即可证结论.

（2）求AB的方向向量，结合（1）中面。与E的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线A3与平面。片E所

成角的正弦值.

【小问1详解】

以。为原点，以C4，CB,cq为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

可得：C(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2,0),G(0,0,3),4(023),£>(2,0,1),E(0,0,2),"(1,1,3).

/.QM=(1,1,0),鹤=(0,2,1),ED=(2,0,-1),

n-EB.=2y+z=0

设”=(%,/z)为面。与E的法向量，贝叶_17，令尤=1得〃=(1,—1,2),

n-ED=2x-z=0

AQM-n=0,即。阳，〃，

CXM//平面。与E；

【小问2详解】

由(1)知：AB=(-2,2,0),〃=(L—L2)为面。与E的一个法向量，

设AB与平面DBiE所成角为0,则sin0=|cos<AB,n>|=|■8二|=—,

\AB\-\n\3

二直线AB与平面DB.E所成角的正弦值为旦.

3

21、⑴—

5

(2)不存在，理由见解析

【解题分析】(1)利用垂直关系，以点石为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面EBC和平面硼的法向量相和

n,利用公式cos<〃z,”>,即可求解；

(2)若满足条件，CMUm>利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足CM〃加.

【小问1详解】

VBC=CD,E为50的中点

：.CELBD,

又•平面BCZ>_L平面A3。，平面平面ABD=5r),C'Eu_L平面BCZ),

AC'E_L平面ABD,

如图以E原点，分别以E5、AE、E。所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则3(1,0,0),4(0,-瓜0),D(-l,0,0),F(0,-布，26),C(0,0,6),

:•BF=G1，-6，2⑻,BC'=(-i>0,6)，AB=(1,G，0),

设平面EBC'的法向量为〃?=(x,y,z),

m•BF=—x—6y+2y/3z=0

^[m